জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা
শিক্ষাবর্ষ: ২০১১-১২

ক- ইউনিট

শিক্ষাবর্ষ-২০১১-২০১২

01. \sin \theta = \frac{1}{2} সমীকরণের সাধারণ সমাধান কি?

(ক) n\pi + {( - 1)^n}\frac{\pi }{4}         (খ) 2n\pi + \frac{\pi }{4}

(গ) n\pi - \frac{\pi }{4}                             (ঘ) 2n\pi - \frac{\pi }{4}

Ans. (ক) n\pi + {( - 1)^n}\frac{\pi }{4} 

Solve: \sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{4}

\therefore \theta = n\pi + {( - 1)^n}\frac{\pi }{4}.

02. \cos \theta = \frac{{12}}{{13}} হলে, \tan \theta এর মান কত?

(ক) \frac{{13}}{{12}}         (খ) \pm \frac{{13}}{{12}}

(গ) \frac{{25}}{{144}}        (ঘ) \pm \frac{5}{{12}}

Ans. (ঘ) \pm \frac{5}{{12}}

Solve: \cos \theta = \frac{{12}}{{13}}

So,\,\tan \theta = \frac{{ \pm 5}}{{12}}

        চিত্র

03. 5 + 3x - {x^2} এর সর্বোচ্চ মান-

(ক) 3                                      (খ) \frac{{11}}{4}

(গ) \frac{{29}}{4}        (ঘ) \frac{{27}}{4}

Ans. (গ) \frac{{29}}{4}   

Solve: 5 + 3x - {x^2} = 5 - ({x^2} - 3x)

= 5 - \left( {{x^2} - 2.\frac{3}{2}.x + \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}}} \right) + \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}}

= 5 + \frac{9}{4} - {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2}

= \frac{{29}}{4} - {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2}

\therefore রাশিটির সর্বোচ্চ মান \frac{{29}}{4}.

04. {e^x} = ?

(ক) x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ....

(খ) 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + ....

(গ) x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} - \frac{{{x^4}}}{{4!}} + .....

(ঘ) 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ......

Ans. (ঘ) 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ......

05. 2N এবং 5N মানের দুইটি বল পরস্পর লম্ব দিকে ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধির মান কত?

(ক) \sqrt {29} N        (খ) 2\sqrt 5 N     (গ) 6N        (ঘ) 7N

Ans. (ক) \sqrt {29} N

Solve: লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধি

R = \sqrt {{P^2} + {Q^2}} = \sqrt {{2^2} + {5^2}} = \sqrt {4 + 25} = \sqrt {29} N.

06. একটি প্রক্ষেপকের সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছবার সময়কাল কত?

(ক) \frac{{{u^2}}}{g}                           (খ) \frac{{u\sin \alpha }}{g}

(গ) \frac{{u\sin \alpha }}{{2g}}       (ঘ) \frac{u}{{2g}}

Ans. (খ) \frac{{u\sin \alpha }}{g} 

Solve: \frac{{u\sin \alpha }}{g}

07. \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1&{b + c} \\ b&1&{c + a} \\ c&1&{a + b} \end{array}} \right|

এর মান কত?

(ক) abc       (খ) 0     (গ) abc (a+b) (b+c) (c+a)        (ঘ) (a+b) (b+c) (c+a)

Ans. (গ) abc (a+b) (b+c) (c+a)

Solve: a= 1, b = 2, c = 3 ধরি,

তাহলে নির্ণায়কটি দাঁড়ায়, \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&5 \\ 2&1&4 \\ 3&1&3 \end{array}} \right|

= 1 (3-4) + 1(12-6) + 5(2-3)

= -1 + 6 – 5 = 0.

08. 2x - 5y + 10 = 0 দ্বারা নির্দেশিতা সরলরেখা এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা বেষ্টিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত (বর্গ একক)?

(ক) 10       (খ) – 4    (গ) 5       (ঘ) 1

Ans. (গ) 5 

Solve: 2x - 5y + 10 = 0

\Rightarrow 2x - 5y = - 10

\Rightarrow \frac{y}{2} - \frac{x}{5} = 1

\therefore ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2}.\left| {2.( - 5)} \right| = 5.

09. (1, – 3) কেন্দ্র বিশিষ্ট এবং x অক্ষকে স্পর্শকারী বৃত্তের সমীকরণ কি?

(ক) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 9 = 0

(খ) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 10 = 0

(গ) {x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 10 = 0

(ঘ) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0

Ans. (ঘ) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0

Solve: {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} = {( - 3)^2}

\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0.

