BCS Preparation
BCS Preparation

সূচক ও লগারিদম
সূচক

প্রাথমিক আলোচনা:
বড় বড় সংখ্যা বা অনেক ছোট সংখ্যা মনে রাখা কষ্টসাধ্য ব্যাপার। সূচকের মাধ্যমে এই ধরণের সংখ্যাগুলোকে সহজে প্রকাশ করা যায়। এতে করে গণনা করা বা সূচকের গাণিতিক সমস্যাগুলো সহজে সমাধান করা যায়।
আবার সূচকের মাধ্যমেই যেকোনো সংখ্যার বৈজ্ঞানিক রুপ বা আদর্শ রুপ প্রকাশ করা যায়।
সূচক থেকেই লগারিদমের সৃষ্টি হয়েছে। সংখ্যার বা রাশির গুন, ভাগ বা সূচক সম্পর্কিত সমস্যাগুলো লগারিদমের সাহায্যে সহজে করা যায়। যখন কম্পিউটার বা ক্যালকুলেটর আবিষ্কার হয়নি তখন এই লগারিদমের সাহায্যেই অনেক সমস্যা সমাধান করা হতো, যা এখনও মাঝে মাঝে ব্যবহার করা হয়।

সাধারণত সূচককে power বা শক্তি বলা হয়। যেমন: {a^n} এ n হলো a এর সূচক এবং এখানে a হচ্ছে ভিত্তি। দুটি রাশি গুণ আকারে থাকলে এবং তাদের ভিত্তি একই হলে তাদের power বা শক্তির যোগ হয়। যেমন: {a^m}×{a^n}={a^{m + n}}

সূচকের ক্ষেত্রে নিচের নিয়মগুলো মনে রাখা দরকার: 
◘ কোনো একটি রাশিতে একই উৎপাদক যত বার গুণ  আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।

◘ একই ভিত্তির কতকগুলো রাশি বা সংখ্যা গুন আকারে থাকলে  সবগুলো ভিত্তি থেকে একটি ভিত্তি নিয়ে এবং এই ভিত্তির সূচক হবে রাশিগুলোর power এর যোগফল।
যেমন: {a^2} \times {a^3} \times {a^5} = {a^{2 + 3 + 5}} = {a^{10}}

◘ এই ভিত্তির কতকগুলো রাশি বা সংখ্যা ভাগ আকারে থাকলে সবগুলো ভিত্তি থেকে একটি ভিত্তি নিয়ে এবং এই ভিত্তির সূচক হবে প্রথম রাশির power থেকে পরের রাশিগুলোর power এর বিয়োগফল।
যেমন: {a^8} \div {a^3} \div {a^2} = {a^{8 - 3 - 2}} = {a^{8 - 5}} = {a^3}

◘ ভিত্তি ভিন্ন ভিন্ন হলে এবং power যদি একই হয় তাহলে সবগুলো ভিত্তির গুণফলের ঐ একই power হবে।
যেমন: {a^3} \times {b^3} \times {c^3} = {\left( {abc} \right)^3}

◘ কোনো সংখ্যার ঘাত বা শক্তির জায়গায় কিছু লেখা না থাকলে তার ঘাত বা শক্তির মান 1 . যেমন: a=1

◘ কোনো রাশি বা সংখ্যার ঘাত বা শক্তির জায়গায় শূণ্য থাকলে সংখ্যাটির মান 1 হয়। যেমন: {a^0} = 1 বা, ক^0=1

◘ যেকোনো ভিত্তির সূচক বা power বিয়োগ বোধক হলে ঐ ভিত্তিকে 1 এর নিচে লিখতে হয় এবং power হয় যোগবোধক।
যেমন: {a^{ - 1}} = \frac{1}{{{a^1}}}{b^{ - 3}} = \frac{1}{{{b^3}}} ইত্যাদি।

সূচকের সূত্রাবলি:

সূত্র-১ (গুণের): {a^m} \times {a^n} = {a^{m + n}}

সূত্র-২ (ভাগের):\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}

সূত্র-৩ (গুণের ঘাত):{(ab)^n} = {a^n} \times {b^n}

সূত্র-৪ (ভাগের ঘাত): {\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}},(b \ne 0)

