ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়

ভর্তি পরিক্ষা : 2015-2016; [বিজ্ঞান বিভাগ] ইউনিট-A

01. \left| {5 - {2 \over {3x}}} \right| < 1  অসমতাটির সমাধান সেট –

(ক)  3 < x < 4         (খ) {1 \over 9} > x > {1 \over {10}}     (গ) {1 \over 9} < x < {1 \over 6}      (ঘ) {1 \over 3} < x < {1 \over 2}

উত্তর: (গ)  {1 \over 9} < x < {1 \over 6}

Solve:
\left| {5 - \frac{2}{{3x}}} \right| < 1
\Rightarrow - 1 < 5 - \frac{2}{{3x}} < 1{\text{ }}
\Rightarrow - 1 - 5 < 5 - 5 - \frac{2}{{3x}} < 1 - 5     [subtract 5]
\Rightarrow - 6 < - \frac{2}{{3x}} < - 4
\Rightarrow 6 > \frac{2}{{3x}} > 4   [multiplying -1]
\Rightarrow 3 > \frac{1}{{3x}} > 2           [ divided 2]
\Rightarrow \frac{1}{3} < 3x < \frac{1}{2}      [taking  reciprocal]
\Rightarrow \frac{1}{9} < x < \frac{1}{6}{\text{ }}     [divided 3]

02.  sin A  + cos A = sin B+cos B, A + B = ?

(ক) \pi      (খ) 2\pi        (গ) {\pi  \over 2}         (ঘ) {\pi  \over 4}

উত্তর: (গ) {\pi  \over 2}

Solve:
\sin A + \cos A = \sin B + \cos B{\text{ }}
\Rightarrow \sin A - \sin B = \cos B - \cos A
\Rightarrow 2\cos \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A - B}}{2} = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A - B}}{2}
\Rightarrow 2\sin \frac{{A - B}}{2}\left( {\cos \frac{{A + B}}{2} - \sin \frac{{A + B}}{2}} \right) = 0{\text{ }}
\Rightarrow \sin \frac{{A - B}}{2} \ne 0
\therefore \cos \frac{{A + B}}{2} - \sin \frac{{A + B}}{2} = 0
\cos \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{{A + B}}{2}
\tan \frac{{A + B}}{2} = 1
\Rightarrow \tan \frac{{A + B}}{2} = \tan \frac{\pi }{4}{\text{ }}
\Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{4}
\Rightarrow A + B = \frac{\pi }{2}

03.   {\cot ^2}\theta  - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)\cot \theta  + \sqrt 3  = 0,0 < \theta  < {\pi  \over 2} হলে  \theta  = ?

(ক) {\pi  \over 6},{\pi  \over 3}       (খ) {\pi  \over 4},{\pi  \over 3}   (গ)  {\pi  \over 3},{\pi  \over 5}     (ঘ) {\pi  \over 6},{\pi  \over 4}

উত্তর:  (ঘ)  {\pi  \over 6},{\pi  \over 4}

Solve:
{\cot ^2}\theta  - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)\cot \theta  + \sqrt 3  = 0
{\cot ^2}\theta - \sqrt 3 \cot \theta - \cot \theta + \sqrt 3 = 0{\text{ }}
\Rightarrow \cot \theta (\cot \theta - \sqrt 3 ) - 1(\cot \theta - \sqrt 3 ) = 0
\Rightarrow (\cot \theta - 1)(\cot \theta - \sqrt 3 ) = 0
\therefore \cot \theta - 1 = 0{\text{ }}
\Rightarrow \cot \theta = 1
\Rightarrow \cot \theta = \cot \frac{\pi }{4}
\Rightarrow \theta = \frac{\pi }{4}{\text{ }}

অথবা,

\cot \theta - \sqrt 3 = 0
\Rightarrow \cot \theta = \sqrt 3
\Rightarrow \cot \theta = \cot \frac{\pi }{6}
\Rightarrow \theta = \frac{\pi }{6}{\text{ }}

