জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা
শিক্ষাবর্ষ: ২০১০-১১

ক- ইউনিট

শিক্ষাবর্ষ-২০১০-২০১১

01.  f(x) = {x^2} + 4 এবং g(x) = 2x - 1 হলে, g(f(x)) এর মান-

(ক) 2{x^2} + 7             (খ) 7{x^2} + 2

(গ) {x^2} + 2x - 1         (ঘ) {x^2} - 2x + 3

Ans. (ক) 2{x^2} + 7     

Solve: g(f(x)) = g({x^2} + 4) = 2({x^2} + 4) - 1 = 2{x^2} + 7.

02. tan( - {15^0}) এর মান কত?

(ক) \sqrt 2 + 2      (খ) \sqrt 3 - 2     (গ) \sqrt 2 - 3     (ঘ) \sqrt 5

Ans. (খ) \sqrt 3 - 2 

Solve: tan( - {15^0}) = tan({30^0} - {45^0})

= \frac{{\tan {{30}^0} - \tan {{45}^0}}}{{1 + \tan {{30}^0}\tan {{45}^0}}}

= \frac{{\frac{1}{{\sqrt 3 }} - 1}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}.1}} = \frac{{\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} \times \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }}

= \frac{{1 - 2\sqrt 3 + 3}}{{1 - 3}} = \frac{{ - 2(\sqrt 3 - 2)}}{2} = \sqrt 3 - 2.

03. বাস্তব সংখ্যায় \left| {2x - 3} \right| \leqslant 1 অসমতাটির সমাধান।

(ক) 1 < x < 2                                                          (খ) 1 \leqslant x \leqslant 2

(গ) x \leqslant 1or\,x \geqslant 2       (ঘ) 1 < x \leqslant 2

Ans. (খ) 1 \leqslant x \leqslant 2

Solve: \left| {2x - 3} \right| \leqslant 1

\Rightarrow - 1 \leqslant 2x - 3 \leqslant 1

\Rightarrow 2 \leqslant 2x \leqslant 4

\Rightarrow 1 \leqslant x \leqslant 2.

04. {x^2} - 2x - 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় \alpha ,\beta হলে \alpha + \beta, \alpha \beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে-

(ক) {x^2} + x - 6 = 0                           (খ) 3{x^2} - 2x + 1 = 0

(গ) {x^2} - 3x + 6 = 0                          (ঘ) {x^2} - 3x + 2 = 0

Ans. (ক) {x^2} + x - 6 = 0   

Solve: এখানে, \alpha + \beta = 2, \alpha \beta = - 3

\therefore {x^2} - (\alpha + \beta + \alpha \beta )x + (\alpha + \beta )\alpha \beta = 0

\Rightarrow {x^2} + x - 6 = 0.

05. {(a + b)^{15}} এর 7তম পদের সহগ-

(ক) 5008       (খ) 5005           (গ) 7009       (ঘ) 6007

Ans. (খ) 5005   

Solve: {(a + b)^{15}} এর (6+1) তম পদের সহগ = ^{15}{C_6} = 5005.

06. \frac{{\sin {{75}^0} + \sin {{15}^0}}}{{\sin {{75}^0} - \sin {{15}^0}}} সমান-

(ক) \sqrt 3                            (খ) \frac{1}{{\sqrt 2 }}

(গ) \frac{1}{{\sqrt 3 }}      (ঘ) \sqrt 2

Ans. (ক) \sqrt 3

Solve: \frac{{\sin {{75}^0} + \sin {{15}^0}}}{{\sin {{75}^0} - \sin {{15}^0}}} = \frac{{\sin {{45}^0}\cos {{30}^0}}}{{\cos {{45}^0}\sin {{30}^0}}}

= \tan {45^0}\cot {30^0} = 1 \times \sqrt 3 = \sqrt 3.

07. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলো 13, 14 এবং 15 একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-

(ক) 84 sq. units      (খ) 88 sq. units       (গ) 80 sq. units       (ঘ) 64 sq. units

Ans. (ক) 84 sq. units  

Solve: অর্ধ পরিসীমা, s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21

\therefore ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}

= \sqrt {21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}

= \sqrt {21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84\,sq\,units.

08. {x^2} + {y^2} - 24x + 10y = 0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ-

(ক) 7     (খ) 5           (গ) 13       (ঘ) 12

Ans. (গ) 13

Solve: {x^2} + {y^2} - 24x + 10y = 0

\Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2( - 12)x + 2.5y = 0

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = \sqrt {{g^2} + {f^2} - c} = \sqrt {{{( - 12)}^2} + {5^2}} = 13.

09. y = {e^{\sqrt x }} হলে, \frac{{dy}}{{dx}} কত?

(ক) \frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}

(খ) \frac{{{e^x}}}{{2\sqrt x }}

(গ) \frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2x}}       (ঘ) \frac{{{e^x}}}{{\sqrt 2 x}}

Ans. (ক) \frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}     

Solve: y = {e^{\sqrt x }}

\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = {e^{\sqrt x }}.\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}.

10. একটি ট্রেন t সেকেন্ডে 3t + \frac{{{t^2}}}{8} ফুট দূরত্ব যায়। 5 সেকেন্ড পর ট্রেনটির বেগ কত?

(ক) \frac{{17}}{4}ft/s     (খ) 17 ft/s

(গ) 75 ft/s                                  (ঘ) \frac{{145}}{8}ft/s

Ans. (ক) \frac{{17}}{4}ft/s 

Solve: দূরত্ব s =3t + \frac{{{t^2}}}{8}

বেগ, v বা \frac{{ds}}{{dt}} = 3 + \frac{{2t}}{8} = 3 + \frac{t}{4}

\therefore সেকেন্ড পর বেগ = 3 + \frac{5}{4} = \frac{{17}}{4}ft/s

11. \int {{{_1}^e}}In xdx এর মান-

(ক) e     (খ) {e^{ - 1}}           (গ) 1       (ঘ) 1 – e

Ans. (গ) 1

Solve: \int {{{_1}^e}}In xdx = {[x.In\,x - x]^e}_1

= e. 1ne – e – (1. In1-1)

= e – e + 1 = 1.

12. tan x এর পর্যায়কাল।

(ক) 2\pi     (খ) \pi           (গ) 3\pi       (ঘ) 4\pi

Ans. (খ) \pi 

Solve: i. sinx, cosecx, cosx & secx এর মৌলিক পর্যায় কাল =  2\pi

ii. tanx & cotx এর মৌলিক পর্যায় কাল = \pi

iii. {\sin ^2}x,\cos e{c^2}x,{\cos ^2}x,{\sec ^2}x,{\tan ^2}x\& {\cot ^2}x এর মৌলিক পর্যায় কাল = \pi.

13. \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{13}&{16} \\ {11}&{14}&{17} \\ {12}&{15}&{18} \end{array}} \right|

নির্ণায়কের মান-

(ক) 0     (খ) 1          (গ) 10       (ঘ) 5

Ans. (ক) 0 

Solve: \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 3}&{16} \\ { - 3}&{ - 3}&{17} \\ { - 3}&{ - 3}&{18} \end{array}} \right|\left[ \begin{gathered} {{C'}_1} = {C_1} - {C_2} \hfill \\ {{C'}_2} = {C_2} - {C_3} \hfill \\ \end{gathered} \right] = 0.

14. u বেগে অনুভূমিকের সাথে \alpha কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা-

(ক) \frac{{{u^2}\sin 2\alpha }}{{2g}}

(খ) \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}

(গ) \frac{{{u^2}\sin 2\alpha }}{g}

(ঘ) \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{g}.

Ans. (খ) \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}} 

Solve: উত্থানকাল = পতনকাল = \frac{{u\sin \alpha }}{g}

বিচরণকাল,  T = \frac{{2u\sin \alpha }}{g} এবং আনুভূমিক পাল্লা, R = \frac{{{u^2}\sin 2\alpha }}{g}.

