ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় [ ভর্তি পরীক্ষা: ২০১০-২০১১]

ক- ইউনিট

01. নির্ণায়ক \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{bc}&{bc(b + c)} \\ 1&{ca}&{ca(c + a)} \\ 1&{ab}&{ab(a + b)} \end{array}} \right|  এর  মান কত?
(A) abc(a + b)(b + c)(c + a)                             (B)  abc(a + b + c)
(C) 1                                                                               (D) 0
Ans:         (D) 0
Solve:
\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{bc}&{bc(b + c)} \\ 1&{ca}&{ca(c + a)} \\ 1&{ab}&{ab(a + b)} \end{array}} \right|
= 1[{a^2}bc(a + c) - {a^2}bc(c + a)] - bc({a^2}b + a{b^2} - {c^2}a - c{a^2}) + ({b^2}c + b{c^2})(ab - ca) = 0

02. {\left( {2x + \frac{1}{{6x}}} \right)^{10}} এর বিস্ততিতে x বর্জিত পদটি-
(A)  \frac{{27}}{{28}}                                                (B) \frac{{580}}{{243}}
(C)  0                                                                             (D) \frac{{28}}{{27}}
Ans: (D) \frac{{28}}{{27}}
Solve:       {\left( {2x + \frac{1}{{6x}}} \right)^{10}}
এক্ষেত্রে, r = \frac{{np - m}}{{p - q}} = \frac{{1 \times 10 - 0}}{{1 - ( - 1)}} = 5
তখন, {T_{5 + 1}}{ = ^{10}}{C_5}{2^5}\frac{1}{{{6^5}}} = \frac{{28}}{{27}}

03.  5 - 3x - {x^2}  এর সবোর্চ্চ মান-
(A) 3                          (B) 5                       (C) 47/4                     (D) 29/4
Ans:    (D) 29/4
Solve:
এক্ষেত্রে সবোর্চ্চ মান = c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} = 5 - \frac{{{{( - 3)}^2}}}{{4 \times ( - 1)}} = \frac{{29}}{4}

04. যদি A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \\ {\frac{3}{2}}&{\frac{{ - 1}}{2}} \end{array}} \right] হয়, তবে  {A^{ - 1}} সমান
(A) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \\ 2&4 \end{array}} \right)                                                         (B)  \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right)
(C) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4 \\ 1&2 \end{array}} \right)                                                     (D) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 3&4 \end{array}} \right)
Ans: (D) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 3&4 \end{array}} \right)
Solve:
এখানে, A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \\ {\frac{3}{2}}&{\frac{{ - 1}}{2}} \end{array}} \right]
\therefore \,\left| A \right| = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}
\therefore {A^{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1/2}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{2}}&{ - 1} \\ { - \frac{3}{2}}&{ - 2} \end{array}} \right]
= - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{2}}&{ - 1} \\ { - \frac{3}{2}}&{ - 2} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 3&4 \end{array}} \right]

05. একটি বৃত্ত (-1, -1) এবং (3, 2) বিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র x + 2y + 3 = 0  রেখার উপর অবস্থিত বৃত্তটির সমীকরণ
(A) {x^2} + {y^2} - 4x + 5y - 15 = 0
(B)  {x^2} + {y^2} - 8x + 7y - 3 = 0
(C) {x^2} + {y^2} + 8x - 7y + 3 = 0
(D) {x^2} + {y^2} + 4x - 5y + 15 = 0
Ans:  (B)  {x^2} + {y^2} - 8x + 7y - 3 = 0
Solve:
বৃত্তের সমীকরণ{x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0
(-1, -1)
বিন্দুতে 1 + 1 - 2g - 2f + c = 0..............(i)
(3, 2)  
বিন্দুতে 9 + 4 + 6g + 4f + c = 0............(ii)
(ii) - (i) \Rightarrow 11 + 8g + 6f = 0...........(iii)
বৃত্তের  কেন্দ্র ( - g, - f),x + 2y + 3 = 0 সমীকরণ দিয়ে যায় বলে
- g - 2f + 3 = 0.................(iv)
(iii) + 3 \times (iv) \Rightarrow 20 + 5g = 0
\Rightarrow g = - 4
\therefore f = \frac{7}{2}(iv)
নং বসিয়ে
\therefore c = - 3(ii) 
নং বসিয়ে
\therefore
বৃত্তের সমীকরণ {x^2} + {y^2} - 8x + 7y - 3 = 0
বিকল্প পদ্ধতি  Option x এবংএর জায়গায় (-1, -1) অথবা (3, 2) বিন্দু বসালে যার বামপক্ষ = ডানপক্ষ হবে সেটায় Ans.