04. f:{\Cal R} \to {\Cal R} কে  f\left( x \right) = {e^{x - 3}}  দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলে   {f^{ - 1}}\left( e \right)  এর মান –

(ক) 4     (গ) 3              (গ) 2              (ঘ) 0

উত্তর: (ক) 4

Solve:
y = {e^{x - 3}}
\ln y = \ln {e^{x - 3}}
\Rightarrow x - 3 = \ln y
\Rightarrow x = \ln y + 3
\therefore {f^{ - 1}}(y) = \ln y + 3
\Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \ln x + 3
\therefore {f^{ - 1}}(e) = \ln e + 3 = 1 + 3 = 4{\text{ }}

05. দ্বিমিক সংখ্যা 1111111 কে দ্বিমিক সংখ্যা 101  দ্বারা ভাগ করলে  ভাগশেষ =?

(ক) 0                 (খ) 10                (গ) 11             (ঘ) 100

উত্তর: (খ) 10

Solve:

1111111={2^6} + {2^5} + {2^4} + {2^3} + {2^2} + {2^1} + {2^0}
=64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127
and, 101 = {2^2} + {2^0} = 5
127 কে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 2
2 এর দ্বিমিক 10

ল.সা.গু

06.  x \geqslant 0,\,y \geqslant 0,\,x + y \leqslant 5,\,x + 2y \geqslant 8   শর্তানুসারে  z = 2x - y  এর সর্বনিম্ন মান –

(ক) 1              (খ) -1                 (গ) -4                     (ঘ) -5

উত্তর: (ঘ) -5

Solve:

চিত্র.

\begin{gathered} \frac{x}{5} + \frac{y}{5} = 1 \hfill \\ \frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1 \hfill \\ z = 2x - y \hfill \\ (2,3),z = 4 - 3 = 1 \hfill \\ (0,4),z = 0 - 4 = - 4 \hfill \\ (0,5),z = 0 - 5 = - 5 \hfill \\ \end{gathered}

07.  {\left( {2x - \frac{1}{{4{x^2}}}} \right)^{12}}   এর বিস্তৃতিতে  {x^3}  এর সহগ-

(ক) 495                (খ) 4223               (গ) -1760                    (ঘ) 1760

উত্তর: (গ) -1760

Solve:

{\left( {2x - \frac{1}{{4{x^2}}}} \right)^{12}};\,\,\,r = \frac{{12 - 3}}{3} = 3

সহগ { = ^{12}}{C_3}{2^ \circ }{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^3} = \frac{{12 \times 11 \times 10}}{6} \times {2^9} \times {( - 1)^3}, যা ঋনাত্নক একমাত্র (C) ঋনাত্নক ।

08.  a = i + 2i - 3k  এবং b = 3i - j + 2k  হলে নিম্নের কোনটি সত্য?

(ক) a.b = 0    (খ)  a \wedge b = 0   (গ)  \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 0    (ঘ)  \left( {a + b} \right) \wedge \left( {a - b} \right)

উত্তর: (গ)   \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 0

Solve:

\begin{gathered} (a + b) = 4i + j - k \hfill \\ (a - b) = - 2i + 3j - 5k \Rightarrow (a + b).(a - b) = - 8 + 3 + 5 = 0 \hfill \\ \end{gathered}

09. কোন বিন্দুর  পোলার স্থানাঙ্ক (3,150°) হলে ঐ বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক-

(ক) \left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)      (গ) \left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}, - \frac{3}{2}} \right)     (গ)  \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)    (ঘ) \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}, - \frac{3}{2}} \right)

উত্তর : (গ) \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)

Solve:

\begin{gathered} x = 3\cos {150^ \circ } = 3\cos ({180^ \circ } - {30^ \circ }) = - 3\cos {30^ \circ } = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ y = 3\sin ({180^ \circ } - {30^ \circ }) = 3\sin {30^ \circ } = \frac{3}{2} = (\frac{{ - 3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}) \hfill \\ \end{gathered}

