ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা : ২০১১-২০১২

  1. 3x + 7y - 2 = 0 সরলরেখার  ‍উপর লম্ব এবং (2, 1) বিন্দুগামী  সরলরেখার সমীকরণ-

(A) 3x + 7y - 13 = 0                                           (B) 7x - 3y - 11 = 0

(C) 7x + 3y - 17 = 0                                           (D) 7x - 3y - 2 = 0

Ans:       (B) 7x - 3y - 11 = 0

Solve:

3x + 7y - 2 = 0 এর উপর লম্ব রেখার সমীকণ  7x - 3y + k = 0

এখন, 7 \times 2 - 3 \times 1 + k = 0

\therefore k = - 11

\therefore সমীকরণ, 7x - 3y - 11 = 0

2. কোন  স্তম্ভের শীর্ষ হতে 19.5  m/sec বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত কোন কণা 5 সেকেন্ড পরে স্তম্ভের পাদদেশে পতিত হলে স্তম্ভের উচ্চতা-

(A) 20  m                     (B) 25  m                   (C) 30 m                      (D) 50 m

Ans:   (B) 25 m

Solve:

h = - ut + \frac{1}{2}g{t^2} = - 19.5 \times 5 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times {5^2} = 25\,m

3. 6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্ততঃ একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী অন্তর্ভূক্ত থাকে । কত বিভিন্ন প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে । 

(A) 160                                (B) 360                      (C) 410                        (D) 455

Ans:      (D) 455

Solve:

ছাত্র (6)                                       ছাত্রী (5)

4                                                      1

3                                                       2

2                                                       3

1                                                        4

কমিটি গঠন করা যাবে

{ = ^6}{C_4}{ \times ^5}{C_1}{ \times ^6}{C_3}{ \times ^5}{C_2}{ \times ^6}{C_2}{ \times ^5}{C_3}{ + ^6}{C_1}{ \times ^5}{C_4} = 455

4. \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 2}&6 \\ 2&{m - 3} \end{array}} \right)   ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি m  এর মান-

(A) 6, -1                          (B) -4, 6                          (C) -6, 4                        (D) 1, -6

Ans: (A) 6, -1

Solve:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 2}&6 \\ 2&{m - 3} \end{array}} \right) ব্যতিক্রমী হলে এর মান 0 হবে  ।

\therefore \,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 2}&6 \\ 2&{m - 3} \end{array}} \right) = 0

\begin{gathered} \Rightarrow {m^2} - 3m - 2m + 6 - 12 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {m^2} - 5m - 6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {m^2} - 6m + m - 5 = 0 \hfill \\ \Rightarrow m(m - 6) + 1(m - 6) = 0 \hfill \\ \Rightarrow (m - 6)(m + 1) = 0 \hfill \\ \therefore m = 6, - 1 \hfill \\ \end{gathered}

5. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(2x)}}{x} এর মান-

(A) 1                              (B)  0                          (C) 2                           (D)  \frac{1}{2}

Ans:  (C) 2

Solve:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(2x)}}{x}

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(2x)}}{{2x}} \times 2

add

6. \lambda এর যে মানের জন্য \lambda = \lambda x(1 - x)  বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি x অক্ষের সাথে {30^ \circ } কোণ উৎপন্ন করে । 

(A) \sqrt 3                      (B) \frac{1}{{\sqrt 3 }}                    (C) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                       (D) 1

Ans:   (B) \frac{1}{{\sqrt 3 }}

Solve:

\frac{{dy}}{{dx}} = \lambda - 2\lambda x

মূল বিন্দুতে (0,0)\frac{{dy}}{{dx}} = \lambda - 2\lambda .0 = \lambda

অতএব \lambda = \tan {30^ \circ } = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

7. (2,৪) কেন্দ্রবিশিষ্ট ও x- অক্ষকে স্পর্শ করে এমন বৃত্তের সমীকরণ-

(A) {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 16 = 0

(B) {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 4 = 0

(C) {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + 16 = 0

(D) {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + 4 = 0

Ans:  (B) {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 4 = 0

Solve:

এখানে (2 ,4 ) কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত A এবং B Option.