06. 3x + ky - 1 = 0 রেখাটি {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 4 = 0 বৃত্তকে স্পর্শ  করে, k এর মান নির্ণয় কর
(A) 2, 1/2                    (B)  -2, 1/6                       (C) 2, -1/6                  (D) -2, -1/6
Ans:      (C) 2, -1/6
Solve:
চিত্র
এখানে{x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 4 = 0
বৃত্তের কেন্দ্র = (4, 1) এবং ব্যাসার্ধr = \sqrt {13}
শর্তমতেr = \left| {\frac{{(3 \times 4) + (k \times 1) - 1}}{{\sqrt {9 + {k^2}} }}} \right|
\Rightarrow \sqrt {13} = \left| {\frac{{11 + k}}{{\sqrt {9 + {k^2}} }}} \right|
\Rightarrow 117 + 13{k^2} = 121 + 22k + {k^2}
\Rightarrow 6{k^2} - 11k - 2 = 0
\therefore k = 2, - \frac{1}{6}

 

07.  `a` এর কোন মানের জন্য 2\hat i + \hat j - \hat k3\hat i - 2\hat j + 4\hat k এবং \hat i - 3\hat j + a\hat k ভেক্টরত্রয় সমতলীয়
(A) 5                           (B) 4                           (C)   3                      (D) 2
Ans: (A) 5
Solve:
ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হবে যদি\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 1} \\ 3&{ - 2}&4 \\ 1&{ - 3}&a \end{array}} \right| = 0
\Rightarrow 2(2a + 12) - (3a - 4) - ( - 9 + 2) = 0
\Rightarrow - 4a + 24 - 3a + 4 + 9 - 2 = 0
\Rightarrow - 7a = - 35
\therefore a = 5

 

08. এককের  একটি জটিল ঘনমূল  \omega হলে  (1 + \omega - {\omega ^2})(\omega + {\omega ^2} - 1)({\omega ^2} + 1 - \omega ) এর মান কত?
(A) -8                    (B)   8                     (C) 0                     (D) 1
Ans: (A) -8
Solve:
(1 + \omega - {\omega ^2})(\omega + {\omega ^2} - 1)({\omega ^2} + 1 - \omega )
= ( - {\omega ^2} - {\omega ^2})( - 1 - 1)( - \omega - \omega )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[\therefore 1 + \omega + {\omega ^2} = 0]
= ( - 2{\omega ^2})( - 2)( - 2\omega ) = - 8{\omega ^3} = - 8

 

09.  {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{7} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{8} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{{18}} = ?
(A) {\cot ^{ - 1}}\frac{1}{3}                               (B) {\cos ^{ - 1}}3
(C) {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{3}                              (D) {\sin ^{ - 1}}3
Ans: (C) {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{3}
Solve:
{\tan ^{ - 1}}\frac{1}{7} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{8} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{{18}}
= {\tan ^{ - 1}}\frac{{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}}{{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}}} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{{18}}
= {\tan ^{ - 1}}\frac{3}{{11}} + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{{18}}
= {\tan ^{ - 1}}\frac{{\frac{3}{{11}} + \frac{1}{{18}}}}{{1 - \frac{3}{{11}} \times \frac{1}{{18}}}} = {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{3}

 