10.  y=kx-1 সরলরেখাটি y = {x^2} + 3 বক্ররেখার স্পর্শক হলে k এর একটি মান-

(ক)1                    (খ)  2\sqrt 2           (গ)  3                     (ঘ) 4

উত্তর: (ঘ) 4

Solve:

\begin{gathered} y = kx - 1,y = {x^2} + 3 \hfill \\ {x^2} + 3 = kx - 1 \Rightarrow {x^2} - kx + 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered}

\therefore নিশ্চায়ক = {(k)^2} - 16 = 0 \Rightarrow k =  \pm 4

11.  (-4,3) এবং (12,-1)  বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অংকিত বৃত্তের সমীকরণ-

(ক) {x^2} + {y^2} + 8x - 2y + 51 = 0        (খ)  {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 51 = 0

(গ) {x^2} + {y^2} + 8x + 2y - 51 = 0        (ঘ) {x^2} + {y^2} - 8x - 2y - 51 = 0

উত্তর:  (ঘ) {x^2} + {y^2} - 8x - 2y - 51 = 0

Solve:  ব্যাস ধরে, বৃত্তের সমীকরণ-

\begin{gathered} (x + 4)(x - 12) + (y - 3)(y - 1) = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 8x - 48 + {y^2} - 2y - 3 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 2y - 51 = 0 \hfill \\ \end{gathered}

12. 6 জন বালক এবং 5 জনবালিকার একটিদল থেকে কতউপায়ে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকার একটি দলগঠন করা  যেতে পারে-

(ক) 10                (খ) 20              (গ) 50                (ঘ) 200

উত্তর: (ঘ) 200

Solve:

\begin{gathered} (B = 6)\,\,\,\,\,\,(G = 5) \hfill \\ \,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\ \end{gathered}

দলের সংখ্যা ^6{C_3}{ \times ^5}{C_2} = \frac{{6 \times 5 \times 4}}{6} \times \frac{{5 \times 4}}{2} = 200

13.  এককের একটিকাল্পনিক ঘনমূল  \omega  হলে   \left( {1 - \omega } \right)\left( {1 - {\omega ^2}} \right)\left( {1 - {\omega ^4}} \right)\left( {1 - {\omega ^8}} \right)  এর মান কত?

(ক) 18           (খ) 6                 (গ) -9                  (ঘ) 9

উত্তর: (ঘ) 9

Solve:

\begin{gathered} (1 - \omega )(1 - {\omega ^2})(1 - {\omega ^4})(1 - {\omega ^8}) \hfill \\ = (1 - \omega )(1 - {\omega ^2})(1 - \omega )(1 - {\omega ^2}) \hfill \\ = {\{ (1 - \omega )(1 - {\omega ^2})\} ^2} = {\{ 1 - \omega - {\omega ^2} + {\omega ^3}\} ^2} \hfill \\ = {\{ 1 - (1 - \omega + {\omega ^2}) + 2\} ^2} = 9 \hfill \\ \end{gathered}

14.  {\sec ^2}\left( {{{\cot }^{ - 1}}3} \right) + \cos e{c^2}\left( {{{\tan }^{ - 1}}} \right)2 = ?

(ক) \frac{{85}}{{36}}             (খ) \frac{{36}}{{85}}     (গ)  \frac{{10}}{9}      (ঘ)\frac{9}{{10}}

উত্তর: (ক)  \frac{{85}}{{36}}

Solve:

\begin{gathered} {\sec ^2}({\cot ^{ - 1}}3) + \cos e{c^2}({\tan ^{ - 1}}2) \hfill \\ = 1 + {\tan ^2}({\cot ^{ - 1}}3) + 1 + {\cot ^2}({\tan ^{ - 1}}2) \hfill \\ = 1 + {\left\{ {\frac{1}{{\cot ({{\cot }^{ - 1}}3}}} \right\}^2} + 1 + {\left\{ {\frac{1}{{\tan ({{\tan }^{ - 1}}2}}} \right\}^2} \hfill \\ = 1 + \frac{1}{9} + 1 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{{72 + 9 + 4}}{{36}} = \frac{{85}}{{36}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}

15.  y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin 2x} }}  হলে \frac{{dy}}{{dx}} = ?

