জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা
শিক্ষাবর্ষ: ২০০৮-০৯

ক- ইউনিট

শিক্ষাবর্ষ-২০০৮-২০০৯

01. (-1 , 1) এবং (-7, 3) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি বৃত্তের কেন্দ্র 2x + y = 9 রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ

(ক) {(x + 1)^2} + {(y - 11)^2} = 100

(খ) {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 81

(গ) {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} = 4

(ঘ) {(x - 5)^2} + {(y + 1)^2} = 64

Ans. (ক) {(x + 1)^2} + {(y - 11)^2} = 100   

Solve: (-1 , 1) এবং (-7, 3) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি বৃত্তের কেন্দ্র 2x + y = 9 রেখার উপর অবস্থিত।

বি:দ্র: যেহেতুট বৃত্তটি (-1, 1) এবং (-7, 3) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে সেহেতু এ বিন্দুদ্বয় দ্বারা বৃত্তের সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। অর্থাৎ x ও y এর পরিবর্তে এ বিন্দুতে বসালে বামপক্ষ = ডানপক্ষ হবে।

{( - 1 + 1)^2} + {( - 1 - 11)^2} = {10^2} = 100

সুতরাং বৃত্তটির সমীকরণ, {(x + 1)^2} + {(y - 11)^2} = 100.

02. \sin ({780^0})\cos ({390^0}) - sin({330^0})\cos ( - {300^0}) এর মান-

(ক) \frac{1}{2}    (খ) – 1    (গ) 1     (ঘ) –\frac{1}{2}

Ans. (গ) 1

03. 3x - {x^2} - 5 এর গরিষ্ঠমান-

(ক) \frac{{11}}{3}        (খ) \frac{{11}}{4}

(গ) \frac{{ - 11}}{4}     (ঘ) \frac{{17}}{4}

Ans. (গ) \frac{{ - 11}}{4} 

04. কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুসমূহ (-4, 3), (-1, -2) এবং (3, – 2) হলে, তার ক্ষেত্রফল-

(ক) 15 sq. units   (খ) 10 sq. units    (গ) 7 sq. units     (ঘ) 30 sq. units

Ans. (খ) 10 sq. units

Solve: ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5 \\ { - 4}&0 \end{array}} \right| = \frac{1}{2} \times 20 = 10\,sq\,units.

05. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3 + x} - \sqrt {3 - x} }}{x} এর মান-

(ক) \frac{1}{{\sqrt 3 }}           (খ) \frac{2}{3}

(গ) \frac{{\sqrt 3 }}{2}            (ঘ) \frac{1}{{2\sqrt 3 }}

Ans. (ক) \frac{1}{{\sqrt 3 }}    

Solve: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\sqrt {3 + x} )}^2} - {{(\sqrt {3 - x} )}^2}}}{{x(\sqrt {3 + x} + \sqrt {3 - x} )}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{(\sqrt {3 + x} + \sqrt {3 - x} )}}\frac{1}{{\sqrt 3 }}.

06. {y^2} = 9x পরাবৃত্তের (4, 6) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ

(ক) 3x – 4y + 12 = 0      (খ) 4x – 3y – 12 = 0

(গ) 7x + 3y – 5 = 0           (ঘ) 7x – 3y + 6 = 0

Ans. (ক) 3x – 4y + 12 = 0  

Solve: এখানে, a = \frac{9}{4}

যে সমীকরণের জন্য cm = a = \frac{9}{4} হবে সেটাই {y^2} = 9x এর স্পর্শক হবে।

3x - 4y + 12 = 0

\Rightarrow y = \frac{3}{4}x + 3

\therefore এ সমীকরণের জন্য, c = 3,m = \frac{3}{4}

\therefore cm = \frac{9}{4}.

07. \int {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \frac{{{{\cos }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx এর মান-

(ক) \frac{\pi }{2}               (খ) \frac{{{\pi ^2}}}{8}

(গ) \frac{{{\pi ^2}}}{4}     (ঘ) \frac{{{\pi ^2}}}{16}

Ans. (খ) \frac{{{\pi ^2}}}{8}

Solve: \int {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \frac{{{{\cos }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = - \frac{1}{2}[{(co{s^{ - 1}}x)^2}]\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}

= - \frac{1}{2}\left( {0 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{8}.

08. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের একটির মান অপরটির দ্বিগুণ হলে এবং তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতরটির উপর লম্ব হলে বলদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণ-

(ক) {210^0}   (খ) {120^0}   (গ) {90^0}     (ঘ) {60^0}

Ans. (খ) {120^0}

Solve: \frac{1}{0} = \frac{{2P\sin \alpha }}{{P + 2P\cos \alpha }}

\Rightarrow P + 2P\cos \alpha = 0

\Rightarrow 1 + 2\cos \alpha = 0

\therefore \alpha = {120^0}.

