জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা
শিক্ষাবর্ষ: ২০০৭-০৮
ক- ইউনিট

01. এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল \omega হলে,

(1 + \omega )(1 + {\omega ^2})(1 + {\omega ^4})(1 + {\omega ^8}) এর মান-

(ক) -1        (খ) \frac{1}{2}       (গ) \frac{1}{10}      (ঘ) 1

Ans. (ঘ) 1

Solve: (1 + \omega )(1 + {\omega ^2})(1 + {\omega ^4})(1 + {\omega ^8})

= (1 + \omega )(1 + {\omega ^2})(1 + \omega )(1 + {\omega ^2}) = (1 + {\omega ^2}){(1 + {\omega ^2})^2}

= {\omega ^4}.{\omega ^2} = {\omega ^6} = 1.

02. প্রক্ষেপকের উত্থানকাল t এবং সর্বোচ্চ উচ্চতা H হলে, \frac{H}{{{t^2}}} এর মান-

(ক) \frac{g}{2}              (খ) \frac{{2g}}{3}

(গ) \frac{{3g}}{2}           (ঘ) \frac{{3}}{2g}

Ans. (ক) \frac{g}{2} 

Solve: \frac{H}{{{t^2}}} = \frac{{{u^2}}}{{2g}} \times \frac{{{g^2}}}{{{u^2}}} = \frac{g}{2}.

03. y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} হলে, \frac{{dy}}{{dx}} এর মান-

(ক) \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} (খ) \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}

(গ) \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}

(ঘ) \frac{1}{{{{({x^2} + 1)}^{3/2}}}}

Ans. (ঘ) \frac{1}{{{{({x^2} + 1)}^{3/2}}}}

Solve: \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)1 - x\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}} = \frac{1}{{{{({x^2} + 1)}^{3/2}}}}.

04. \cos {198^0} + \sin {432^0} + \tan {168^0} + \tan {12^0} এর মান-

(ক) \frac{\pi }{2}      (খ) 1       (গ) 0          (ঘ) – 1

Ans. (গ) 0

Solve: \cos {198^0} + \sin {432^0} + \tan {168^0} + \tan {12^0} = 0.

05. A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2 \\ { - 3}&1 \end{array}} \right) হলে, {A^{ - 1}} এর মান-

(ক) \frac{1}{5}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 1&2 \end{array}} \right)

(খ) \frac{1}{{11}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ 3&5 \end{array}} \right)

(গ) - \frac{1}{{11}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2 \\ 5&{ - 3} \end{array}} \right)

(ঘ) \frac{1}{3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ 3&{ - 1} \end{array}} \right)

Ans. (খ) \frac{1}{{11}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ 3&5 \end{array}} \right)

Solve: A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2 \\ { - 3}&1 \end{array}} \right)

\Rightarrow \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2 \\ { - 3}&1 \end{array}} \right| = 5 + 6 = 11

\therefore {A^{ - 1}} = \frac{1}{{11}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ 3&5 \end{array}} \right|.

06. \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha + 3}&6 \\ 5&{\alpha - 4} \end{array}} \right] ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রম হবে যদি \alpha এর মান-

(ক) 6, – 7     (খ) 1, – 3       (গ) 3, – 1          (ঘ) 7, – 6

Ans. (ঘ) 7, – 6

Solve: ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রম হবে যদি এর Determinant শূন্য হয়।

{\alpha ^2} - \alpha - 12 - 30 = 0

\Rightarrow {\alpha ^2} - \alpha - 42 = 0

\Rightarrow {\alpha ^2} - 7\alpha + 6\alpha - 42 = 0

\Rightarrow \alpha (a - 7) + 6(\alpha - 7) = 0

\Rightarrow (\alpha - 7)(\alpha + 6) = 0

\therefore \alpha = 7, - 6.

07. \frac{i}{{1 - \frac{i}{{1 - \frac{1}{{i + 1}}}}}} এর মান-

(ক) – 1     (খ) 1       (গ) i          (ঘ) - \frac{i}{2}

Ans. (ক) – 1 

Solve: \frac{i}{{1 - \frac{i}{{1 - \frac{1}{{i + 1}}}}}} = \frac{i}{{1 - \frac{i}{{\frac{{i + 1 - 1}}{{i + 1}}}}}}

= \frac{i}{{1 - \frac{{{i^2} + i}}{i}}} = \frac{i}{{\frac{{i - {i^2} - i}}{i}}} = \frac{{{i^2}}}{{ - {i^2}}} = - 1.