(ক)  2\sin 2x      (খ)   0   (গ)  1      (ঘ) \cos 2x

উত্তর:  (খ) 0

Solve:

y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sqrt {{{(\sin x + \cos x)}^2}} }} = 1,\frac{{dy}}{{dx}} = 0

16. \int_0^{10} | x - 5|dx = ?

(ক)  \frac{{25}}{2}    (খ) 25    (গ)   50      (ঘ)  5

উত্তর:  (খ)  25

Solve:

ধরি,

\begin{gathered} x - 5 = z \hfill \\ dx = dz \hfill \\ x = 0,z = - 5 \hfill \\ x = 10,z = 5 \hfill \\ \end{gathered}

\begin{gathered} \int_0^{10} {\left| {x - 5} \right|} dx \hfill \\ = \int_{ - 5}^5 {\left| z \right|} dz = \int_{ - 5}^0 {\left| z \right|} dz \hfill \\ = \int_{ - 5}^0 { - zdz + \int_0^5 {zdz = \left[ {\frac{{ - {z^2}}}{2}} \right]\,} } _{ - 5}^0 + \left[ {\frac{{{z^2}}}{2}} \right]_0^5 \hfill \\ = - 0 + \frac{{25}}{2} + \frac{{25}}{2} - 0 = 25 \hfill \\ \end{gathered}

17. \int_{}^{} {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x{e^x}} \right)}}dx = f\left( x \right) + c;f\left( x \right) = }

(ক)\sin \left( {x{e^x}} \right)           (খ)  \tan \left( {x{e^x}} \right)  (গ) \cot \left( {x{e^x}} \right)    (ঘ)  \sec \left( {x{e^x}} \right)

উত্তর : (খ) \tan \left( {x{e^x}} \right)

Solve:

\int {\frac{{\{ \tan (x{e^x})\} }}{{{{\cos }^2}(x{e^x})}}}  = \int {{{\sec }^2}(x{e^x})d\{ \tan (x{e^x}} )\}  = \tan (x{e^x})

18.  \int_0^x {\left( p \right)f'\left( p \right)dp = ?}

(ক) \frac{1}{2}{f^2}\left( x \right)     (খ)  \frac{1}{2}{x^2}    (গ) \frac{1}{2}\left[ {\left\{ {f{{\left( x \right)}^2} - f{{\left( 0 \right)}^2}} \right\}} \right]   (ঘ) f\left( x \right) - f\left( 0 \right)

উত্তর: (গ) \frac{1}{2}\left[ {\left\{ {f{{\left( x \right)}^2} - f{{\left( 0 \right)}^2}} \right\}} \right]

Solve:

\begin{gathered} \int_0^x {f(p)f'} (p)dp = \int_0^x {f(p)d\{ f(p)\} } \hfill \\ = \left[ {\frac{{{{\{ f(p)\} }^2}}}{2}} \right]_0^x = {\left\{ {\frac{{f(x)}}{2}} \right\}^2} - {\left\{ {\frac{{f(0)}}{2}} \right\}^2} \hfill \\ \end{gathered}

19. y = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }}    ফাংশনটির ডোমেইন এবং রেঞ্জ-

(ক)- \infty  < x \leqslant 4;\,0 \leqslant y,\infty      (খ)  - \infty  < x < 4;0 < y < \infty   (গ) - \infty  < x < 4;0 \leqslant ;0 \leqslant y < \infty   (ঘ)  - \infty  < x \leqslant 4;0 < y < \infty

উত্তর:  (খ)  - \infty  < x < 4;0 < y < \infty

Solve:

y = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} সজ্ঞায়িত

হবে, যখন 4 - x0 হয়

\Rightarrow 4 - x > 0 \Rightarrow x - 4 < 0 \Rightarrow x < 4

ডোমেইন ( - \infty ,4)

আবার,

\begin{gathered} 4 - x = \frac{1}{{{y^2}}} \Rightarrow x = 4 - \frac{1}{{{y^2}}} \hfill \\ = \frac{{4{y^2} - 1}}{{{y^2}}} \Rightarrow y \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}

রেঞ্জ: 0 < y < \infty

20. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 7x - \sin x}}{{\sin 6x}} = ?

