ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা : ২০১২-২০১৩

  1. f(x) = 4 - {(x - 3)^2} ফাংশনের ডোমেইন এবং রেঞ্জ যথাক্রমে-

(A) \mathbb{R},\mathbb{R}                                (B) \mathbb{R},f(x) \leqslant 4

(C) x \geqslant 4,\mathbb{R}                           (D) \mathbb{R},x \geqslant 3

Ans:     (B) \mathbb{R},f(x) \leqslant 4

Solve:  f(x) = 4 - {(x - 3)^2}

ডোমেন, f=x=\mathbb{R}

\therefore f(x) \le 4

2. f(x) = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}} এবং x \ne - \frac{1}{2} হলে  {f^{ - 1}}( - 2) এর মান কত হবে-

(A) \frac{1}{2}                           (B) \frac{1}{5}                       (C) 2                       (D) 5

Ans:    (B) \frac{1}{5}

Solve:

f(x) = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}

ধরি, y = {{x - 3} \over {2x + 1}} \Rightarrow x - 3 = 2xy + y

\eqalign{ & \Rightarrow x(1 - 2y) = 3 + y \Rightarrow x = \frac{{y + 3}}{{1 - 2y}} \cr & \therefore {f^{ - 1}}(x) = \frac{{x + 3}}{{1 - 2x}} \cr & \therefore {f^{ - 1}}( - 2) = \frac{{ - 2 + 3}}{{1 + 4}} = \frac{1}{5} \cr}

3. একটি ইলেক্ট্রিক ফিল্ডে ইলেক্ট্রনের ত্বরণ এবং শক্তি সমানুপাতিক । {10^{ - 20}}\,N শক্তির জন্য ত্বরণ {10^{10}}\,m/{s^2}  হলে,  {10^{ - 25}}\,N শক্তির জন্য ত্বরণ হবে-

(A)  {10^5}\,m/{s^2}                                          (B)  {10^{15}}\,m/{s^2}

(C) {10^{ - 5}}\,m/{s^2}                                   (D) {10^{ - 15}}\,m/{s^2}

Ans:  (A)  {10^5}\,m/{s^2}

Solve:

\eqalign{ & \frac{{{F_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{{F_2}}}{{{a_{\,2}}}} \Rightarrow {a_2} = \frac{{{{10}^{10}} \times {{10}^{ - 25}}}}{{{{10}^{ - 20}}}} \cr & = {10^5}\,m/{s^2} \cr}

4. বাস্তব সংখ্যায় \frac{1}{{\left| {2x - 3} \right|}} > 5  অসমতাটির সমাধান হলো –

(A) \left( {\frac{7}{5},\frac{8}{5}} \right)                              (B) \left[ {\frac{7}{5},\frac{8}{5}} \right]

(C) \left( {\frac{7}{5},\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2},\frac{8}{5}} \right)                                      (D) \left[ {\frac{7}{5},\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2},\frac{8}{5}} \right]

Ans: (C) \left( {\frac{7}{5},\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2},\frac{8}{5}} \right)

Solve:

\eqalign{ & {1 \over {\left| {2x - 3} \right|}} > 5 \cr & \Rightarrow \left| {2x - 3} \right| < {1 \over 5} \cr & \Rightarrow - {1 \over 5} < 2x - 3 < {1 \over 5} \cr & \Rightarrow - {1 \over 5} + 3 < 2x < {1 \over 5} + 3 \cr & \Rightarrow {7 \over 5} < x < {8 \over 5} \cr}

আবার, 2x - 3 \ne 0

\Rightarrow x \ne {3 \over 2}

\therefore সমাধান = \left( {\frac{7}{5},\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2},\frac{8}{5}} \right)

5.  {x^2} + 4x + 2y = 0 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হবে-

(A) (2, -2)                       (B) (-2, -2)                    (C) (-2, 2)                       (D) (2, 2)

Ans:    (C) (-2, 2)

Solve:

\eqalign{ & {x^2} + 4x + 2y = 0 \cr & \Rightarrow {x^2} + 4x + 4 = - 2y + 4 \cr & \Rightarrow {(x + 2)^2} = - 4.{1 \over 2}(y - 2)..............(i)] \cr}

\therefore শীর্ষবিন্দু,  x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2

y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2

\therefore শীর্ষবিন্দু ( -2, 2 )

6.  {\left( {2{x^2} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)^{10}} এর বিস্ততিতে  x বর্জিত পদটি কততম এবং এর মান কত?