x অক্ষকে স্পর্শ করে বলে  c = {g^2}

\therefore c = {2^2} = 4

Option B এ c এর মান 4 দেয়া আছে ।

8.  {i^2} = - 1 হলে  \frac{{i - {i^{ - 1}}}}{{i + 2{i^{ - 1}}}} এর মান-

(A) 0                          (B) -2i                     (C) 2i                       (D) -2

Ans:      (D) -2

Solve:

\begin{gathered} \frac{{i - {i^{ - 1}}}}{{i + 2{i^{ - 1}}}} \hfill \\ \frac{{i - \frac{1}{i}}}{{i + \frac{2}{i}}} = \frac{{{i^2} - 1}}{{{i^2} + 2}} = \frac{{ - 1 - 1}}{{ - 1 + 2}} = - 2 \hfill \\ \end{gathered}

9.  \int_0^1 {\frac{{{{\sin }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} এর মান-

(A)  \frac{\pi }{2}                    (B) \frac{{{\pi ^2}}}{8}                    (C)  \frac{{{\pi ^2}}}{4}                     (D) \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}

Ans:  (B) \frac{{{\pi ^2}}}{8}

Solve:

ছক

\int_0^1 {\frac{{{{\sin }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx}

ধরি,  {\sin ^{ - 1}}x = z

\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dz \hfill \\ \therefore \int_0^{\frac{\pi }{2}} {zdz = \,\,\left[ {\frac{{{z^2}}}{z}} \right]_0^{\pi /2}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{4} - 0} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{8} \hfill \\ \end{gathered}

10. \frac{{{{(x + 4)}^2}}}{{100}} + \frac{{{{(y - 2)}^2}}}{{64}} = 1 হলে  e=?

(A) 1                         (B) \frac{3}{5}                  (C) \frac{5}{3}                     (D) \frac{4}{5}

Ans:  (B) \frac{3}{5}

Solve:

e = \sqrt {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{100}}} = \sqrt {\frac{{36}}{{100}}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}

11. দশমিক সংখ্যা 181 কে ‍দ্বিমিক পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হয়-

(A) 10110101                                                     (B) 10010111

(C) 10101101                                                    (D) 11010011

Ans: (A) 10110101

Solve:

ক্যালকুলেটর  এ BASE MODE এ যাও । তারপর  {x^2} বাটন চাপ । এখন 181 উঠিয়ে = চাপ ।  এখন log বাটন চাপলে Ans দেখতে পাবা  । 10110101

12. \cos \theta + \sqrt 3 \sin \theta = 2 সমীকরণের সাধারণ সমাধান-

(A) \theta = 2n\pi - \frac{\pi }{3}                                        (B) \theta = 2n\pi + \frac{\pi }{3}

(C) \theta = 2n\pi + \frac{\pi }{6}                                      (D) \theta = 2n\pi - \frac{\pi }{6}

Ans:  (B) \theta = 2n\pi + \frac{\pi }{3}

Solve:

\begin{gathered} {\left( {\sqrt 3 \sin \theta } \right)^2} = {(2 - \cos \theta )^2} \hfill \\ \Rightarrow 3(1 - {\cos ^2}\theta ) = 4 - 4\cos \theta + {\cos ^2}\theta \hfill \\ \Rightarrow 4{\cos ^2}\theta - 4\cos \theta + 1 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \theta = 2n\pi + \frac{\pi }{3} \hfill \\ \end{gathered}

13. যে সমীকরণের মূলগুলো   {x^2} - 5x - 1 = 0 সমীকরণের মূলগুলো হতে 2 ছোট, তা-

(A) {x^2} + x + 7 = 0                                        (B) {x^2} - x + 7 = 0

(C)  {x^2} - x - 7 = 0                                        (D) {x^2} + x - 7 = 0

Ans: (C)  {x^2} - x - 7 = 0

Solve: 2 ছোট বলে x  এর জায়গায়  x+2 ধরে যে সমীকরণ পাওয়া যায় সেটাই Ans.

\begin{gathered} \therefore \,(x + 2) - 5(x + 2) - 1 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + 4x + 4 - 5x - 10 - 1 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - x - 7 = 0 \hfill \\ \end{gathered}