(ক)  \frac{7}{6}     (খ) - \frac{7}{6}    (গ)  1   (ঘ) - 1

উত্তর: (গ)  1

Solve:

\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 7x - \sin x}}{{\sin 6x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7\cos 7x - \cos x}}{{6\cos x}} \hfill \\ = \frac{{7 - 1}}{6} = 1 \hfill \\ \end{gathered}

[ Using La’ Hospital Rule ]

21. ABC ত্রিভুজে a:b:c = 7:3:5  হলে \angle B =

(ক) {60^ \circ }                       (খ) {30^ \circ }                        (গ)  {90^ \circ }                        (ঘ) {120^ \circ }

উত্তর:      (ঘ) {120^ \circ }

Solve:

\begin{gathered} a= 3k;b = 7k;c = 5k \hfill \\ \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{9{k^2} + 25{k^2} - 49{k^2}}}{{2 \times 3 \times 5{k^2}}} = \frac{{34 - 49}}{{30}} = \frac{{ - 15}}{{30}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \therefore B = {120^ \circ } \hfill \\ \end{gathered}

22. 2{x^2} - 7x + 5 = 0  সমীকরণের মূলদ্বয় \alpha ,\beta  এবং  {x^2} - 4x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় \beta  এবং \gamma  হলে (\gamma  + \alpha ):(\gamma  - \alpha ) = ? 

(ক) 5:5                           (খ) 5:6                            (গ) 11:1                        (ঘ) 1:6

উত্তর:   (গ) 11:1

Solve:

2{x^2} - 7x + 5 = 0, মূলদ্বয়  \alpha ,\beta \therefore \alpha \beta  = \frac{5}{2}

{x^2} - 4x + 3 = 0, মূলদ্বয়   \beta ,\gamma \therefore \beta \gamma  = 3

\begin{gathered} \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha \beta }} = \frac{3}{{\frac{5}{2}}} \Rightarrow \frac{\gamma }{\alpha } = \frac{{3 \times 2}}{5} = \frac{6}{5} \Rightarrow \frac{{\gamma + \alpha }}{{\gamma - \alpha }} = \frac{{6 + 5}}{{6 - 5}} = \frac{{11}}{1} \hfill \\ \therefore (\gamma + \alpha ):(\gamma - \alpha ) = 11:1 \hfill \\ \end{gathered}

23. {(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} = 16  এবং  {(x - 2)^2} + {(y - 10)^2} = 9 বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক-

(ক) (2, 3)                    (খ) (16, 9)       (গ) (2, 10)                 (ঘ) (2, 7)

উত্তর: (ঘ) (2, 7)

Solve: চিত্র

24.  z = 1 - \frac{i}{{1 - \frac{1}{{1 + i}}}} জটিল সংখ্যাটির মডুলাস ও অার্গুমেন্ট-

(ক) 1, 0                                                                   (খ) 1,\frac{\pi }{2}

(গ)  1,\pi                                                         (ঘ) 1,\frac{{3\pi }}{2}

উত্তর: (ঘ) 1,\frac{{3\pi }}{2}

Solve:

1 - \frac{i}{{1 - \frac{1}{{1 + i}}}} = 1 - \frac{i}{{\frac{{1 + i - 1}}{{1 + i}}}} = 1 - (1 + i) =  - i

মডুলাস = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2}}  = 1; আর্গুমেন্ট = {\tan ^{ - 1}}(\frac{{ - 1}}{0}) = \frac{{3\pi }}{2}

25. k-এর  কোন মানের জন্য  y = kx(1 - x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি  x-অক্ষের সাথে {30^ \circ } কোণ উৎপন্ন করে?