09. যদি {x^2} + 3xy + 5{y^2} = 10 হয়, তবে \frac{{dy}}{{dx}}  সমান-

(ক) \frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}   (খ)\frac{{2x - 3y}}{{3x + 10y}}

(গ) \frac{{2x + 3y}}{{3x - 10y}}    (ঘ) –\frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}

Ans. (ঘ) –\frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}

Solve: {x^2} + 3xy + 5{y^2} = 10

\Rightarrow \frac{d}{{dx}}({x^2} + 3xy + 5{y^2}) = 0

\Rightarrow 2x + 3x\frac{{dy}}{{dx}} + 3y + 10y\frac{{dy}}{{dx}} = 0

\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}}(3x + 10y) = - 2x - 3y

\therefore \frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}.

10. {\tan ^{ - 1}}1 + {\tan ^{ - 1}}2 + {\tan ^{ - 1}}3 এর মান

(ক) 0       (খ) \frac{\pi }{2}    (গ) \pi     (ঘ) {2\pi }

Ans. (গ) \pi

11. যদি \int {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} f(x)dx = 6 তবে \int {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ { - 1} \end{array}} f(x + 1)dx এর মান-

(ক) 5       (খ) 7       (গ) 0     (ঘ) 6

Ans. (ঘ) 6

Solve: ধরি, x + 1 = z

\Rightarrow dx = dz

\therefore \int {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} f(z)dx

= \int {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} f(x)dx [চলক পরিবর্তন করলে, লিমিট পরিবর্তন হয় না]

= 6.

12. যদি y = 1 + \frac{1}{{2 + x}} বক্ররেখা x - অক্ষকে A বিন্দুতে এবং y - অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে তবে AB সরলরেখার সমীকরণ-

(ক) x- 2y +3 = 0                       (খ) x+ 2y + 3 = 0

(গ) 2x – y + 3 = 0                      (ঘ) x – 6y – 3 = 0

Ans. (ক) x- 2y +3 = 0    

Solve: y = 1 + \frac{1}{{2 + x}} = 1 + \frac{1}{{2 + 0}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

\therefore B = \left( {0,\frac{3}{2}} \right)

আবার, y = 1 + \frac{1}{{2 + x}}

\Rightarrow 0 = 1 + \frac{1}{{2 + x}}

\Rightarrow \frac{1}{{2 + x}} = - 1

\Rightarrow - 2 - x = 1

\Rightarrow x = - 3

\therefore A \equiv ( - 3,0)

\therefore AB রেখার সমীকরণ, x – 2y + 3 =0.

13. {x^2} - 2x + 3 = 0 সমীকরনের মূলদ্বয় \alpha ,\beta হলে, - \alpha , - \beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণ-

(ক) {x^2} - 2x + 3 = 0      (খ) {x^2} - 2x - 3 = 0

(গ) {x^2} + 2x - 3 = 0       (ঘ) {x^2} + 2x + 3 = 0

Ans. (ঘ) {x^2} + 2x + 3 = 0

Solve: a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের - \alpha , - \beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হল: a{x^2} - bx + c = 0

\therefore {x^2} - (2x) + 3 = 0

\Rightarrow {x^2} + 2x + 3 = 0.

14. 4\widehat i + 2\widehat j - 3\widehat k এবং \lambda \widehat i - 3\widehat j + 2\widehat k ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, \lambda এর মান-

(ক) 3      (খ) 5       (গ) 7     (ঘ) 13

Ans. (ক) 3

Solve: ভেক্টরদ্বয় লম্ব হলে এদের ডট গুণন শুন্য হবে।

4\lambda - 6 - 6 = 0

\Rightarrow 4\lambda = 12

\therefore \lambda = 3.

15. একটি কণার উপর সেকেন্ডে 2, 3 এবং 5 মিটার/সে. মানের তিনটি বেগ বিভিন্ন দিক হতে কার্যকর থাকলেও কণাটি স্থিতিশীল রয়েছে। ক্ষুদ্রতর দুইটি বেগের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ-

(ক) {30^0}     (খ) {180^0}       (গ) {0^0}     (ঘ) {90^0}

Ans. (গ) {0^0}

Solve: {5^2} = {2^2} + {3^2} + 2 \times 2 \times 3\cos \theta

\Rightarrow 25 = 4 + 9 + 12\cos \theta

\therefore \theta = {0^0}.

16. 2{\cos ^2}\theta + 2\sqrt 2 \sin \theta = 3 হলে \theta এর মান-

(ক) {30^0}     (খ) {45^0}       (গ) {60^0}     (ঘ) {120^0}

Ans. (খ) {45^0}   

Solve: 2(1 - {\sin ^2}\theta ) + 2\sqrt 2 \sin \theta - 3 = 0

\Rightarrow - 2{\sin ^2}\theta + 2\sqrt 2 \sin \theta - 1 = 0

\Rightarrow 2{\sin ^2}\theta - 2\sqrt 2 \sin \theta + 1 = 0

\Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

\Rightarrow \theta = {45^0}.