14. বাস্তব সংখ্যায়  \left| {3 - 2x} \right| \leqslant 1 অসমতাটির সমাধান-

(A) 1 < x < 2                                                            (B)  1 \leqslant x \leqslant 2

(C) x \leqslant 1\,or\,x \geqslant 2           (D) 1 < x \leqslant 2

Ans:  (B)  1 \leqslant x \leqslant 2

Solve:

\begin{gathered} \left| {3 - 2x} \right| \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - 1 \leqslant 3 - 2x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - 4 \leqslant - 2x \leqslant - 2 \hfill \\ \Rightarrow 2 \geqslant x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered}

15. \frac{{\sin {{75}^ \circ } + \sin {{15}^ \circ }}}{{\sin {{75}^ \circ } - \sin {{15}^ \circ }}} এর মান-

(A) \sqrt 5                               (B) \sqrt 3                   (C) - \sqrt 3                (D) - \sqrt 5

Ans:    (B) \sqrt 3

Solve:

\begin{gathered} \frac{{\sin {{75}^ \circ } + \sin {{15}^ \circ }}}{{\sin {{75}^ \circ } - \sin {{15}^ \circ }}} = \frac{{2\sin {{45}^ \circ }\cos {{30}^ \circ }}}{{2\sin {{30}^ \circ }\cos {{45}^ \circ }}} \hfill \\ = \tan {45^ \circ }\frac{1}{{\tan {{30}^ \circ }}} = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered}

16. \int {\frac{{{e^x}(1 + x)}}{{{{\cos }^2}(x{e^x})}}dx} সমান-

(A) \sin (x{e^x}) + c                                      (B)  \cot (x{e^x}) + c

(C) \tan (x{e^x}) + c                                      (D) \cos (x{e^x}) + c

Ans: (C) \tan (x{e^x}) + c

Solve: ধরি, x{e^x} = z

\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}(x{e^x}) = x{e^x} + {e^x} \hfill \\ \Rightarrow {e^x}(1 + x)dx = dz \hfill \\ \therefore \,\int {{{\sec }^2}zdz = \tan z + c = \tan (x{e^x}) + c} \hfill \\ \end{gathered}

17.  {x^2} - 2x + 5 = 0 এর নূন্যতম মান-

(A) 1                           (B) 2                        (C) 3                        (D) 4

Ans:       (D) 4

Solve:

নূন্যতম  মান  = 5 - \frac{{{{( - 2)}^2}}}{{4.1}} = 5 - \frac{4}{4} = 5 - 1 = 4

18.  1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{2^4}}} - \frac{1}{{{2^5}}}............\, to infinity =?

(A) \frac{2}{3}                    (B) \frac{4}{3}                  (C) 2                     (D) \frac{1}{3}

Ans: (A) \frac{2}{3}

Solve:

\begin{gathered} r = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{1} = - \frac{1}{2} \hfill \\ s = \frac{a}{{1 - r}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered}

19. {x^2} - x + 4y - 4 = 0 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক-

(A) (-4, 2)                         (B)  (4, 2)                         (C) (4, 5)                  (D) (5, 4)

Ans:       (B)  (4, 2)

Solve:

(-4, 2) বিন্দুটি পরাবৃত্তের বামপক্ষে বসাও,

{( - 4)^2} + 4 + 8 - 4 = 16 + 4 + 8 - 4 = 24

বামপক্ষ  \ne  ডানপক্ষ

(4, -2) বসাও, {4^2} - 4 - 8 - 4 = 16 - 16 = 0

\therefore বামপক্ষ = ডানপক্ষ

20. স্রোত না থাকলে একটি ছেলে 5 মিনিটে সাতার কেটে সোজাসুজিভাবে 80 মিটার প্রশস্ত একটি খাল পার হতে পারে এবং স্রোত থাকলে তার ‍দ্বিগুণ সময় লাগে । স্রোতের বেগ-

(A) 15 m/min                                                           (B) 12 m/min

(C) 16.5 m/min                                                       (D) 13.86 m/min