(ক) \sqrt 3                           (খ) \frac{1}{{\sqrt 3 }}                    (গ) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                      (ঘ) 1

উত্তর:    (খ) \frac{1}{{\sqrt 3 }}

Solve:

y = kx - k{x^2}

\frac{{dy}}{{dx}} = k - 2kx \Rightarrow x = 0 বিন্দুতে \frac{{dy}}{{dx}} = k = \tan {30^ \circ } = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

\therefore k = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

26.  - 7 < x <  - 1 কে পরমমানের সাহায্যে লিখলে দাঁড়ায়-

(ক) \left| {x + 3} \right| < 4                                                   (খ) \left| {x + 1} \right| < 3

(গ) \left| {x + 4} \right| < 3                                                    (ঘ) \left| {x - 4} \right| < 1

উত্তর: (গ) \left| {x + 4} \right| < 3

Solve:

- 7 < x <  - 1        \because এখানে,  \frac{{ - 7 - 1}}{2} =  - 4

\begin{gathered} \Rightarrow - 7 + 4 < x + 4 < - 1 + 4 \hfill \\ \Rightarrow - 3 < x + 4 < 3 \Rightarrow \left| {x + 4} \right| < 3 \hfill \\ \end{gathered}

27.   ABC একটি সমকােণী ত্রিভূজ হলে- 

{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = ?

(ক) \frac{1}{2}                       (খ) 1                         (গ) 0                         (ঘ) -1

উত্তর:    (খ) 1

Solve:

চিত্র

{\cos ^2}{90^ \circ } + {\cos ^2}{30^ \circ } + {\cos ^2}{60^ \circ }

= 0 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1

28.  {y^2} = 16x এবং  y = 4x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল-

(ক) \frac{2}{3}uni{t^2}                                                    (খ) - \frac{2}{3}uni{t^2}

(গ) \frac{3}{2}uni{t^2}                                                    (ঘ) \frac{1}{3}uni{t^2}

উত্তর: (ক) \frac{2}{3}uni{t^2}

Solve:

16{x^2} = 16x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {x^2} - x = 0

x(x - 1) = 0,x = 0,x = 1   সীমা

A = \int_0^1 {({y_1} - {y_2})dx}  = \int_0^1 {(4\sqrt x  - 4x)dx}

= 4\left[ {\frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{^0}^1 = 4\left[ {\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} \right] = 4\left[ {\frac{{4 - 3}}{6}} \right] = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

29. 8N এবং 3N  দুইটি বল  একটি বিন্দুতে {60^ \circ }  কোণে একটি বস্ততে ক্রিয়ারত । বলদ্বয়ের লব্ধির মান-

(ক) \sqrt {73} N                (খ) \sqrt {97} N                 (গ) \sqrt {55} N                  (ঘ) 11 N

উত্তর:   (খ) \sqrt {97} N

Solve:

বলদ্বয়ের লব্ধি = \sqrt {{8^2} + {3^2} + 2.8.3\cos {{60}^ \circ }}

= \sqrt {64 + 9 + 2.8.3\frac{1}{2}}

= \sqrt {64 + 9 + 24}  = \sqrt {97} N

30.  1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ........... + n  তম পদ পর্যন্ত=?

(ক) \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)                              (খ) \frac{1}{2}n(n + 1)(n + 2)

(গ) \frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)                                    (ঘ) \frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

উত্তর: (গ) \frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)

Solve:

\begin{gathered} 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) \hfill \\ {U_n} = 1 + 2 + 3 + ............... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2} = \frac{1}{2}({n^2} + n) \hfill \\ {S_n} = \frac{1}{2}(\sum {{n^2} + \sum n ) = \frac{1}{2}} \left\{ {\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6} + \frac{{n(n + 1)}}{2}} \right\} \hfill \\ \frac{1}{{12}}n(n + 1)\left\{ {2n + 1 + 3} \right\} = \frac{1}{{12}}n(n + 1(2n + 4) = \frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2) \hfill \\ \end{gathered}