ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় [ ভর্তি পরীক্ষা: ২০১৪-২০১৫]

[ বিজ্ঞান বিভাগ ] ক- ইউনিট সেট -১

1.  \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + ....... + n তম পদ পর্যন্ত=?

(A) \frac{{n + 1}}{{3(n + 2)}}                                              (B) \frac{n}{{3(n + 3)}}

(C) \frac{n}{{2(n + 3)}}                                                         (D) \frac{{n + 2}}{{3(n + 3)}}

Ans:   (B) \frac{n}{{3(n + 3)}}

Solve:

\begin{gathered} \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + ......... + \frac{1}{{(n + 2)(n + 3)}} \hfill \\ = \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + \frac{{5 - 4}}{{4.5}} + \frac{{6 - 5}}{{5.6}} + ........... + \frac{{(n + 3) - (n - 2)}}{{(n + 2)( + 3)}} \hfill \\ = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ......... + \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}} \hfill \\ = \frac{1}{3} - \frac{1}{{n + 3}} = \frac{n}{{3(n + 3)}} \hfill \\ \end{gathered}

Shortcut: 

n=1 ধরলে, {S_1} = \frac{1}{{12}}option - এ (B) তে n=1, ধরলে {S_1} = \frac{1}{{12}}

2.  \left| x \right| < 1 শর্তে  \frac{{1 + 2x}}{{1 - x}} এর বিস্ততিতে {x^9}  এর সহগ-

(A) 1                       (B) 5                       (C) 2                            (D) 3

Ans:       (D) 3

Solve:

\begin{gathered} \frac{{1 + 2x}}{{1 - x}} = (1 + 2x){(1 - x)^{ - 1}} \hfill \\ = (1 + 2x)(1 + x + {x^2} + {x^3} + .......... + {x^8} + {x^9} + ) \hfill \\ \end{gathered}

এর  {x^9} – এর সহগ = 1 + 2 = 3

3.  x এর বাস্তব মানের জন্য  \left| {4x - 3} \right| > 1 অসমতার সমাধান-

(A) \left( { - \infty ,\frac{1}{2}} \right)                                      (B) (1,\infty )

(C) \left( { - \infty ,\frac{1}{2}} \right) \cup (1,\infty )       (D) \left( { - \infty ,\frac{1}{2}} \right) \cup [1,\infty )

Ans: (C) \left( { - \infty ,\frac{1}{2}} \right) \cup (1,\infty )

Solve:

\begin{gathered} \left| {4x - 3} \right| > 1 \hfill \\ \Rightarrow - 1 > 4x - 3 > 1 \hfill \\ \Rightarrow - 1 + 3 > 4x > 1 + 3 \hfill \\ \Rightarrow 2 > 4x > 4 \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{2} > x > 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}\,or,\,x > 1 \hfill \\ \end{gathered}

4. \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\alpha &x \\ \beta &\beta &\beta \\ \theta &x&\theta \end{array}} \right| = 0,x = ?

(A) \alpha ,\beta ,\theta                     (B) \alpha ,\theta                  (C)   \beta ,\theta                  (D) \alpha ,\beta

Ans:  (B) \alpha ,\theta

Solve:

\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\alpha &x \\ \beta &\beta &\beta \\ \theta &x&\theta \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\alpha &x \\ 1&1&1 \\ \theta &x&\theta \end{array}} \right| = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\alpha - x}&x \\ 0&0&1 \\ {\theta - x}&{x - \theta }&1 \end{array}} \right| = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 1\{ 0 - (\alpha - x)(\theta - x)\} = 0 \Rightarrow x = \alpha ,x = \theta \hfill \\ \end{gathered}

5. 3{x^2} - kx + 4 = 0  সমীকরণটির একটি মূল অপরটির 3 গুণ হলে k-এর  মান-

(A) 8                        (B) -8                    (C) \sqrt 8                          (D) \pm 8

Ans: (D) \pm 8

Solve:

