বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ

বহুপদী উৎপাদকের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান, দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান

{a_0} \ne 0 হলে {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + .........{a_n} = 0 একটি n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ।

a{x^2} + 2hxy + b{y^2}  একটি সমমাত্রিক বহুপদী।

a{x^2} + bx + c  অসমমাত্রিক বহুপদী।

• যদি f(x) একটি বহুপদী হয় এবং f(a) = 0 হয়, তবে \left( {x - a} \right),f\left( x \right) এর একটি উৎপাদক হবে।

f\left( x \right) বহুপদীকে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ f(a) হবে।

• n ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে  n সংখ্যক মূল থাকে।

•মূলদ সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল p + \sqrt q  হলে অপর মূলটি হবে p - \sqrt q

• বাস্তব সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের একটি কাল্পনিক মূল p + iq হলে অপর কাল্পনিক মূল p - iq হবে।

• a{x^2} + bx + c = 0 (a \ne 0) হলে, x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

• a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের মূলের সংখ্যা 2 এর অধিক হতে পারে না।

•  {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0  এবং {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0 সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল \alpha হলে, {a_1}{\alpha ^2} + {b_1}\alpha + {c_1} = 0   এবং {a_2}{\alpha ^2} + {b_2}\alpha + {c_2} = 0

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ, নিশ্চায়ক, দ্বিঘাত  সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয়

• a{x^2} + bx + c = 0a \ne 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

• কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল \alpha ও \beta হলে সমীকরণ হবে, {x^2} - \left( {\alpha + \beta } \right)x + \alpha \beta = 0

• a{x^2} + bx + c = 0a \ne 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল \alpha ,\beta হলে \alpha + \beta = - \frac{b}{a} এবং \alpha \beta = \frac{c}{a}

• a{x^2} + bx + c = 0a \ne 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক {b^2} - 4ac

• a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের একটি মূল শূন্য হলে c = 0 হবে।

• a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের দুইটি মূল শূন্য হলে  a ও b উভয়েই শূণ্য হবে।

• a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হলে b = 0 হবে। (যেহেতু a \ne 0)

• a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল 1 হলে a = c হবে।

• a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের দুইটি মূল ঋণাত্মক হলে a, b, c একই চিহৃবিশিষ্ট হবে।

• কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূণ্য হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

• কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্যের চেয়ে বড় হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।

• কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্যের চেয়ে ছোট হলে মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে।

• a{x^2} + bx + c = 0a \ne 0  সমীকরণে {b^2} - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

ত্রিঘাত সমীকরণের মূলের প্রতিসম রাশির মান, ত্রিঘাত সমীকরণের মূলের সাথে সহগের সম্পর্ক

• a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূল \alpha\beta\gamma হলে {\alpha ^3} + {\beta ^3} + {\gamma ^3} একটি প্রতিসম রাশি।

• a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় \alpha\beta\gamma হলে এবং মূলগুলি সমান্তর প্রগমনে থাকলে মূলত্রয়ের সাধারণ আকার \alpha - \beta\alpha\alpha + \beta

• a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় গুণোত্তর প্রগমনে থাকলে মূলত্রয়ের সাধারণ আকার \frac{\alpha }{\gamma }\alpha{\alpha \gamma }

• a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় ভাজিত প্রগমনে থাকলে মূলত্রয়ের সাধারণ আকার \frac{1}{{\alpha - \beta }},\frac{1}{\alpha },\frac{1}{{\alpha + \beta }}

• কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় \alpha\beta\gamma হলে সমীকরণটি হবে {x^3} - \left( {\alpha + \beta + \gamma } \right){x^2} + \left( {\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha } \right)x - \alpha \beta \gamma = 0

a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0a \ne 0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় \alpha\beta\gamma  \alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a}\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}\alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a}