08. \cos \theta + \sin \theta = \sqrt 2 হলে, \theta এর মান-

(ক) 2n\pi                                        (খ) (2n + 1)\pi

(গ) 2n\pi + \frac{\pi }{4}          (ঘ) (2n - 1)\pi

Ans. (গ) 2n\pi + \frac{\pi }{4}

Solve: \cos \theta + \sin \theta = \sqrt 2

\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \theta + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \theta = 1

\Rightarrow \cos \theta \,\cos \frac{\pi }{4} + \sin \theta \,\sin \frac{\pi }{4} = 1

\Rightarrow \cos \left( {\theta - \frac{\pi }{4}} \right) = 1

\Rightarrow \theta - \frac{\pi }{4} = 2n\pi

\therefore \theta = 2n\pi + \frac{\pi }{4}.

09. একজন লোক তার কাঁধে আনুভূমিকভাবে স্থাপিত 6 ফুট দীর্ঘ একটি লাঠির প্রান্তে হাত রেখে অপর প্রান্তে w ওজনের একটি বস্তু বহন করছেন। কাঁধের উপর চাপের পরিমাণ বস্তুটির ওজনের তিনগুণ হলে, কাঁধ থেকে হাতের দূরত্ব-

(ক) 3 feet     (খ) 4 feet       (গ) 2 feet          (ঘ) 1 feet

Ans. (গ) 2 feet

Solve:                             চিত্র

10. \int {\frac{{(1 + x){e^x}}}{{{{\cos }^2}(x{e^x})}}} dxএর মান-

(ক) \sin ({e^x}) + c        (খ) \tan (x{e^x}) + c

(গ) cos(x{e^x}) + c          (ঘ) cot(x{e^x}) + c

Ans. (খ) \tan (x{e^x}) + c    

Solve: \int {\frac{{(1 + x){e^x}}}{{{{\cos }^2}(x{e^x})}}} = \tan (x{e^x}) + c..

11. 5x – 2y + 4 = 0 এবং 4x – 3y + 5 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ-

(ক) 7x – 2y + 1 = 0    (খ) 3x – 2y = 0       (গ) 9x + 2y = 0         (ঘ) 2x – 3y = 0

Ans. (গ) 9x + 2y = 0 

Solve: 5x – 2y + 4 = 0 এবং 4x – 3y + 5 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী যে কোন রেখার সমীকরণ, 5x – 2y + 4 + k(4x – 3y + 5) = 0

কিন্তু (0, 0) বিন্দুগামী বলে, 4 + k.5 = 0

\Rightarrow k = \left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)

\therefore নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 5x - 2y + 4 + \left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)(4x - 36y + 5) = 0

\Rightarrow 9x + 2y = 0.

12. 2N এবং 5N মানের দুইটি বল পরস্পর লম্বদিকে ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধির মান-

(ক) \sqrt {29} N    (খ) 2\sqrt 5 N      (গ) 6N       (ঘ) \sqrt 5 2N

Ans. (ক) \sqrt {29} N

Solve: R = \sqrt {{2^2} + {5^2}} = \sqrt {4 + 25} = \sqrt {29} N.

13. {x^2} - 5x + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় \alpha এবং \beta হলে, \alpha + \beta এবং \alpha \beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণ-

(ক) {x^2} - 6x + 5 = 0       (খ) {x^2} + 11x - 6 = 0

(গ) {x^2} - 11x + 30 = 0   (ঘ) {x^2} + 6x - 5 = 0

Ans. (গ) {x^2} - 11x + 30 = 0 

Solve: প্রদত্ত সমীকরণ, \alpha + \beta = 5,\alpha \beta = 6

\therefore (\alpha + \beta ) + \alpha \beta = 5 + 6 = 11

এবং (\alpha + \beta )\alpha \beta = 5 \times 6 = 30

\therefore সমীকরণটি, {x^2} - 11x + 30 = 0.

14. 3x + 7y - 2 = 0 সরলরেখার উপর লম্ব এবং (2, 1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-

(ক) 3x + 7y – 13 = 0    (খ) 7x – 3y – 11 = 0

(গ) 7x + 3y – 17 = 0      (ঘ) 7x – 37 – 2 = 0

Ans. (খ) 7x – 3y – 11 = 0   

Solve: 7(x – 2) – 3(y – 1) = 0

7x – 3y – 11 = 0.

15. {x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 4 = 0 বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক-

(ক) (2, 0)    (খ) (3, 0)       (গ) (6, 6)         (ঘ) (4, 1)

Ans. (ক) (2, 0)

Solve: y = 0\,So,\,{x^2} - 4x + 4 = 0

\Rightarrow {(x - 2)^2} = 0

\Rightarrow x = 2.

16. 30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমতো নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা-

(ক) 2\frac{1}{2}          (খ) 2\frac{5}{11}

(গ) 2\frac{6}{11}         (ঘ) 2\frac{3}{5}

Ans. (খ) 2\frac{5}{11}    

Solve: 30-40 মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 2টি (31, 37) এবং 5 এর গুণিতক 3টি (30, 35, 40)। সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ায় সম্ভাব্যতা = \frac{2}{{11}} + \frac{3}{{11}} = \frac{5}{{11}}.