Ans:   (D) 13.86 m/min

Solve:

ছেলের বেগ  v  অার স্রোতের বেগ  u ধরি ।

স্রোত না থাকলে,  t = \frac{d}{v} \Rightarrow v = \frac{{80}}{5} = 16

স্রোত থাকলে,  t = \frac{d}{{\sqrt {{v^2} - {u^2}} }}

\begin{gathered} \Rightarrow 10 = \frac{{80}}{{\sqrt {{{16}^2} - {u^2}} }} \Rightarrow \sqrt {{{16}^2} - {u^2}} = 8 \hfill \\ \therefore u = 13.86\,\,\,m/\min \hfill \\ \end{gathered}

21.  {\left( {2{x^2} + \frac{k}{{{x^3}}}} \right)^{10}} এর বিস্ততিতে {x^5}  এবং {x^{15}} এর সহগদ্বয় সমান হলে k এর মান ধনাত্বক মান-

(A) \frac{1}{{\sqrt 2 }}                    (B) \frac{1}{{\sqrt 3 }}                    (C)   \frac{1}{2}                       (D) \frac{1}{{\sqrt 5 }}

Ans:  (B) \frac{1}{{\sqrt 3 }}

Solve:  {x^5} এর ক্ষেত্রে, r = \frac{{20 - 5}}{{2 - ( - 3)}} = \frac{{15}}{3} = 3

সহগ { = ^{10}}{C_3}{2^7}.{k^3}

{x^{15}} এর ক্ষেত্রে,  r = \frac{{20 - 15}}{5} = \frac{5}{5} = 1

সহগ { = ^{10}}{C_1}{.2^9}.k

এখন, { = ^{10}}{C_3}{2^7}.{k^3}{ = ^{10}}{C_1}{.2^9}.k

\begin{gathered} \Rightarrow 120.{k^2} = {10.2^2} \Rightarrow {k^2} = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3} \hfill \\ \therefore k = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{gathered}

22. প্রতিবার প্রথমে ও শেষে U রেখে CALCULUS শব্দটির অক্ষরগুলিকে কতভাবে সাজানো যাবে । 

(A) 90                       (B) 180                   (C) 280                    (D) 360

Ans: (B) 180

Solve:

U  কে প্রথমে ও শেষে রেখে সাজানো যায় = \frac{{6!}}{{2! \times 2!}} = 180

23. {y^2} = 16x ও y = 4x দ্বারা অাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল-

(A) \frac{3}{2}\,sq.\,units                                              (B) \frac{3}{4}\,sq.\,units

(C)  \frac{4}{3}\,sq.\,units                                            (D) \frac{2}{3}\,sq.\,units

Ans:      (D) \frac{2}{3}\,sq.\,units

Solve:

\begin{gathered} {y^2} = 16x,y = 4x \hfill \\ {(4x)^2} = 16x \hfill \\ \Rightarrow 16{x^2} = 16x \hfill \\ \Rightarrow 16{x^2} - 16x = 0 \hfill \\ \Rightarrow 16x(x - 1) = 0\,\,\, \hfill \\ \therefore x = 0,1 \hfill \\ \end{gathered}

ক্ষেত্রফল = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {({y_1} - {y_2})dx} = \int_0^1 {(4\sqrt x - 4x)dx}

\begin{gathered} = \left[ {4.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} - 4.\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = \left[ {\frac{8}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2{x^2}} \right]_0^1 \hfill \\ = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered}

24. যদি  \overrightarrow {AB} = 2\hat i + \hat j এবং \overrightarrow {AC} = 3\hat i - \hat j + 5\hat k  হয়, তবে  AB ও AC  কে সন্নিহিত বাহু ধরে অংকিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল-

(A) 2\sqrt 6                   (B)  3\sqrt 6                    (C) 4\sqrt 6                (D) 5\sqrt 6

Ans: (D) 5\sqrt 6

Solve:

\begin{gathered} (\overrightarrow A \times \overrightarrow B ) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k} \\ 2&1&0 \\ 3&{ - 1}&5 \end{array}} \right| \hfill \\ = \{ \hat i(5 - 0) - \hat j(10 - 0) + \hat k( - 2 - 3)\} \hfill \\ = (5\hat i - 10\hat j - 5\hat k) \hfill \\ \end{gathered}