(A) পঞ্চম এবং 840({5^{th}}\,and\,840)

(B) চতুর্থ  এবং 1920({4^{th}}\,and\,1920)

(C) ষষ্ঠ এবং 252({6^{th}}\,and\,252)

(D) সপ্তম এবং 30({7^{th}}\,and\,30)

Ans: (A) পঞ্চম এবং 840({5^{th}}\,and\,840)

Solve:

ধরি, {\left( {2{x^2} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)^{10}} এর বিস্ততিতে  r+1 তম পদটি x বর্জিত

\therefore \,(r + 1) তম পদ = {( - 1)^r}{\,^{10}}{C_r}\,{(2{x^2})^{10 - r}}\,{\left( {\frac{1}{{2{x^3}}}} \right)^r}

\begin{gathered} = {( - 1)^r}{\,^{10}}{C_r}\,\,{2^{10 - r}}\,\,{X^{20 - 2r}}\,\,{2^{ - r}}\,\,{X^{ - 3r}} \hfill \\ = {( - 1)^r}{\,^{10}}{C_r}\,\,{2^{10 - 2r}}\,\,{X^{20 - 5r}} \hfill \\ \end{gathered}

প্রশ্নমতে,  {X^{20 - 5r}} = {x^0} \Rightarrow r = 4

\therefore পঞ্চম পদটি x বর্জিত এবং পদটি = {( - 1)^4}\,{\,^{10}}{C_4}\,\,{2^{10 - 8}} = 840

7. A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i \\ { - i}&1 \end{array}} \right],\,B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} i&{ - 1} \\ { - 1}&{ - i} \end{array}} \right| এবং i = \sqrt { - 1} হলে AB এর মান হবে-

(A) \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right]                                        (B) \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \right]

(C) \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i&0 \\ 0&i \end{array}} \right]                                     (D) \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i&1 \\ 1&i \end{array}} \right]

Ans: (B) \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \right]

Solve:

\begin{gathered} AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i \\ { - i}&1 \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i&{ - 1} \\ { - 1}&i \end{array}} \right] \hfill \\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {i - i}&{ - 1 - {i^2}} \\ { - {i^2} - 1}&{i - i} \end{array}} \right] \hfill \\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1 + 1} \\ {1 - 1}&0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered}

8. নির্ণয় কর: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x}

(A) 1                       (B) -1                            (C) 2                         (D) 3

Ans: (A) 1

Solve:

\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}}}{1}\,\,[\,Using\,L.\,Hospital\,rule\,] \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{gathered}

9. স্বরবর্ণগুলোকে সব সময় একত্রে রেখে  KACHUA শব্দটির বর্ণগুলোকে সাজানোর সংখ্যা হবে-

(A) 24                       (B) 72                        (C) 144                      (D) 8

Ans:  (B) 72

Solve: স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে বিন্যাস  = 4! \times \frac{{3!}}{{2!}} = 72

10. ‘a’ এর কোন মানের জন্যে  2\hat i + \hat j - \hat k,\,3\hat i - 2\hat j + 4\hat k এবং  \hat i - 3\hat j + a\hat k ভেক্টরত্রয় সমতলীয় ?

