BCS Preparation
BCS Preparation


https://bit.ly/2S9nNzC

Keyword: অনুক্রম, ধারা, সমান্তর ধারা, সসীম ধারা, অসীম ধারা, গুণোত্তর ধারা

অনুক্রম (Sequence) : যদি কতকগুলো সংখ্যা বা রাশিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়মে সাজানো হয় তাহলে সংখ্যা বা রাশি গুলোর সেটকে অনুক্রম বলা হয়।

উদাহরণ-১: 1, 3, 5, 7, 9, …  একটি অনুক্রম, যা 1 থেকে শুরু হয়েছে এবং প্রতিবার 2 করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ বলা হয়।

উপরের অনুক্রমটিতে প্রথম পদ=1, দ্বিতীয় পদ=3, তৃতীয় পদ=5, চতুর্থ পদ=7, পঞ্চম পদ=9 এবং পরের তিনটা ডট দ্বারা বোঝানো হয়েছে এভাবে চলতে থাকবে।

উদাহরণ-২: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, … …

এই অনুক্রমে প্রতিটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য 3 অর্থাৎ প্রতিটি সংখ্যার সাথে 3 যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যা পাওয়া যাচ্ছে।

উদাহরণ-৩: 3, 8, 13, 18, 23, … …

এই অনুক্রমে প্রতিটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য 5 অর্থাৎ প্রতিটি সংখ্যার সাথে 5 যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যা পাওয়া যাচ্ছে।

ধারা (Series): যে কোনো অনুক্রমের পদ বা সংখ্যাগুলোকে ধারাবাহিক যোগ করলে ধারা পাওয়া যায়।

উদাহরণ-১ এর অনুক্রমটিকে ধারাবাহিক যোগ করলে হয়,

1+3+5+7+9+…, এটা একটি ধারা, যার প্রতিটি পদের মধ্যে পার্থক্য 2 বা সমান। আবার 1+3+9+27+… … একটি ধারা, যার প্রতিটি অনুপাত সমান অর্থাৎ প্রথম পদকে দ্বিতীয় পদ দ্বারা ভাগ, দ্বিতীয় পদকে তৃতীয় পদ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে সমান মান পাওয়া যায়। যেমন, প্রথম পদ÷দ্বিতীয় পদ= \frac{1}{3} আবার, দ্বিতীয় পদ ÷ তৃতীয় পদ= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

ধারা দুই ধরণের-১. সমান্তর ধারা ২. গুণোত্তর ধারা
সমান্তর ধারা: যদি কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সবসময় সমান হয় তাহলে ধারাটি সমান্তর ধারা। যেমন-1+3+5+7+9+… একটি সমান্তর ধারা, কারণ ধারাটির যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সমান।

ধারার পদের সংখ্যার উপর ভিত্তি করে ধারাকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়। ১. সসীম ধারা বা সান্ত ধারা ২. অসীম ধারা।

১. সসীম ধারা বা সান্ত ধারা (Finite Series) : যে ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট তাকে সসীম বা সান্ত ধারা বলা হয়।

যেমন: 1+3+5+7+… … …+19

২. অসীম ধারা (Infinite Series) : যে ধারার পদ সংখ্যা অনির্দিষ্ট বা গণনা করা যায় না তাকে অসীম ধারা বলে।

যেমন: 2+4+6+8+… … …

উদাহরণ-১: 8 + 11 + 14 + 17 +… … ধারাটির কোন পদ 392?

ধারাটির প্রথম পদ a=8, সাধারণ অন্তর, d=11-8=3, 14-11=3

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা

মনেকরি, ধারাটির n তম পদ 392

আমরা জানি, সমান্তর ধারার nতম পদ= a + (n - 1)d

a + (n - 1)d = 392

বা, 8 + (n - 1) \times 3 = 392

বা, 8 + 3n - 3 = 392

বা, 3n + 5 = 392

বা, 3n = 392 - 5

বা, 3n = 387

বা, n = 129

\therefore 129তম পদের মান 392

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি:

সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদসংখ্যা n হলে n সংখ্যক পদের সমষ্টি হবে {S_n},

\therefore {S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি:

মনেকরি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি {S_n}

অর্থাৎ {S_n} = 1 + 2 + 3 + ....... + (n - 1) + n হলে,

{S_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}

উদাহরণ: 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 50=?

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি,

{S_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}=\frac{{50(50 + 1)}}{2} = 1275

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:

মনেকরি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি {S_n}

অর্থাৎ {S_n} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ....... + {n^2} হলে, {S_n} = \frac{{n(n - 1)(2n + 1)}}{6}

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি:

মনেকরি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি {S_n}

অর্থাৎ {S_n} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ....... + {n^3} হলে, {S_n} = {\left\{ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right\}^2}

গুণোত্তর ধারা (Geometric Series): কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত (ভাগফল) সমান হলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়।

যেমন: 1+3+9+27+… …

এই ধারাটির যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে সমান মান পাওয়া যায় অর্থাৎ \frac{3}{1} = 3, \frac{9}{3} = 3, \frac{{27}}{9} = 3 এভাবে পরবর্তী মানের ক্ষেত্রেও সমান মান পাওয়া যাবে।

গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ:

যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে ধারাটির সাধারণ পদ বা n তম পদ=a{r^{n - 1}}

উদাহরণ: 3+9+27+…….ধারাটির 5তম পদ কত?

সমাধান: ধারাটির প্রথম পদ a=3, সাধারণ অনুপাত, r=\frac{9}{3} = 3, \frac{{27}}{9} = 3

\therefore ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ=a{r^{n - 1}}

\therefore ধারাটির 5তম পদ={3.3^{5 - 1}}={3.3^{5 - 1}}={3.3^4}=3.81=243

গুণোত্তর ধারার সমষ্টি:

মনেকরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n. যদি n সংখ্যক পদের সমষ্টি {S_n} হয় অর্থাৎ {S_n} = a + ar + a{r^2} + a{r^3} + ....... + a{r^{n - 2}} + a{r^{n - 1}} হলে,

{S_n} = \frac{{a(1 - {r^n})}}{{1 - r}} যখন r < 1

অথবা,

{S_n} = \frac{{a({r^n} - 1)}}{{r - 1}} যখন r > 1

উদাহরণ: 8 + 16 + 32 + ........ + 512 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a =8, সাধারণ অনুপাত, r = \frac{{16}}{8} = 2>1

\therefore ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা

মনেকরি, ধারাটির n তম পদ=512

আমরা জানি, ধারার nতম পদ=a{r^{n - 1}}

\therefore a{r^{n - 1}} = 512

বা, {8.2^{n - 1}} = 512

বা, {2^{n - 1}} = \frac{{512}}{8}

বা, {2^{n - 1}} = 64

বা, {2^{n - 1}} = {2^6}

বা, n - 1 = 6

বা, n = 6 + 1

\therefore n = 7

সুতরাং ধারাটির সমষ্টি=\frac{{a({r^n} - 1)}}{{r - 1}}, যখন r > 1

= \frac{{8({2^7} - 1)}}{{2 - 1}}

= \frac{{8(128 - 1)}}{1}

= 8 \times 127

= 1016

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here