3{x^2} - kx + 4 = 0

মূলদ্বয়, \alpha ,3\alpha

\begin{gathered} \therefore 3{\alpha ^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow {\alpha ^2} = \frac{4}{{{3^2}}} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{2}{3} \hfill \\ \alpha + 3\alpha = \frac{k}{3} \Rightarrow 4\alpha = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 12\alpha = 12\left( { \pm \frac{2}{3}} \right) = \pm 8 \hfill \\ \end{gathered}

Shortcut: 3{\alpha ^2} = \frac{4}{3} এবং 4\alpha  = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 12\alpha  = 12\left( { \pm \frac{2}{3}} \right) =  \pm 8

6. COURAGE শব্দটির বর্ণগুলি নিয়ে কতগুলি বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে-

(A) 720                   (B) 2880                  (C) 180                     (D) 5040

Ans:   (B) 2880

Solve:  COURAGE

স্বরবর্ণ 4 টি ( OUAE )

এবং ব্যঞ্জনবর্ণ  3 ‍টি  ( CRG ) মোট 7 টি বর্ণ

4 টি স্বরবর্ণ হতে 1 টি স্বরবর্ণকে ১ম রাখা যায় ^4{C_1} = 4 প্রকারে

অবশিষ্ট 6 টি বর্ণের সাজানাে সংখ্যা = ^6{C_6} = 6! = 720

\therefore নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা  = 4 \times 720 = 2880

7. 1 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যেকোনো একটিকে দৈবচয়নের মাধ্যমে নিলে সেই সংখ্যাটি 3 বা 7 এর গুণিতক হবার সম্ভাবনা কত?

(A) \frac{8}{{11}}                                                          (B) \frac{3}{7}

(C) \frac{{10}}{{21}}                                                   (D) \frac{{11}}{{21}}

Ans:       (B) \frac{3}{7}

Solve:

3 -এর গুণিত সংখ্যা  A = \{ 3,6,9,12,15,18,21\} = 7 টি

7  -এর গুণিত সংখ্যা B = \{ 7,14,21\}  = 3 টি

A \cap B = \{ 21\}  = 1 টি

মোট সংখ্যা=21

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{7}{{21}} + \frac{3}{{21}} - \frac{1}{{21}} = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}

8.  যদি  a*b = \frac{{ab}}{{a + b}} দ্বারা a এবং b বাস্তব সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক * দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে 10*2=?

(A) 5/3                 (B) 5/2                (C) 5                      (D) 2

Ans: (A) 5/3

Solve:

\begin{gathered} a*b = \frac{{ab}}{{a + b}} \hfill \\ \therefore 10*2 = \frac{{10 \times 2}}{{10 + 2}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3} \hfill \\ \end{gathered}

9.  \frac{{i + {i^{ - 1}}}}{{i + 2{i^{ - 1}}}} এর মান এবং নতি হবে যথাক্রমে-

(A)  0, 0                                                         (B) - 2i,\frac{{ - \pi }}{2}

(C) 2i,\frac{\pi }{2}                                               (D) - 2,\pi

Ans:  (D) - 2,\pi

Solve:

মান = \frac{{i - {i^{ - 1}}}}{{i + 2{i^{ - 1}}}} = \frac{{{i^2} - 1}}{{{i^2} + 2}} = \frac{{ - 1 - 1}}{{ - 1 + 2}} =  - 2

- 2 =  - 2 + i\theta ,\theta  = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{0}{{ - 2}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}0=\pi

N:B: বিপরীত ফাংশনের মান সর্বদা ধনাত্নক হবে,

10.  A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2} \\ { - 2}&2 \end{array}} \right) এবং B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2 \\ 3&3 \end{array}} \right),AB = ?