(A) 5                         (B) 4                     (C) 3                       (D) 2

Ans: (A) 5

Solve:

ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হলে-  \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 1} \\ 3&{ - 2}&4 \\ 1&{ - 3}&a \end{array}} \right| = 0

\begin{gathered} \Rightarrow 2( - 2a + 12) - 1(3a - 4) - 1( - 9 + 2) = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 4a + 24 - 3a + 4 + 9 - 2 = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 7a + 35 = 0 \hfill \\ \Rightarrow a = 5 \hfill \\ \end{gathered}

11. x অক্ষকে (4, 0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কেন্দ্র  5x - 7y + 1 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত এমন বৃত্তের সমীকরণ হবে-

(A) {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 9 = 0

(B) {x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 16 = 0

(C) {x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 9 = 0

(D) {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 16 = 0

Ans: (D) {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 16 = 0

Solve:

বৃত্তটি {x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0

যার কেন্দ্র ( - g, - f),x অক্ষকে স্পর্শ করলে, {g^2} = c

বৃত্তটি (4, 0) বিন্দুগামী বলে,

\begin{gathered} 16 + 0 + 8g + c = 0 \hfill \\ \Rightarrow {g^2} + 8g + 16 = 0 \hfill \\ \therefore g = - 4\,\therefore c = 16 \hfill \\ \end{gathered}

চিত্র

কেন্দ্র  ( - g, - f),\,5x - 7y + 1 = 0 রেখার উপর অবস্থিত বলে,

\begin{gathered} - 5g + 7f + 1 = 0 \hfill \\ \Rightarrow 20 + 7f + 1 = 0 \hfill \\ \Rightarrow f = - 3 \hfill \\ \end{gathered}

\therefore বৃ্ত্তটি {x^2} + {y^2} + 2( - 4)x + 2( - 3)y + 16 = 0

\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 16 = 0

12. একজন লোকের 3 জোড়া কালো মোজা এবং 2 জোড়া বাদামী মোজা আছে । একদিন অন্ধকারে তাড়াহুড়া করে লোকটি কাপড় পরল । সে প্রথমে একটি বাদামী মোজা পরার পর পরবর্তী মোজাও বাদামী হওয়ার সম্ভাবনা-

(A) 1/3                    (B) 2/15                     (C) 1/10                      (D) 3/10

Ans: (A) 1/3

Solve:

কালো মোজা = 6 টি

বাদামী মোজা =4 টি

এক পায়ে একটি মোজা পড়ার পর অবশিষ্ট মোজা সংখ্যা = 9 টি

পরবর্তী মোজা বাদামী হওয়ার সম্ভাবনা  = \frac{3}{9}

13.  3{x^2} - 5x + 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় \alpha ,\beta  হলে  \frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta } মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে-

(A) 3{x^2} - 5x + 1 = 0                                    (B) {x^2} - 5x + 3 = 0

(C) 5{x^2} - 3x - 1 = 0                                      (D) 3{x^2} + 5x - 1 = 0

Ans:       (B) {x^2} - 5x + 3 = 0

Solve:

3{x^2} - 5x + 1 = 0

মূলদ্বয়ের যোগফল,  \alpha + \beta = \frac{5}{3}

\therefore \frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } = \frac{{\alpha + \beta }}{{\alpha \beta }} = 5

মূলদ্বয়ের গুণফল, \alpha \beta = \frac{1}{3}

\frac{1}{\alpha }.\frac{1}{\beta } = \frac{1}{{\alpha \beta }} = 3

\therefore সমীকরণটি {x^2} - 5x + 3 = 0

14. \int {\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} dx = f(x) + c} হলে, f(x) এর মান-

(A) {\sin ^{ - 1}}x + \sqrt {1 - {x^2}}                                    (B) {\sin ^{ - 1}}x - \sqrt {1 - {x^2}}

(C)  {\cos ^{ - 1}}x - \sqrt {1 - {x^2}}                                   (D) {\sin ^{ - 1}}x - \sqrt {1 - {x^2}}