17. \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{20}&{30} \\ {40}&{50}&{60} \\ {20}&{40}&{60} \end{array}} \right| নির্ণায়কটির মান-

(ক) 5     (খ) – 5       (গ) 20         (ঘ) 0

Ans. (ঘ) 0

Solve: \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{20}&{30} \\ {40}&{50}&{60} \\ {20}&{40}&{60} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{10}&{30} \\ {10}&{10}&{60} \\ {20}&{20}&{60} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{10}&{30} \\ 0&{10}&{60} \\ 0&{20}&{60} \end{array}} \right| = 0.

18. \frac{{x + 17}}{{(x - 3)(x + 2)}} \equiv \frac{a}{{x - 3}} + \frac{b}{{x + 2}} হলে a এবং b এর মান, যেখানে a এবং b ধ্রুবক-

(ক) a = 2, b = -5     (খ) a = 4, b = – 3       (গ) a = -3, b = 4         (ঘ) a = 4, b = -2

Ans. (খ) a = 4, b = – 3 

Solve: x + 17 = a(x + 2) + b(x – 3)

x = 3 হলে, 3 + 17 =  5a

a = 4

আবার, x = – 2 হলে, – 2 + 17 = -5b

b = – 3

19. xy + {x^3}{y^3} - 5 = 0 হলে, \frac{{dy}}{{dx}} এর মান-

(ক) \frac{y}{x}             (খ) \frac{2x}{y}

(গ) \frac{2y}{x}           (ঘ) - \frac{y}{x}

Ans. (ঘ) - \frac{y}{x}

Solve:

xy + {x^3}{y^3} - 5 = 0

\Rightarrow x{y_1} + y + {x^3}.3{y^2}.{y_1} + {y^3}.3{x^2} = 0

\Rightarrow {y_1} = \frac{{ - (y + {y^3}3{x^2})}}{{{x^3}3{y^2} + x}} = \frac{{ - y(1 + 3{x^2}{y^2})}}{{x(3{x^2}{y^2} + 1)}} = - \frac{y}{x}.

20. f(x) = \frac{{2 + 3x}}{{3 - 2x}} হলে, {f^{ - 1}}(x) এর মান-

(ক) \frac{{2 - 3x}}{{2x - 3}}       (খ) \frac{{3x + 2}}{{3 - 2x}}

(গ) \frac{{3x - 2}}{{2x + 3}}        (ঘ) \frac{{3x - 2}}{{2x - 3}}

Ans. (গ) \frac{{3x - 2}}{{2x + 3}} 

Solve:

f(x) = \frac{{2 + 3x}}{{3 - 2x}} = \frac{{3x + 2}}{{ - 2x + 3}}

\therefore {f^{ - 1}}(x) = \frac{{ - 3x + 2}}{{ - 2x - 3}} = \frac{{3x - 2}}{{2x + 3}}.

21. f(x) = {x^2} - 2\left| x \right| এবং g(x) = {x^2} - 9 হলে, g(f( - 3)) এর মান-

(ক) 0          (খ) 1           (গ) \frac{1}{2}         (ঘ) – 1

Ans. (ক) 0    

Solve:

g(f( - 3)) = g(9 - 6) = g(3) = 9 - 9 = 0.

22. {x^2} - 3x + 5 এর  নূন্যতম মান-

(ক) \frac{{11}}{4}         (খ) - \frac{{11}}{4}

(গ) \frac{4}{{11}}          (ঘ) - \frac{4}{{11}}

Ans. (ক) \frac{{11}}{4}  

Solve:

{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - 2.\frac{3}{2}x + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 5 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}

= {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + 5 - \frac{9}{4} = {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4}

\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + \frac{{11}}{4} এর নূন্যতম মান \frac{{11}}{4}.

23. সরলরেখা y = mx - 1 বক্ররেখা y = {x^2} + 3 এর স্পর্শক হবে যদি m এর মান হয়-

(ক) 1          (খ) 2\sqrt 2           (গ) – 4         (ঘ) 4

Ans. (গ) – 4,         (ঘ) 4

Solve:

{x^2} + 3 = mx - 1

\Rightarrow {x^2} - mx + 4 = 0

\therefore নিশ্চায়ক, {m^2} - 4 \times 4 = 0

\Rightarrow m = \pm 4.

24. {\left( {2{x^2} - \frac{1}{{4x}}} \right)^{11}} এর বিস্তৃতিতে {x^7} এর সহগ-

(ক) 231                                     (খ) - \frac{{231}}{8}

(গ) \frac{{231}}{4}         (ঘ) \frac{{230}}{8}

Ans. (খ) - \frac{{231}}{8} 

Solve:

r = \frac{{11 \times 2 - 7}}{{2 - ( - 1)}} = \frac{{15}}{3} = 5

\therefore {x^7} এর সহগ = ^{11}{C_5}{2^{11 - 5}}{( - 1)^5}{4^{ - 5}} = - \frac{{231}}{8}.