15. y = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} হলে, {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}} - 4y = ?

(ক) 2     (খ) \pm \sqrt 5          (গ) 1       (ঘ) 0

Ans. (ঘ) 0

Solve: y = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}

\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = 2x - \frac{2}{{{x^3}}}

\Rightarrow \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 2 + \frac{6}{{{x^4}}}

\therefore L.H.S. = {x^2}(2 + \frac{6}{{{x^4}}}) + x(2x - \frac{2}{{{x^3}}}) - 4({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}})

= 2{x^2} + \frac{6}{{{x^2}}} + 2{x^2} - \frac{2}{{{x^2}}} - 4{x^2} - \frac{4}{{{x^2}}}

= 4{x^2} + \frac{6}{{{x^2}}} - 4{x^2} - \frac{6}{{{x^2}}} = 0.

16. 3{x^2} + 4{y^2} = 12 উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা-

(ক) \frac{1}{4}               (খ) \frac{1}{2}

(গ) \frac{3}{4}                (ঘ) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

Ans. (খ) \frac{1}{2}  

Solve: 3{x^2} + 4{y^2} = 12

বা, \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1

\therefore উৎকেন্দ্রিকতা, e = \sqrt {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} = \sqrt {1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}[{a^2} = 4,{b^2} = 3].

17. 40 হতে 50 সংখ্যাগুলো থেকে দৈবচয়ন পদ্ধতিতে একটি সংখ্যা নেওয়া হলো। সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(ক) \frac{2}{{11}}     (খ) \frac{3}{{11}}

(গ) \frac{1}{5}             (ঘ) \frac{3}{10}

Ans. (খ) \frac{3}{{11}} 

Solve: 40 থেকে 50 পর্যন্ত সংখ্যাগুলি মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 3টি এবং মোট সংখ্যা 11টি।

\therefore দৈবচয়ন পদ্ধতিতে একটি সংখ্যা নিলে মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা \frac{3}{{11}}.

18. A = {5, 9, 1, 2}, B = {6, 5, 8, 2} হলে, A – B = ?

(ক) {1, 2}     (খ) {9, 1}        (গ) {6, 8}       (ঘ) {5, 8}

Ans. (খ) {9, 1} 

Solve: A- B = {5, 9, 1, 2} – {6, 5, 8, 2}  = {9, 1}.

19. যদি \omega এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয়, তবে 1 + \omega + {\omega ^2} = ?

(ক) 0    (খ) {\omega ^3}        (গ) 1      (ঘ) \omega

Ans. (ক) 0  

Solve: i.1 + \omega + {\omega ^2} = 0\,    \,ii.\,{\omega ^3} = 1.

20. {\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = ?

(ক) \frac{\pi }{4}    (খ) \pi  (গ) \frac{\pi }{3}    (ঘ) \frac{\pi }{2}

Ans. (ঘ) \frac{\pi }{2}

Solve: {\sin ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2};ta{n^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2};

{\sec ^{ - 1}}x + \cos e{c^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}.

21. \overrightarrow a = 3\widehat i - \widehat j + 2\widehat k,\overrightarrow b = \widehat i - 3\widehat k হলে \overrightarrow a .\overrightarrow b =?

(ক) 3    (খ) 4        (গ) -3      (ঘ) – 4

Ans. (গ) -3

Solve: \overrightarrow a .\overrightarrow b = 3 \times 1 + ( - 1) \times 0 + 2( - 3) = 3 + 0 - 6 = - 3.

22. ‘MATHEMATICS’ শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

(ক) \frac{{11!}}{8}           (খ) \frac{{11!}}{3}

(গ) \frac{{11!}}{4}            (ঘ) \frac{{11!}}{6}

Ans. (ক) \frac{{11!}}{8}  

Solve: ‘MATHEMATICS’ শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ আছে। যার মধ্যে M দুইটি, T দুইটি,  A দুইটি।

\therefore বর্ণগুলো সাজানো যায় = \frac{{11!}}{{2!2!2!}} = \frac{{11!}}{8}.