(A) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2 \\ { - 2}&2 \end{array}} \right)                                                      (B) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \right)

(C) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 3&0 \end{array}} \right)                                                   (D) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ - 2} \\ 2&2 \end{array}} \right)

Ans: (D) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ - 2} \\ 2&2 \end{array}} \right)

Solve:

\begin{gathered} A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2} \\ { - 2}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2 \\ 3&3 \end{array}} \right) \hfill \\ AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2} \\ { - 2}&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2 \\ 3&3 \end{array}} \right) \hfill \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 6}&{4 - 6} \\ { - 4 + 6}&{ - 4 + 6} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ - 2} \\ 2&2 \end{array}} \right), \Rightarrow (D) \hfill \\ \end{gathered}

Shortcut: Using Calculator

11.  y =  - 5x + 9  রেখার সাথে লম্ব রেখার নতি-

(A) 5                          (B) -5                        (C) \frac{1}{5}                            (D) - \frac{1}{5}

Ans:   (C) \frac{1}{5}

Solve:

y =  - 5x + 9 – এর ঢাল =-5 এর লম্বের ঢাল m হলে

m( - 5) =  - 1 \Rightarrow m = \frac{1}{5}

12. নিম্নের কোন বৃত্তটি  x-অক্ষকে স্পর্শ করে-

(A) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 4 = 0

(B) {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 5 = 0

(C) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0

(D) 2{x^2} + 2{y^2} - 2x + 6y + 3 = 0

Ans: (C) {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0

Solve: Option C -এর সমীকরণ

\begin{gathered} {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2( - 1)x + 2.3y + 1 = 0 \hfill \\ g = - 1,c = 1 \hfill \\ {g^2} = 1 = c \hfill \\ \end{gathered}

13. (1, 4)   এবং ( 9, 12 ) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখা যে বিন্দুতে 3 :5 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়, তার স্থানাংক-

(A) (7, 4)                         (B) (4, 7)                     (C) (5, 8)                        (D) (8, 5)

Ans:      (B) (4, 7)

Solve:

অন্তর্বিভক্ত বিন্দু  \left( {\frac{{3 \times 9 + 5 \times 1}}{{3 + 5}},\frac{{3 \times 12 + 5 \times 4}}{{3 + 5}}} \right) = (4,7)

14.  P(6, 8), Q (4, 0) এবং R(0, 0) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল-

(A) 32 Sq.units                                                            (B) 16 Sq.units

(C) 12 Sq.units                                                            (D) 24 Sq.units

Ans:     (B) 16 Sq.units

Solve:

\Delta PQR = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \\ 4&0&1 \\ 6&8&1 \end{array}} \right| = \frac{1}{2} \times 32 = 16\,\,Square\,units

Shortcut: একটি বিন্দু ( 0, 0) হলে

ক্ষেত্রফল = \left| {\frac{1}{2}({x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})} \right| = \left| {\frac{1}{2}(0 - 32)} \right| = 16

15.  a  এর মান কত হলে \frac{1}{2}i + \frac{1}{3}j + ak  ভেক্টরটি একটি একক ভেক্টর হবে-

(A) \pm \frac{2}{3}                                                   (B) \pm \frac{{\sqrt {15} }}{6}

(C) \pm \frac{7}{6}                                                  (D) \pm \frac{{\sqrt {23} }}{6}

Ans:   (D) \pm \frac{{\sqrt {23} }}{6}

Solve: প্রশ্নমতে,

\begin{gathered} \left| {\frac{1}{2}\hat i + \frac{1}{3}\hat j + a\hat k} \right| = 1 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {a^2}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + {a^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{{23}}{{36}} \Rightarrow a = \pm \frac{{\sqrt {23} }}{6} \hfill \\ \end{gathered}

16.  ABC ত্রিভুজের BC,CA  এবং AB  বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে D, E, এবং F  হলে-

(A) \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}                                             (B)  \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {DE}

(C) \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}                                             (D) \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {CF}

Ans:  (B) \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {DE}

Solve: চিত্র

\begin{gathered} 2\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AE} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {EA} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {DF} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {DE} \hfill \\ \end{gathered}

17.  3x + 5y = 2,2x + 3y = 0,ax + by + 1 সমবিন্দুগামী হলে a  এবং  b এর সম্পর্ক-

(A) 4a - 6b = 1                                                            (B) 4a - 6b = 2

(C) 6a - 4b = 1                                                           (D) 6a - 4b = 2

Ans: (C) 6a - 4b = 1

Solve:

\begin{gathered} 3x + 5y = 2 - - - - (i) \hfill \\ 2x + 3y = 0 - - - - (ii) \hfill \\ ax + by + 1 = 0 - - - (iii) \hfill \\ \end{gathered}