\therefore ক্ষেত্রফল  = \left| {\overrightarrow A \times \overrightarrow B } \right| = \sqrt {{5^2} + {{10}^2} + {5^2}} = \sqrt {150} = \sqrt {25 \times 6} = 5\sqrt 6

25. \sqrt 3 এককের দুইটি সমান বল  {120^ \circ } কোণে এক বিন্দুতে কাজ করে । তাদের লব্ধির মান- 

(A) \sqrt 3 units         (B) 4\sqrt 3 \,\,units             (C) 3  units                (D) 2\sqrt 3 \,\,units

Ans: (A) \sqrt 3 units

Solve:

দুটি সমান বল {120^ \circ } কোণে ক্রিয়া করলে তার লব্ধি ঐ দুটি বলের সমান হয়  । এখানে,  লব্ধি \sqrt 3 হবে ।

26. যদি y = \frac{{\tan x - \cot x}}{{\tan x + \cot x}} হয়, তবে \frac{{dy}}{{dx}} সমান- 

(A) 2\sin 2x                                                          (B) 2\cos 2x

(C) 2\tan 2x                                                         (D) 2\cot 2x

Ans: A) 2\sin 2x

Solve:

\begin{gathered} y = \frac{{\tan x - \cot x}}{{\tan x + \cot x}} \hfill \\ = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}} \hfill \\ = - \cos 2x = 2\sin 2x \hfill \\ \end{gathered}

27. একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ  করা হলো । একই সঙ্গে মুদ্রাটির মাথা ও ছক্কাটির জোড় সংখ্যা আসার সম্ভবনা-

(A) \frac{1}{2}                    (B)  \frac{1}{3}                   (C) \frac{1}{4}                  (D) \frac{1}{5}

Ans:  (C) \frac{1}{4}

Solve:

মাথা হবার সম্ভবনা = \frac{1}{2}

জোড় হবার সম্ভবনা = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

28.  (2, - 1),(a + 1,a - 3)  ও (a + 2,a) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে  এর মান-

(A) 4                       (B) 2                       (C) \frac{1}{4}                        (D) \frac{1}{2}

Ans:(D) \frac{1}{2}

Solve:

সমরেখ েবলে, \frac{1}{2}\{ 2(a - 3 - a) + (a + 1)(a + 1) + (a + 2)( - 1 - a + 3) = 0

\begin{gathered} \frac{1}{2}\{ 2(a - 3 - a) + (a + 1)(a + 1) + (a + 2)( - 1 - a + 3) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 2( - 3) + {a^2} + 2a + 1 + (a + 2)(2 - a) = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 6 + {a^2} + 2a + 1 + 2a + 4 - {a^2} - 2a = 0 \hfill \\ \Rightarrow 2a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}

29. f(x) = 3{x^3} + 3 এবং g(x) = \sqrt[3]{{\frac{{x - 2}}{3}}} হলে (fog)(3)  এর মান-

(A) 1                          (B) 2                      (C) 3                         (D) 4

Ans:    (D) 4

Solve:

\begin{gathered} (fog)(x) = f(g(x)) = f\left( {\sqrt[3]{{\frac{{x - 2}}{3}}}} \right) = 3{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{x - 2}}{3}}}} \right)^3} + 3 \hfill \\ = 3.\frac{{x + 2}}{3} + 3 = x - 2 + 3 = x + 1 \hfill \\ \therefore fog(3) = 3 + 1 = 4 \hfill \\ \end{gathered}

30. \cos \,{\tan ^{ - 1}}\,\cot \,{\sin ^{ - 1}}\,x সমান-

(A) x                          (B) \frac{\pi }{2} - x                   (C) -x                    (D) x - \frac{\pi }{2}

Ans: (A) x

Solve:

চিত্র

\begin{gathered} \cos \,{\tan ^{ - 1}}\,\cot \,{\sin ^{ - 1}}\,x \hfill \\ = \cos \,{\tan ^{ - 1}}\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x} = x \hfill \\ \end{gathered}