10.  {\sin ^2}2\theta - 3{\cos ^2}\theta = 0 সমীকরণের সাধারণ সমাধান
(A) 2n\pi \pm \pi /3                         (B) n\pi \pm \pi /3
(C) n\pi \pm \pi /6                            (D) 2n\pi \pm \pi /6
Ans:          (B) n\pi \pm \pi /3
Solve:
{\sin ^2}2\theta - 3{\cos ^2}\theta = 0
\Rightarrow 4{\sin ^2}\theta {\cos ^2}\theta - 3{\cos ^2}\theta = 0
\Rightarrow {\cos ^2}\theta (4{\sin ^2}\theta - 3) = 0
\therefore {\cos ^2}\theta = 0
\Rightarrow \cos \theta = 0
\therefore \theta = (2n + 1)\frac{\pi }{2}
অথবা4{\sin ^2}\theta - 3 = 0
\Rightarrow {\sin ^2}\theta = \frac{3}{4}
\Rightarrow \sin \theta = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin ( \pm \frac{\pi }{3})
\Rightarrow \theta = n\pi + {( - 1)^n} + ( \pm \frac{\pi }{3})
\therefore \theta = n\pi \pm \frac{\pi }{3}

 

11. যদি A + B + C = \pi হয়, তবে {\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} সমান
(A) 1 - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}
(B) 1 + 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}
(C) 1 - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}
(D) 1 + \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}
Ans: (A) 1 - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}
Solve:
{\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2}
= \frac{1}{2}(2{\sin ^2}\frac{A}{2} + 2{\sin ^2}\frac{B}{2}) + {\sin ^2}\frac{C}{2}
= \frac{1}{2}(1 - \cos A + 1 - \cos B) + {\sin ^2}\frac{C}{2}
= 1 - \frac{1}{2}(\cos A + \cos B) + {\sin ^2}\frac{C}{2}
= 1 - \frac{1}{2} \times 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2}
= 1 - \cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2}
= 1 - \sin \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} [ যেহেতু \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}]
= 1 - \sin \frac{C}{2}[\cos \frac{{A - B}}{2} - \sin \frac{C}{2}]
= 1 - \sin \frac{C}{2}[\cos \frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}][\because \cos \frac{{A + B}}{2} - = \cos (\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}) = \sin \frac{C}{2}]
= 1 - \sin \frac{C}{2} \times 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = 1 - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}

বিকল্প পদ্ধতি :
A = {30^ \circ };B = {60^ \circ } ধরি,
A + B + C = {180^ \circ }
\therefore C = {90^ \circ }
\therefore {\sin ^2}\frac{{{{30}^ \circ }}}{2} + {\sin ^2}\frac{{{{60}^ \circ }}}{2} + {\sin ^2}\frac{{{{90}^ \circ }}}{2} = 0.817
Option A   1 - 2\sin \frac{{{{30}^ \circ }}}{2}\sin \frac{{{{60}^ \circ }}}{2}\sin \frac{{{{60}^ \circ }}}{2}\sin \frac{{{{90}^ \circ }}}{2} = .817

 

12. ENGINEERING শব্দের সকল E গুলো  একসঙ্গে রেখে সকল অক্ষরগুলোর বিন্যাসের সংখ্যা
(A) 1680                       (B) 15120                       (C) 177200                   (D) 1512
Ans:    (B) 15120
Solve:
তিনটি E কে একটি ধরলে বিন্যাস হয় = \frac{{3!}}{{3!}} = 1
আবার, E তিনটিকে  একত্রে রাখলে মোট অক্ষর হবে 9টি
সুতরাং তাদের বিন্যাস = \frac{{9!}}{{3!2!2!}} \therefore মোট  বিন্যাস = \frac{{9!}}{{3!2!2!}} \times \frac{{3!}}{{3!}} = 15120

 

13. 3({9^x} - {4.3^{x - 1}}) + 1 = 0 সমীকরণের সমাধান
(A)  x = - 1\,or\,x = 0                              (B) x = \frac{1}{3}\,or\,x = 1
(C) x = 1\,or\,x = 0                                 (D) x = \, - 1\,or\,x = 1
Ans: (A)  x = - 1\,or\,x = 0
Solve:
3({3^{2x}} - 4.\frac{{{3^x}}}{3}) + 1 = 0
\Rightarrow 3{\left( {{3^x}} \right)^2} - {4.3^x} + 1 = 0
\Rightarrow 3{a^2} - 4a + 1 = 0 [ ধরি{3^x} = a]
\Rightarrow (a - 1)(3a - 1) = 0
\Rightarrow a = 1 \Rightarrow {3^x} = {3^ \circ } \Rightarrow x = 0
a = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^x} = {3^{ - 1}} \Rightarrow x = - 1
\therefore নির্ণেয় উত্তর  -1  বা x=0