Ans:      (B) {\sin ^{ - 1}}x - \sqrt {1 - {x^2}}

Solve:

\begin{gathered} \int {\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} dx = \int {\frac{{\sqrt {(1 + x)} \sqrt {(1 + x)} }}{{\sqrt {(1 - x)} \sqrt {(1 + x)} }}} } dx \hfill \\ = \int {\frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx + \int {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} } \hfill \\ = {\sin ^{ - 1}}x - \sqrt {1 - {x^2}} + c \hfill \\ \end{gathered}

15. যদি y = \sqrt {\cos 2x}  হয়, তবে \frac{{dy}}{{dx}} =

(A) - \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}                         (B) - \frac{{\cos 2x}}{{\sqrt {\sin 2x} }}

(C) - \frac{{2\sin x}}{{\sqrt {\tan x} }}                           (D) \frac{{\tan 2x}}{{\sqrt {\sin 2x} }}

Ans:     (A) - \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}

Solve:

\begin{gathered} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\sqrt {\cos 2x} \hfill \\ = \frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt {\cos 2x} }}( - \sin 2x).2 \hfill \\ = - \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }} \hfill \\ \end{gathered}

16.  \tan \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right) + {{\tan }^{ - 1}}} \right.\left. {\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right) এর মান কত?

(A) 5/6                      (B) 1                            (C) \pi /4                           (D) -5/6

Ans:    (B) 1

Solve:

\tan \left( {{{\tan }^{ - 1}}\frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}}} \right) = 1

17.  \sin (ax + b) এর n তম অন্তরক হবে-

(A) {a^n}\sin \left( {\frac{\pi }{2}n + ax + b} \right)                   (B) {a^n}\cos \left( {\frac{\pi }{2}n + ax + b} \right)

(C) {( - 1)^n}{a^n}\sin \left( {ax + b} \right)                    (D) {( - 1)^n}{a^n}\cos \left( {ax + b} \right)

Ans: (A) {a^n}\sin \left( {\frac{\pi }{2}n + ax + b} \right)

Solve:

\begin{gathered} \frac{d}{{dx}}\{ \sin (ax + b)\} = a\cos (ax + b) \hfill \\ \frac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}\{ \sin (ax + b)\} = - a\sin (ax + b) \hfill \\ \frac{{{d^3}}}{{d{x^3}}} = \{ \sin (ax + b)\} = - {a^3}\cos (ax + b) \hfill \\ \therefore \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\{ \sin (ax + b) = {a^n}\sin \left( {\frac{\pi }{2}n + ax + b} \right) \hfill \\ \end{gathered}

18. \frac{{{{(i + 1)}^2}}}{{{{(i - 1)}^4}}} জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট হবে-

(A) \pi                             (B)  - \pi                  (C) \pi /2                 (D) - \pi /2

Ans:   (C) \pi /2

Solve:

\begin{gathered} \frac{{{{(i + 1)}^2}}}{{{{(i - 1)}^4}}} = - \frac{{ - 2i}}{4} = - \frac{i}{2} \hfill \\ \Rightarrow {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - \frac{1}{2}}}{0}} \right) = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered}

19. 8 + 4\sqrt 5 i এর বর্গমূল হবে-

(A) \pm (3 - 2i)                                          (B) \pm (\sqrt {10} + \sqrt 2 i)

(C) \pm (\sqrt {10} - \sqrt 2 i)          (D) \pm (3 + 2i)

Ans:         (B) \pm (\sqrt {10} + \sqrt 2 i)

Solve:

\begin{gathered} 8 + 4\sqrt 5 i = 10 + 2\sqrt {20} i - 2 \hfill \\ = {(\sqrt {10} )^2} + 2.\sqrt {10} .\sqrt 2 i + {(\sqrt 2 i)^2} \hfill \\ = {(\sqrt {10} + \sqrt {2i} )^2} \hfill \\ \therefore \sqrt {(8 + 4\sqrt 5 i)} = \pm (\sqrt {10} + \sqrt 2 i) \hfill \\ \end{gathered}

20. y = mx,y = {m_1}x এবং y = b সরলরেখাত্রয়ের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের বর্গএককে ক্ষেত্রফল হবে-

