HSC
অন্তরীকরণ

\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l বলতে বুঝায় x এর মান যখন a এর কাছাকাছি (কিন্তুx \ne a) তখন f(x) এর লিমিট বা সীমাস্থ মান l

\left| {f(x) - l} \right| < \varepsilon যখন 0 < \left| {x - a} \right| < \delta যেখানে \varepsilon একটি ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা

x \in (a - \delta ,a + \delta ) এর জন্য f(x) \in (l - \varepsilon ,l - \varepsilon ) [যেখানে,\delta, \varepsilon দুটি অতি ক্ষুদ্র ধনাত্মক রাশি এবং \delta, \varepsilon এর উপর নির্ভরশীল)

f(x) এর বাম দিকের লিমিট কে \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) এবং ডানদিকের লিমিটকে \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(a - h) এবং \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(a + h)

\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) বিদ্যমান থাকবে যদি \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) হয়।

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}} = 1

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = 1

•  \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}

•  \mathop {\lim }\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)

•  \mathop {\lim }\limits_{x \to a} [f(x).g(x)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)

•  \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}}

• লিমিট এর কোনো সমস্যা যদি \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} আকারে থাকে এবং হর ও লবে x = a বসালে যদি \frac{0}{0} বা \frac{\infty }{\infty } বা \frac{\infty }{0} আকারে আসে, তাহলে L Hospital’s Rule প্রয়োগ করলে অতি সহজেই সমাধান করা যাবে।

• একটি ফাংশন f(x), x = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হবে যদি যদি \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)= f(a)

• যদি f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) এবং \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x) হয়,তবে \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = l

বিভিন্ন ফাংশনের অন্তরজ

• অন্তরীকরণ বলতে স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে অধীন চলকের পরিবর্তনের হারকে বুঝায়

y = f(x) ফাংশনের \frac{{dy}}{{dx}} দ্বারা x সাপেক্ষে y এর পরিবর্তনের হার বুঝায়

\frac{{dy}}{{dx}} কে {y'} বা f'(x) বা {D_y} বা D\{ f(x)\} দ্বারাও প্রকাশ করা হয়

\frac{d}{{dx}}(c) = 0

\frac{d}{{dx}}({x^n}) = n{x^{n - 1}}

\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}

\frac{d}{{dx}}({e^{mx}}) = m{e^{mx}}

\frac{d}{{dx}}({a^x}) = {a^x}.\ln a;a > 0

\frac{d}{{dx}}(lnx) = \frac{1}{x},x > 0

\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x

\frac{d}{{dx}}(\cos x) = - \sin x

\frac{d}{{dx}}(\tan x) = {\sec ^2}x

\frac{d}{{dx}}(\cot x) = - \cos e{c^2}x

\frac{d}{{dx}}(\sec x) = \sec x.\tan x

\frac{d}{{dx}}(\cos ecx) = - \cos ecx.\cot x

• X এর দুটি ফাংশন u ও v হলে, \frac{d}{{dx}}(u \pm v) = \frac{{du}}{{dx}} \pm \frac{{dv}}{{dx}}

\frac{d}{{dx}}(uv) = u\frac{d}{{dx}}(v) + v\frac{d}{{dx}}(u)

\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{v\frac{d}{{dx}}(u) - u\frac{d}{{dx}}(v)}}{{{v^2}}}

\frac{d}{{dx}}({\log _a}x) = \frac{1}{x}{\log _a}e

\frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ

• y যদি z এর ফাংশন,  z যদি t এর ফাংশন এং t যদি x এর ফাংশন হয় তবে \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dz}}.\frac{{dz}}{{dt}}.\frac{{dt}}{{dx}} [chain rule]

\frac{d}{{dx}}({\sin ^{ - 1}}x) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}

\frac{d}{{dx}}({\cos ^{ - 1}}x) = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}

\frac{d}{{dx}}({\tan ^{ - 1}}x) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}

\frac{d}{{dx}}({\cot ^{ - 1}}x) = - \frac{1}{{1 + {x^2}}}

\frac{d}{{dx}}({\sec ^{ - 1}}x) = \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}

\frac{d}{{dx}}({\operatorname{cosec} ^{ - 1}}x) = - \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}

স্পর্শকের নতি হিসেবে অন্তরজ

y = f(x) বক্ররেখার উপরিস্থিত (x,y) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল=\frac{{dy}}{{dx}} এবং অভিলম্বের ঢাল=\frac{1}{{\frac{{ - dy}}{{dx}}}} অথবা, - \frac{{dx}}{{dy}}

• অঙ্কিত স্পর্শক x অক্ষের সমান্তরাল (y-অক্ষের উপর লম্ব) হলে \frac{{dy}}{{dx}} = 0

• Y –অক্ষের সমান্তরাল (x-অক্ষের উপর লম্ব) হলে  \frac{{dx}}{{dy}} = 0