 

14. \left| {5 - 2x} \right| \leqslant 4 অসমতাটির সমাধান
(A) - 1 \leqslant x \leqslant 9                               (B) \frac{1}{9} \leqslant x \leqslant \frac{9}{2}
(C) x \leqslant - \frac{1}{2}\,or\,x \geqslant \,\frac{9}{2}         (D) - \frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}
Ans:  (B) \frac{1}{9} \leqslant x \leqslant \frac{9}{2}
Solve:
\left| {5 - 2x} \right| \leqslant 4
\Rightarrow - 4 \leqslant 5 - 2x \leqslant 4
\Rightarrow 4 \geqslant 2x - 5 \geqslant - 4
\Rightarrow - \geqslant 2x \geqslant 1
\Rightarrow \frac{9}{2} \geqslant x \geqslant \frac{1}{2}
\therefore \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{9}{2}

 

15. যে বিন্দু (1, 4 ) এবং ( 9, -12 ) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে অন্তঃস্থভাবে 3:5 অনুপাতে বিভক্ত করে তার স্থানাংক
(A)  ( 4, -2)                     (B) (-2, 4)                         (C) (-4, 2)                    (D) (4, 2)
Ans: (A)  ( 4, -2)
Solve:
চিত্র
\therefore x = \frac{{(3 \times 9) + (5 \times 1)}}{{3 + 5}} = 4
y = \frac{{3 \times ( - 12) + (5 \times 4)}}{{3 + 5}} = - 2
\therefore নির্ণেয় বিন্দুটি (4, -2 )

 

16. 5x - 7y = 15 রেখার উপর লম্ব এবং ( 2, -3 ) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণটি
(A) 7x - 5y + 1 = 0                                    (B) 7x + 5y = 15
(C)  5x + 7y + 15 = 0                              (D) 7x + 5y + 1 = 0
Ans:    (D) 7x + 5y + 1 = 0
Solve:
এখানে,  5x - 7y - 15 = 0 রেখার সাথে লম্ব রেখার সমীকরণটি হবে 7x + 5y + k = 0 যা (2, -3) বিন্দুগামী
\therefore 7 \times 2 + 5( - 3) + k = 0 \Rightarrow k = 1
\therefore  লম্ব রেখাটি হবে 7x + 5y + 1 = 0

 

17. x = a(\theta - \sin \theta ),y = a(1 - \cos \theta ) হলে\frac{{dy}}{{dx}} = ?
(A) \cot \frac{\theta }{2}                                (B) \tan \frac{\theta }{2}
(C) \cos \frac{\theta }{2}                                (D) \sin \frac{\theta }{2}
Ans: (A) \cot \frac{\theta }{2}
Solve:
এখানেx = a(\theta - \sin \theta )
\Rightarrow \frac{{dx}}{{d\theta }} = a(1 - \cos \theta )................(i)
আবারy = a(1 - \cos \theta )
\Rightarrow \frac{{dy}}{{d\theta }} = a(0 + \sin \theta )
\Rightarrow \frac{{dy}}{{d\theta }} = a\sin \theta .................(ii)
(ii) \div (i)
\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{a\sin \theta }}{{a(1 - \cos \theta )}} = \frac{{\sin }}{{2{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}}} = \frac{{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}}}
\therefore \frac{{dy}}{{dx}} = \cot \frac{\theta }{2}

 

18.  {y^2} = 4x এবং y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
(A) \frac{8}{3}                       (B) 3                     (C) 8                        (D) \frac{3}{8}
Ans: (A) \frac{8}{3}
Solve:
চিত্র
এখানে{y^2} = 4x
\Rightarrow {x^2} = 4x[y = x]
\Rightarrow x(x - 4) = 0
\Rightarrow x = 4,0
\therefore নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = \int_0^4 {(2\sqrt x - x} )dx
= \left[ {\frac{{2{x^{3/2}}}}{{3/2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^4 = \frac{8}{3} বর্গ একক