(A) \frac{{{b^2}({m_1} - {m_2})}}{{2m{m_1}}}                         (B) \frac{{{b^2}(m - {m_1})}}{{2m{m_1}}}

(C) \frac{{{b^2}\left| {m - {m_1}} \right|}}{{m{m_1}}}                           (D) \frac{{{b^2}\left| {m - {m_1}} \right|}}{{2m{m_1}}}

Ans:  (D) \frac{{{b^2}\left| {m - {m_1}} \right|}}{{2m{m_1}}}

Solve:

চিত্র

y = mx,y = {m_1}x এবং y = b সরলরেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাংক (0,0),\left( {\frac{b}{{{m_1}}},b} \right) ও \left( {\frac{b}{m},b} \right)

\therefore ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল  = \frac{1}{2}\{ 0(b - b) + \frac{b}{{{m_1}}}(b - 0) + \frac{b}{m}(0 - b)\}

\begin{gathered} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{b^2}}}{{{m_1}}} - \frac{{{b^2}}}{m}} \right) = \frac{{{b^2}m - {b^2}{m_1}}}{{2{m_1}m}} \hfill \\ = \frac{{{b^2}\left| {m - {m_1}} \right|}}{{2{m_1}m}} \hfill \\ \end{gathered}

21. \frac{1}{2} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{2^5}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ..... ধারার সমষ্টি হবে-

(A) \frac{{24}}{{19}}                  (B) \frac{{19}}{{24}}                  (C) \frac{5}{{24}}                           (D) \frac{5}{{19}}

Ans:    (B) \frac{{19}}{{24}}

Solve: [ use of Calculator ]

22. একজন কৃষক একটি আয়তাকার বাগানের তিন দিক বেড়া ‍দিয়ে  এবং চতুর্থদিকে একটি দেওয়াল দিয়ে ঘেরাও ‍দিল । যদি তাঁর কাছে 100m বেড়া থাকে তবে ঘেরাও দেওয়া স্থানের সর্বোচ্চ আয়তন  হবে-

(A) 2500 {m^2}               (B) 1250 {m^2}                    (C) 750 {m^2}                       (D) 2000 {m^2}

Ans:   (B) 1250 {m^2}

Solve:

\begin{gathered} \frac{d}{{dx}}\left\{ {x\left( {100 - 2x} \right)} \right\} = 0 \hfill \\ \Rightarrow x = 25 \hfill \\ \therefore \,A = 25 \times 50 = 1250\,{m^2} \hfill \\ \end{gathered}

23\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1&{b + c} \\ b&1&{c + a} \\ c&1&{a + b} \end{array}} \right| এর মান হবে-

(A) 0                                                             (B)  abc(a + b)(b + c)(c + a)

(C) abc                                                        (D) (a + b)(b + c)(c + a)

Ans: (A) 0

Solve:

\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1&{b + c} \\ b&1&{c + a} \\ c&1&{a + b} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1&{a + b + c} \\ b&1&{a + b + c} \\ c&1&{a + b + c} \end{array}} \right| \hfill \\ = (a + b + c)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1&1 \\ b&1&1 \\ c&1&1 \end{array}} \right| = 0 \hfill \\ \end{gathered}

24. যদি  {x^2} + 3xy + 5{y^2} = 1 হয়, তাহলে  \frac{{dy}}{{dx}} সমান হবে-

(A) - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}                                 (B)  \frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}

(C) \frac{{2x - 3y}}{{3x + 10y}}                                   (D) \frac{{2x + 3y}}{{3x - 10y}}

Ans:  (A) - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}}

Solve:

\begin{gathered} {x^2} + 3xy + 5{y^2} = 1 \hfill \\ \Rightarrow 2x + 3y + 3x\frac{{dy}}{{dx}} + 10y\frac{{dy}}{{dx}} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 10y}} \hfill \\ \end{gathered}