(i) ও (ii) ছেদ বিন্দু ( -6, 4 )

(iii) নং এ বসাই - 6a + 4b + 1 = 0 \Rightarrow 6a - 4b = 1

বিকল্প,

\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5&2 \\ 2&3&0 \\ a&b&{ - 1} \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 2a}&{5 + 2b}&0 \\ 2&3&0 \\ a&b&{ - 1} \end{array}} \right| = 0 \hfill \\ \Rightarrow 9 + 6a - 10 - 4b = 0 \Rightarrow 6a - 4b = 1 \hfill \\ \end{gathered}

18.  5{x^2} + 15x - 10y - 4 = 0 পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ-

(A) 40x + 81 = 0                                                    (B) 2x + 3 = 0

(C)  40y + 81 = 0                                                  (D) 40y + 41 = 0

Ans:  (C)  40y + 81 = 0

Solve:

\begin{gathered} 5{x^2} + 15x - 10y - 4 = 0 \hfill \\ \Rightarrow 5({x^2} + 3x) = 10y + 4 \hfill \\ \Rightarrow 5\left( {{x^2} + 2.\frac{3}{2}.x + \frac{9}{4}} \right) = 10y + 4 + \frac{{45}}{4} \hfill \\ \Rightarrow 5{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = 10y + \frac{{61}}{4} \hfill \\ \Rightarrow 5{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = 10\left( {y + \frac{{61}}{{40}}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 5{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = 4(\frac{{10}}{4})(y + \frac{{61}}{{40}}) \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = 4.\frac{1}{2}\left( {y + \frac{{61}}{{40}}} \right), \Rightarrow a = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}

নিয়ামকের সমীকরণ,

\begin{gathered} y + \frac{{61}}{{40}} + a = 0 \Rightarrow y + \frac{{61}}{{40}} + \frac{1}{2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow 40y + 61 + 20 = 0 \Rightarrow 40y + 81 = 0 \hfill \\ \end{gathered}

19.   ABC  ত্রিভুজের \cos A + \cos C = \sin B  হলে \angle C  এর মান-

(A)  \frac{\pi }{4}                       (B) \frac{\pi }{3}                       (C) \frac{\pi }{2}                        (D) \frac{\pi }{6}

Ans:  (C) \frac{\pi }{2}

Solve:

\begin{gathered} \cos A + \cos C = \sin B \hfill \\ \Rightarrow \cos C + \cos A = \sin B \hfill \\ \Rightarrow 2\cos \frac{{C + A}}{2}\cos \frac{{C - A}}{2} = 2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{B}{2}} \right)\cos \frac{{C - A}}{2} = \sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2} \hfill \\ \Rightarrow \sin \frac{B}{2}\cos \frac{{C - A}}{2} = \sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2} \hfill \\ \because \sin \frac{B}{2} \ne 0 \Rightarrow \cos \frac{{C - A}}{2} = \cos \frac{B}{2} \hfill \\ \Rightarrow C - A = B \Rightarrow B + A = C \hfill \\ \Rightarrow A + B + C = 2C \hfill \\ \Rightarrow \pi = 2C \hfill \\ \Rightarrow C = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered}

20.  \sin {65^ \circ } + \cos {65^ \circ } এর মান-

(A) 2\cos {20^ \circ }                                                 (B) \sqrt 2 \cos {20^ \circ }

(C) \sqrt 2 \sin {20^ \circ }                                      (D) 2\sin {20^ \circ }

Ans: (B) \sqrt 2 \cos {20^ \circ }

Solve:

\begin{gathered} \sin {65^ \circ } + \cos {65^ \circ } \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin {{65}^ \circ } + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos {{65}^ \circ }} \right) \hfill \\ = \sqrt 2 (\cos {65^ \circ }\cos {45^ \circ } + \sin {65^ \circ }\sin {45^ \circ }) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos ({65^ \circ } - {45^ \circ }) = \sqrt 2 \cos {20^ \circ } \hfill \\ \end{gathered}