 

19. 1 থেকে 520 পর্যন্ত সংখ্যাগুলি থেকে দৈবচয়ন পদ্ধতিতে   একটি সংখ্যা চয়ন করা হলে, সংখ্যাটি অযুগ্ন ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা
(A) \frac{1}{{65}}                         (B)  \frac{2}{{65}}              (C) \frac{1}{{130}}                   (D) \frac{1}{{64}}
Ans: (C) \frac{1}{{130}}
Solve:
এক্ষেত্রে 520 কে ঘনমূল করে পাই\sqrt[3]{{520}} = 8.04 অর্থাৎ 520 পর্যন্ত পূর্ণ ঘনসংখ্যা আছে 8 টি যার মধ্যে 4 টি অযুগ্ন
\therefore নির্ণেয় Probability =……. = \frac{4}{{520}} = \frac{1}{{130}}

 

20. x \geqslant 0,y \geqslant 0,x + y = 5,x \geqslant 2,y \leqslant 4 শর্তসমূহ সাপেক্ষে z = 6x + 2y রাশিটির সবোর্চ্চ মান
(A)  22                   (B) 20                      (C) 18                        (D) 30
Ans:    (D) 30
Solve:
চিত্র
প্রদত্ত শর্তসমূহঃ x \geqslant 0
y \geqslant 0
x + y = 5
x \geqslant 2
y \leqslant 4
অভীষ্ট ফাংশনz = 6x + 2y
এখন,  z(5,0) = 30 + 0 = 30
z(2,3) = 12 + 6 = 18
\therefore {Z_{\max }} = 30

 

21. ভুমি হতে u আদিবেগে খাড়া উর্ধমুখে নিক্ষিপ্ত কণার সবোর্চ্চ উচ্চতা-
(A)  \frac{u}{{2g}}                    (B) \frac{{{u^2}}}{g}     (C) \frac{{{u^2}}}{{2g}}                 (D) \frac{{2u}}{g}
Ans:  (C) \frac{{{u^2}}}{{2g}}
Solve:
আমরা জানি, H = \frac{{{u^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}
\alpha = {90^ \circ } হলে, H = \frac{{{u^2}}}{{2g}}

22. f(x) = \frac{{5x + 3}}{{4x - 5}} হলে, {f^{ - 1}}(x) = ?
(A) \frac{{5x + 3}}{{4x - 5}}                                   (B) \frac{{4x - 5}}{{5x - 5}}
(C) \frac{{5x - 3}}{{4x - 5}}                                  (D) \frac{{5x - 3}}{{4x + 5}}
Ans: (A) \frac{{5x + 3}}{{4x - 5}}
Solve:
এখানে, f(x) = \frac{{5x + 3}}{{4x - 5}} = y\,\,\therefore {f^{ - 1}}(y) = x
\Rightarrow 5x + 3 = 4xy - 5y
\Rightarrow 4xy - 5x = 5y + 3
\Rightarrow x = \frac{{5y + 3}}{{4y - 5}} \Rightarrow {f^{ - 1}}(y) = \frac{{5y + 3}}{{4y - 5}}
\therefore {f^{ - 1}}(x) = \frac{{5x + 3}}{{4x - 5}}

23.  y = {\tan ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} হলে,  \frac{{dy}}{{dx}} সমান-
(A) \frac{2}{{1 - {x^2}}}                                        (B) \frac{2}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
(C)  \frac{2}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}                      (D) \frac{2}{{1 + {x^2}}}
Ans:    (D) \frac{2}{{1 + {x^2}}}
Solve:
y = {\tan ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}
y = 2{\tan ^{ - 1}}x \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = 2\frac{{dy}}{{dx}}({\tan ^{ - 1}}x)
\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{1 + {x^2}}}