সূত্র-৫ (ঘাতের ঘাত): {\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}

সূত্র-৬: {a^0} = 1

সূত্র-৭: {a^{ - 1}} = \frac{1}{a}

সূত্র-৮: {a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}

উদাহরণ-১: \frac{{{3^4}}}{{{3^2}}}=কত?
সমাধান: \frac{{{3^4}}}{{{3^2}}} = {3^{4 - 2}} = {3^2} = 9

উদাহরণ-২:\frac{{{5^3}}}{{{5^4}}}=কত?
সমাধান: \frac{{{5^3}}}{{{5^4}}} = {5^{3 - 4}} = {5^{ - 1}} = \frac{1}{5}

উদাহরণ-৩: {\left( {\frac{3}{5}} \right)^5} \times {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ - 5}} = কত?
সমাধান: {\left( {\frac{3}{5}} \right)^5} \times {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ - 5}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{5 - 5}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^0} = 1

লগারিদম (Logarithm):
জন নেপিয়ার গণনা সহজ করার জন্য সপ্তদশ শতাব্দীর শুরুর দিকে লগারিদম উদ্ভাবন করেন।

লগারিদম (Logarithm) ব্যবহার করা হয় সূচকীয় রাশির মান বের করার জন্য। সাধারণ লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (log) বলা হয়। বড় বড় রাশির গুন, ভাগ ইত্যাদি সংক্ষেপে সহজে করতে লগারিদম ব্যবহার করা হয়।

যেমন: আমরা জানি, {3^2} = 9, এই গাণিতিক উক্তিটিকে লগারিদমের সাহায্যে লিখা হয় {\log _3}9 = 2
আবার, {2^3} = 8 হলে, এটাকে লগারিদমের সাহায্যে লিখা হয় {\log _2}8 = 3

আবার, আমরা জানি, লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। সেক্ষেত্রে বিপরীতক্রমে বলা যায়, {\log _3}9 = 2 হলে সূচকের মাধ্যমে লিখা যাবে {3^2} = 9 এবং {\log _2}8 = 3 হলে সূচকের মাধ্যমে লিখা যাবে {2^3} = 8
অনুরুপভাবে,{3^{ - 2}} = \frac{1}{9} হলে, এটাকে লগারিদমের সাহায্যে লিখা হয় {\log _3}\frac{1}{9} = - 2

লগারিদমের সূত্রাবলী (Laws of Logarithm)
সূত্র-১ (শূণ্য ও এক লগ): a > 0 এবং a \ne 1 হলে, (ক){\log _a}1 = 0 (খ) {\log _a}a = 1
সূত্র-২ (গুণফলের লগ): {\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N

সূত্র-৩ (ভাগের সূত্র): {\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N

সূত্র-৪ (ঘাতের লগ): {\log _a}{M^r} = r{\log _a}M

সূত্র-৫ (ঘাত পরিবর্তন): {\log _a}M = {\log _b}M \times {\log _a}b

উদাহরণ-১: {\log _5}25=কত?
সমাধান: {\log _5}25 = {\log _5}{5^2} = 2{\log _5}5 = 2.1 = 2 [\because {\log _a}a = 1]

উদাহরণ-২: {\log _2}\left( {\frac{1}{{32}}} \right)=কত?
সমাধান: {\log _2}\left( {\frac{1}{{32}}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{1}{{{2^5}}}} \right) = {\log _2}{2^{ - 5}} = - 5{\log _2}2 = - 5.1 = - 5

উদাহরণ-৩: 3\sqrt 3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?
সমাধান: 3\sqrt 3 এর 3 ভিত্তিক লগ
={\log _3}3\sqrt 3
={\log _3}{3.3^{\frac{1}{2}}}
={\log _3}{.3^{1 + \frac{1}{2}}}
={\log _3}{3^{\frac{{2 + 1}}{2}}}
={\log _3}{3^{\frac{3}{2}}}
=\frac{3}{2}{\log _3}3
=\frac{3}{2} \times 1 \left[ {\because {{\log }_a}a = 1} \right]
=\frac{3}{2}

সূচক অনুশীলন-১

নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিয়ে নিজেকে যাচাই করুন

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here