25. দশমিক সংখ্যা 2013 এর দ্বিমিক প্রকাশ হবে-

(A) 11111011101                                             (B) 10111011111

(C) 10101110111                                             (D) 10101110101

Ans: (A) 11111011101

Solve: 

ল.সা.গু

\therefore {(2013)_{10}} = {(11111011101)_2}

26. u বেগে অনুভুমিকের সাথে \alpha কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তর সর্বোচ্চ উচ্চতা হবে-

(A) \frac{{{u^2}\sin 2\alpha }}{{2g}}                                  (B) \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}

(C) \frac{{{u^2}\sin 2\alpha }}{g}                                        (D) \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{g}

Ans:      (B) \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}

Solve: 

27. 3P এবং 2P বলদ্বয়ের লব্ধি R. প্রথম বল দ্বিগুণ করলে লব্ধির পরিমানও ‍ দ্বিগুণ হয় । বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ হবে-

(A)  {110^ \circ }                (B) {120^ \circ }                 (C) {150^ \circ }                        (D) {135^ \circ }

Ans:  (B) {120^ \circ }

Solve:

একটি বলকে ‍দ্বিগুণ করলে যদি লব্ধি ও  দ্বিগুণ হয় তাহলে মধ্যবর্তী কোণ {120^ \circ }

28. 3{x^2} + 5{y^2} = 15 উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা হবে-

(A) \sqrt {3/5}                                                     (B) \sqrt {5/3}

(C) \sqrt {2/5}                                                   (D) \sqrt {5/2}

Ans:  (C) \sqrt {2/5}

Solve:

\begin{gathered} 3{x^2} + 5{y^2} = 15 \hfill \\ \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1 \hfill \\ e = \sqrt {1 - \frac{3}{5}} = \sqrt {\frac{2}{5}} \hfill \\ \end{gathered}

29. x = {y^2} এবং y = x - 2  দ্বারা আবদ্ব ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে-

(A) 1\frac{1}{3}                          (B) 3\frac{1}{6}                          (C) 4\frac{1}{2}                    (D) 4\frac{3}{4}

Ans: (C) 4\frac{1}{2}

Solve:

চিত্র

ক্ষেত্রফল= A+B

\begin{gathered} = 2\int_0^1 {\sqrt x dx + \int_1^4 {(\sqrt x - x - 2)dx} } \hfill \\ = 2.\frac{2}{3}\left\lfloor {{x^{3/2}}} \right\rfloor _0^1\, + \frac{2}{3}\left\lfloor {{x^{2/3}}} \right\rfloor _1^4 - \frac{1}{2}[{x^2}]_1^4 - [x]_1^4 \hfill \\ = \frac{4}{3} + \frac{{19}}{6} \hfill \\ = 4\frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}

30. একটি বস্তকণা খাড়া উপরের ‍দিকে প্রক্ষেপ করলে ‍নির্দিষ্ট বিন্দু P তে পেীছাতে  {t_1} সময় লাগে । যদি আরও  {t_2} সময় পর বস্তটি ভূমিতে পতিত হয় তবে কণাটির সর্বোচ্চ উচ্চতা হবে-

(A) \frac{1}{2}g{({t_1} + {t_2})^2}                                             (B) \frac{1}{8}g{({t_1} + {t_2})^2}

(C) \frac{1}{2}g{(t_1^2 + t_2^2)^2}                                        (D) \frac{1}{8}g{(t_1^2 + t_2^2)^2}

Ans:     (B) \frac{1}{8}g{({t_1} + {t_2})^2}

Solve: এখানে,  T = {t_1} + {t_2} = \frac{{2u}}{g}

\Rightarrow u = \frac{{({t_1} + {t_2})g}}{2}

\therefore সর্বোচ্চ উচ্চতা, H = \frac{{{u^2}}}{{2g}} = \frac{{{{({t_1} + {t_2})}^2}{g^2}}}{{4.2g}} = \frac{{{{(t{ & _1} + {t_2})}^2}g}}{g}