21.  {\sin ^{ - 1}}\frac{4}{5} + {\cos ^{ - 1}}\frac{2}{{\sqrt 5 }} সমান-

(A) {\tan ^{ - 1}}\frac{2}{{11}}                                      (B) {\sin ^{ - 1}}\frac{{11}}{2}

(C) {\tan ^{ - 1}}\frac{{11}}{2}                                     (D) {\cos ^{ - 1}}\frac{{11}}{2}

Ans: (C) {\tan ^{ - 1}}\frac{{11}}{2}

Solve: চিত্র

\begin{gathered} {\sin ^{ - 1}}\frac{4}{5} + {\cos ^{ - 1}}\frac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ = {\tan ^{ - 1}}\frac{4}{5} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{2} \hfill \\ = {\tan ^{ - 1}}\frac{{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}}} = {\tan ^{ - 1}}\frac{{11}}{2} \hfill \\ \end{gathered}

22.  \cos ec\theta  + \cot \theta  = \sqrt 3 ,(0 < \theta  < 2\pi ) হলে  \theta এর মান-

(A) \frac{\pi }{6}                   (B) \frac{\pi }{4}                     (C) \frac{\pi }{3}                                  (D) \frac{{2\pi }}{3}

Ans: (C) \frac{\pi }{3}

Solve:

\begin{gathered} \cos ec\theta + \cot \theta = \sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{{\sin }} + \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }} = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{{1 + \cos \theta }}{{\sin \theta }} = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\theta }{2}}}{{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}} = \sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \cot \frac{\theta }{2} = \sqrt 3 \Rightarrow \tan \frac{\theta }{2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \tan \frac{\pi }{6} \Rightarrow \frac{\theta }{2} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \theta = \frac{\pi }{3} \hfill \\ \end{gathered}

Shortcut: Answer test

23.  f(x) = \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} বাস্তব ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ-

(A) x <  - 2,y > \frac{1}{2}                          (B) - 2 < x < 2,y \geqslant \frac{1}{2}

(C) - 2 \leqslant x \leqslant 2,y \geqslant \frac{1}{2}        (D) - x <  - 2\& x > , - 2 < y < 2

Ans:  (B) - 2 < x < 2,y \geqslant \frac{1}{2}

Solve:

f(x) = \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}

ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যখন,  4 - {x^2} > 0

\Rightarrow {x^2} - 4 < 0 \Rightarrow {x^2} < 4 \Rightarrow \left| x \right| < 2 \Rightarrow  - 2 < x < 2

ডোমেন, - 2 < x < 2

x=0 হলে                                                             y = f(x) = \frac{1}{2}

x=0 ব্যতীত যখন, - 2 < x < 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = f(x) > \frac{1}{2}

\therefore রেঞ্জ y \geqslant \frac{1}{2}

- 2 < x < 2,y \geqslant \frac{1}{2}

24.  x = 0 বিন্দুতে  y + x + {e^x} এর লেখচিত্রে স্পর্শকের সমীকরণ হবে-

(A) y = x                                                               (B) y = x + 1

(C) y = 2x + 1                                                   (D) y = 2x

Ans: (C) y = 2x + 1

Solve:

y = x + {e^x} \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = 1 + {e^x}

x=0 বিন্দুতে \frac{{dy}}{{dx}} = 1 + {e^ \circ } = 1 + 1 = 2

আবার,

x = 0, \Rightarrow y = 0 + {e^ \circ } = 1

স্পর্শ বিন্দু (0, 1 )

স্পর্শকের সমীকরণ, y - 1 = 2(x - 0)

\Rightarrow y = 2x + 1

25. \int_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{x + 1}}} dx =

(A) \frac{1}{2}{(\ln 2)^2}                           (B) \frac{1}{2}\ln 2

(C)  \infty                                                          (D) 0

Ans: (A) \frac{1}{2}{(\ln 2)^2}

Solve:

\begin{gathered} \int_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{x + 1}}} dx \hfill \\ = \int_0^1 {\ln (x + 1)\frac{1}{{x + 1}}dx} \hfill \\ = \left[ {{{\left\{ {\frac{{\ln (x + 1}}{2}} \right\}}^2}} \right]_0^1 = \frac{{{{(\ln 2)}^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}{(\ln 2)^2} \hfill \\ \end{gathered}