17. ব্যঞ্জনবর্ণগুলো কেবলমাত্র বিজোড় স্থানে রেখে ‘EQUATION’ শব্দটির অক্ষরগুলোকে যতভাবে সাজানো যায় তার সংখ্যা-

(ক) 2840      (খ) 2880       (গ) 880     (ঘ) 2480

Ans. (খ) 2880

Solve: ব্যঞ্জনবর্ণগুলো কেবলমাত্র বিজোড় স্থানে রেখে ‘EQUATION’ শব্দটির অক্ষরগুলোর বিন্যাস সংখ্যা = ^4{P_3} \times 5! = 2880.

18. \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {50}&{60}&{70} \\ {10}&{20}&{30} \\ {30}&{60}&{90} \end{array}} \right| নির্ণায়কটির মান-

(ক) 1     (খ) 2       (গ) 3     (ঘ) 0

Ans. (ঘ) 0

Solve: \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {50}&{60}&{70} \\ {10}&{20}&{30} \\ {30}&{60}&{90} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{10}&{70} \\ {10}&{10}&{30} \\ {30}&{30}&{90} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{10}&{70} \\ 0&{10}&{30} \\ 0&{30}&{90} \end{array}} \right| = 0

19. যদি \omega এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে-

{( - \omega + {\omega ^2} + 1)^2} + (1 - {\omega ^2} + {\omega ^2})

(ক) 4     (খ) 3       (গ) – 3     (ঘ) – 4

Ans. (ঘ) – 4

Solve: {( - \omega )^2} + {( - 2{\omega ^2})^2} = 4{\omega ^2} + 4{\omega ^4} = 4({\omega ^2} + \omega ) = - 4.

20. যদি \frac{{x + p}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{q}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} হয়, যেখানে p এবং q  ধ্রুবক তবে p ও q এর মান-

(ক) p = -2, q = 1     (খ) p = 2, q = 1       (গ) p = 1, q = – 1     (ঘ) p = 1, q = 1

Ans. (গ) p = 1, q = – 1

Solve: x + p = q (x – 3) + 2 (x – 1)

x = 3 হলে, 3 + p = 4

p = 1

x = 1 হলে 1 + p = – 2q

1+ 1 = – 2q

q = – 1.

21. যদি A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0 \\ 5&1 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \\ 0&{ - 3} \end{array}} \right) হয়, তবে AB সমান-

(ক) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&0 \\ {15}&{ - 3} \end{array}} \right)

(খ) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 2&{ - 5} \end{array}} \right)

(গ) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&0 \\ {10}&{ - 3} \end{array}} \right)

(ঘ) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&0 \\ {10}&3 \end{array}} \right)

Ans. (গ) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&0 \\ {10}&{ - 3} \end{array}} \right)

Solve: AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0 \\ 5&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \\ 0&{ - 3} \end{array}} \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {6 + 0}&{0 + 0} \\ {10 + 0}&{0 - 3} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&0 \\ {10}&{ - 3} \end{array}} \right).

22. \frac{1}{{{{\sin }^2}x\sqrt {\cot x} }} এর একটি অনির্দিষ্ট যোগজ-

(ক) \sqrt {\cot x} In(\sin x)          (খ) sinx\sqrt {\tan x}

(গ) - 2\sqrt {\operatorname{cotx} }

(ঘ) \frac{3}{2}{(\tan x)^{3/2}}

Ans. (গ) - 2\sqrt {\operatorname{cotx} }

Solve: \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x\sqrt {\operatorname{cotx} } }}} = \int {\frac{{\cos e{c^2}xdx}}{{\sqrt {\operatorname{cotx} } }} = - 2\sqrt {\cot x} } + c.

23. \frac{{{{(x - 4)}^2}}}{{64}} + \frac{{{{(y + 2)}^2}}}{{100}} = 1 উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা-

(ক) 1     (খ) \frac{3}{5}       (গ) \frac{5}{3}     (ঘ) \frac{4}{5}

Ans. (খ) \frac{3}{5}

Solve: উৎকেন্দ্রিকতা= \sqrt {1 - \frac{{64}}{{100}}} = \sqrt {\frac{{100 - 64}}{{100}}} = \sqrt {\frac{{36}}{{100}}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.

24. {i^2} = - 1 হলে, \frac{{{i^{ - 1}} - i}}{{1 + 2{i^{ - i}}}} এর মান-

(ক) 0   (খ) – 2i       (গ) 2i     (ঘ) 2

Ans. (ঘ) 2

Solve: {i^2} = - 1;\,now,\frac{{{i^{ - 1}} - i}}{{1 + 2{i^{ - i}}}} = \frac{{1 - {i^2}}}{{{i^2} + 2}} = \frac{{1 - ( - 1)}}{{ - 1 + 2}} = 2.