23. \sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\tan y = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}} হলে, \frac{{dy}}{{dx}} = ?

(ক) 2t    (খ) 2        (গ) 1      (ঘ) {1 + {t^2}}

Ans. (গ) 1

Solve: x = si{n^{ - 1}}\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} = 2{\tan ^{ - 1}}t...........(i)

এবং y = ta{n^{ - 1}}\frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}2{\tan ^{ - 1}}t...........(ii)

(i)(ii) হতে, y = x\therefore \frac{{dy}}{{dx}} = 1.

24. \smallint \begin{array}{*{20}{c}} {{e^2}} \\ 1 \end{array}\frac{{dx}}{{x{{(1 + Inx)}^2}}} = ?

(ক) \frac{1}{4}    (খ) \frac{2}{3}        (গ) 3     (ঘ) 2

Ans. (খ) \frac{2}{3} 

Solve: ধরি, z = 1 + Inx

\therefore \frac{{dz}}{{dx}} = 0 + \frac{1}{x}

\Rightarrow dz = \frac{1}{x}dx

\therefore \smallint \begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 1 \end{array}\frac{1}{{{z^2}}}dz = \smallint \begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 1 \end{array}{z^{ - 2}}dz = \left| {\frac{{{z^{ - 2 + 1}}}}{{ - 2 + 1}}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 1 \end{array}

= {\left| { - \frac{1}{z}} \right|^3}_1 = \left[ { - \frac{1}{3} + 1} \right] = \frac{2}{3}.

25. \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 3}}  সীমার মান কত?

(ক) 6    (খ) – 6        (গ) 5      (ঘ) 7

Ans. Blank

Solve: \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 3}} = \frac{{{2^2} + 2 \times 2 - 8}}{{2 - 3}} = 0.

26. একটি পাথর একটি টাওয়ারের ছাদ থেকে সোজাসুজি উপরের দিকে ছোঁড়া হল। পাথরটি 10 সেকেন্ড পর 51 m/s বেগে মাটিতে পড়ল। টাওয়ারটির উচ্চতা কত?

(ক) 10m     (খ) 15 m        (গ) 20 m       (ঘ) 25 m

Ans. (গ) 20 m

Solve: v = – u + gt

\Rightarrow u = gt - v = 9.8 \times 10 - 51 = 47m{s^{ - 1}}

আবার, H = - ut + \frac{1}{2}g{t^2} = - 47 \times 10 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times {10^2} = 20.

27. লামীর উপপাদ্য কোনটি?

(ক) \frac{P}{{\sin \alpha }} = \frac{Q}{{\sin \beta }} = \frac{R}{{\sin \gamma }}

(খ) {P^2} + {Q^2} = {R^2}

(গ) S = ut + \frac{1}{2}f{t^2}

(ঘ) {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta = {\sin ^2}\gamma

Ans. (ক) \frac{P}{{\sin \alpha }} = \frac{Q}{{\sin \beta }} = \frac{R}{{\sin \gamma }}

28. x এর কোন মানের জন্য y = x + \frac{1}{x} বক্ররেখাটির ঢাল শুন্য হবে?

(ক) x = \pm 2   (খ) x = \pm 1       (গ) x = 1  (ঘ) x = \pm 3

Ans. (খ) x = \pm 1   

Solve: y = x + \frac{1}{x}

\therefore \frac{{dy}}{{dx}} = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}

প্রশ্নমতে, \frac{{dy}}{{dx}} = 0

\Rightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0

\Rightarrow {x^2} - 1 = 0

বা, x = \pm 1.

29. A(1, 1) এবং B (4, 5) বিন্দু দুইটির দূরত্ব-

(ক) 4 units     (খ) 6 units      (গ) 5 units      (ঘ) 8 units

Ans. (গ) 5 units

Solve: \sqrt {{{(1 - 4)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 4)}^2}}

= \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5\,units.