26.  y = x, এবং y = {x^2}  দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ( বর্গ এককে)

(A)  \frac{5}{6}                       (B) \frac{1}{6}                        (C) - \frac{1}{6}                        (D) \frac{1}{3}

Ans:   (B) \frac{1}{6}

Solve: সীমা  x = {x^2} \Rightarrow {x^2} - x = 0

\Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0,x = 1

ক্ষেত্রফল, A = \int_0^1 {({y_1} - {y_2})dx}

= \int_0^1 {({x^2} - x} )dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{6} \Rightarrow \frac{1}{6}

27.  3P এবং 2P  মানের বল দুইটির লব্ধির মান R. যদি প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয়, তবে লব্ধির মানও দ্বিগুণ হয়  । বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে-

(A) {60^ \circ }                         (B) {90^ \circ }                     (C)  {120^ \circ }                         (D) {150^ \circ }

Ans:    (C)  {120^ \circ }

Solve: ১ম ক্ষেত্রে,

\begin{gathered} {R^2} = 9{p^2} + 4{p^2} + 12{p^2}\cos \alpha \hfill \\ \Rightarrow {R^2} = 13{p^2} + 12{p^2}\cos \alpha ............(i) \hfill \\ \end{gathered}

২য় ক্ষেত্রে,

\begin{gathered} {(2R)^2} = 36{p^2} + 4{p^2} + 24{p^2}\cos \alpha \hfill \\ \Rightarrow 4(13{p^2} + 12{p^2}\cos \alpha ) = 40{p^2} + 24{p^2}\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} [ (i) হতে ]

\begin{gathered} \Rightarrow 24{p^2}\cos \alpha = - 12{p^2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{12{p^2}}}{{24{p^2}}} = - \frac{1}{2} = \cos {120^ \circ } \hfill \\ \Rightarrow \alpha = {120^ \circ } \hfill \\ \end{gathered}

28. \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} + 6x}}{{2{x^2} + 5}} = ?

(A) 0                             (B) \frac{3}{2}                     (C) \frac{1}{2}                 (D) 1

Ans: (C) \frac{1}{2}

Solve:

\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} + 6x}}{{2{x^2} + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 + \frac{6}{x}}}{{2 + \frac{5}{{{x^2}}}}} = \frac{{1 + 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}

 

29. \int {\frac{{{e^x}(1 + x)}}{{{{\cos }^2}({x^x})}}dx = ?} 

(A)  x{e^x} + c                                                   (B)  \tan (x{e^x}) + c

(C)  \cot (x{e^x}) + c                                     (D) \cos (x{e^x}) + c

Ans:      (B)  \tan (x{e^x}) + c

Solve:

\begin{gathered} \int {\frac{{{e^x}(1 + x)}}{{{{\cos }^2}({x^x})}}dx} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\therefore \,d(x{e^x}) = (x{e^x} + {e^x})dx \hfill \\ = \int {\frac{{d(x{e^x})}}{{{{\cos }^2}(x{e^x})}}} \hfill \\ = \int {{{\sec }^2}(x{e^x})d(x{e^x})} = {e^x}(1 + x)dx \hfill \\ = \tan (x{e^x}) + c \hfill \\ \end{gathered}

30. {e^{xy + 1}} = 5  হলে \frac{{dy}}{{dx}} = ?

(A) \frac{{\ln 5}}{{xy}}                                 (B) \frac{{\ln 5}}{{ - {x^2}}}

(C)  - \frac{y}{x}                                           (D) \frac{{\ln 5}}{y}

Ans:  (C)  - \frac{y}{x}

Solve:

\begin{gathered} {e^{xy + 1}} = 5 \hfill \\ \Rightarrow xy + 1 = \ln 5 \hfill \\ \Rightarrow y + x\frac{{dy}}{{dx}} = 0 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{y}{x} \hfill \\ \end{gathered}