10. {x^2} - 5x + c = 0 সমীকরণের একটি মূল 4 হলে অপর মূলটি-

(ক) – 5      (খ) – 4    (গ) 4       (ঘ) 1

Ans. (ঘ) 1

Solve: 4 + \alpha = 5

\Rightarrow \alpha = 1.

11. {i^2} = - 1 হলে, \frac{{i - {i^{ - 1}}}}{{i - 2{i^{ - 1}}}} এর মান-

(ক) 0     (খ) – 2i    (গ) 2i       (ঘ) \frac{2}{3}

Ans. (ঘ) \frac{2}{3}

Solve: \frac{{{i^2} - 1}}{{{i^2} - 2}} = \frac{{ - 1 - 1}}{{ - 1 - 2}} = \frac{2}{3}.

12. x > 0 এর সাপেক্ষে e ভিত্তিক \log \frac{1}{x} এর Derivative-

(ক) \frac{1}{{{x^2}}}     (খ) - \frac{1}{x}

(গ) \frac{1}{x}                 (ঘ) - \frac{1}{{{x^2}}}

Ans. (গ) \frac{1}{x}

Solve: y = \log \frac{1}{x}

\Rightarrow y = \log {x^{ - 1}} = \log x

\therefore \frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{1}{x}.

13. \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^3} + 8}}{{x + 2}} এর মান-

(ক) 12      (খ) 21    (গ) 14       (ঘ) 15

Ans. (ক) 12 

Solve: \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^3} + 8}}{{x + 2}}\left[ {\frac{0}{0}} \right] আকারে

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{3{x^2}}}{1} = 3 \times {( - 2)^2} = 12.

14. 40 হতে 50 সংখ্যাগুলো থেকে দৈব চয়ন পদ্ধতিতে একটি সংখ্যা নেয়া হল। সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(ক) \frac{8}{{11}}      (খ) \frac{5}{{11}}

(গ) \frac{3}{{11}}       (ঘ) \frac{1}{{11}}

Ans. (ক) \frac{8}{{11}} 

Solve: 40-50 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 3টি, আর মোট সংখ্যা 11টি

\therefore মৌলিক নয় এমন সংখ্যা = 11 – 3 = 8টি

\therefore মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = \frac{8}{{11}}.

15. CALCULUS শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে যেন সর্বদা U শুরুতে এবং শেষে থাকে?

(ক) 280      (খ) 180    (গ) 360       (ঘ) 90

Ans. (খ) 180

Solve: U দুটোকে প্রথমে ও শেষে রেখে মাঝে মোট সংখ্যা 6টি যেখানে L দুটি, C দুটি।

\therefore সাজানো যাবে = \frac{{6!}}{{2! \times 2!}} = 180.

16. \smallint \frac{{3{x^2}}}{{1 + {x^6}}}dx = f(x) + c হলে, f(x) এর মান কত?

(ক) {\tan ^{ - 1}}{x^3}      (খ) {\sin ^{ - 1}}{x^3}

(গ) \frac{1}{{1 + {x^3}}}       (ঘ) {\cos ^{ - 1}}{x^3}

Ans. (ক) {\tan ^{ - 1}}{x^3}

Solve: \smallint \frac{{3{x^2}}}{{1 + {x^6}}}dx

we consider, {x^3} = z, then 3{x^2}dx = dz

So, \smallint \frac{{dz}}{{1 + {z^2}}} = {\tan ^{ - 1}}z = {\tan ^{ - 1}}{x^3}.

17. \widehat i - \widehat j + \widehat k এবং - \widehat i + \widehat j + 2\widehat k ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কি?

(ক) 0^\circ     (খ) 45^\circ   (গ) 90^\circ      (ঘ) 180^\circ

Ans. (গ) 90^\circ 

Solve: \overrightarrow A .\overrightarrow B = {A_x}{B_x} + {A_y}{B_y} + {A_z}{B_z} = AB\,\cos \theta

A = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {{(1)}^2}} = \sqrt 3

B = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{(1)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 = \sqrt 2 .\sqrt 3

\therefore - 1 - 1 + 2 = \sqrt 3 .\sqrt 3 .\sqrt 2 \,\cos \theta

\Rightarrow 0 = \cos \theta

\Rightarrow \theta = {90^0}.

18. s = 6 + 4t - {t^2} হলে, 2 সে. পর এর ত্বরণ কত হবে?

(ক) 4m/{s^2}      (খ) - 4m/{s^2}

(গ) 2m/{s^2}        (ঘ) - 2m/{s^2}

Ans. (ঘ) - 2m/{s^2}

Solve: s = 6 + 4t - {t^2}

v = \frac{{ds}}{{dt}} = 4 - 2t

a = \frac{{dv}}{{dt}} = - 2.