24. \int_1^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{x{{(1 + \ln x)}^2}}}} এর মান কত?
(A) \frac{1}{2}                        (B) \frac{1}{3}                  (C)  \frac{3}{2}                         (D) \frac{2}{3}
Ans:     (D) \frac{2}{3}
Solve:
মনে করিI = \int_1^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{x{{(1 + \ln x)}^2}}}}
ধরি,  z = 1 + \ln x \Rightarrow dz = \frac{1}{x}dx
তাহলে, ছক
\therefore I = \int_1^3 {\frac{1}{{{z^2}}}dz} = \left[ { - \frac{1}{z}} \right]_1^3 = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}

 

25. \int {\frac{{{x^e}}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} সমান-
(A) \frac{x}{{x + 1}} + c                                       (B) \frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}} + c
(C) \frac{{{e^x}}}{{x + 1}} + c                          (D) \frac{{{e^x}}}{{(x + 1)}} + c
Ans: (C) \frac{{{e^x}}}{{x + 1}} + c
Solve:
এখানে,
\int {\frac{{{x^e}}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} = \int {{e^x}\left[ {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]dx = \frac{{ex}}{{x + 1}} + c}
সূত্র:  \int {{e^{mx}}\left[ {mf(x) + f'(x)} \right]dx = {e^{mx}}f(x) + c}

26. একটি গাড়ী সমত্বরণে 30 km/hour অাদিবেগে 100 km পথ অতিক্রম করে 50 km/ hour চূড়ান্ত বেগ প্রাপ্ত হয় । গাড়ীটির ত্বরণ-
(A) 8 km/{h^2}                                          (B) 800 km/{h^2}
(C) 16 km/{h^2}                                       (D) 80 km/{h^2}
Ans: (A) 8 km/{h^2}
Solve:
আমরা জানি, {v^2} = {u^2} + 2as
\Rightarrow a = \frac{{{v^2} - {u^2}}}{{2s}} - \frac{{{{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \times 100}} = 8\,km/{h^2}

27. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2\ln (1 + x)}}{{x\sin x}}  এর সমান-
(A) 0                          (B) -1                  (C) 1                      (D) \infty
Ans:  (C) 1
Solve:
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2\ln (1 + x)}}{{x\sin x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\frac{0}{0}Form} \right]
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} + {e^{ - x}} - \frac{2}{{1 + x}}}}{{x\cos x + \sin x}}         [ By using L. Hospital Rule ]
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} + \frac{2}{{(1 + {x^2})}}}}{{ - x\sin x + \cos x + \cos x}}
= \frac{{1 - 1 + 2}}{{ - 0 + 1 + 1}} = 1

28. 20 m/sec বেগে উর্ধ্বগামী কোন বেলুন থেকে পতিত এক টুকরা পাথর 20 সেকেন্ড পরে মাটিতে পড়ল । পাথরের টুকরা পতিত হওয়ার সময় বেলুনের উচ্চতা কত ছিল?
(A) 390 m                 (B) 560 m            (C) 1250 m                 (D) 1560 m
Ans:  (D) 1560 m
Solve:
আমরা জানি,  h = - ut + \frac{1}{2}{g^2}
\Rightarrow h = ( - 20 \times 20) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times {(20)^2}
\therefore h = 1560

পুরাতন সিলেবাস

01. 70 জন শিক্ষার্থী গণিত, পদার্থবিদ্যা ও রসায়ন অধ্যয়ন করে । তার মধ্যে 40 জন পদার্থবিদ্যা, 30 জন রসায়ন এবং 35 জন গণিতে অধ্যয়ন করে । 15 জন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ই অধ্যয়ন করে । কতজন শিক্ষার্থী কেবল দুইটি বিষয়ে অধ্যয়ন করে ?
(A) 5                  (B) 6                 (C) 8                   (D) 9
Ans: (A) 5
Solve:
n(s) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)
\Rightarrow 70 = (40 - 15) + (30 - 15) + (35 - 15) - n(B \cap C) - n(C \cap A) - n(A \cap B) + 15
\therefore n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A) = 5
\therefore দুইটি বিষয় অধ্যয়ন করে 5 জন ।

02. দ্বিমিক সংখ্যা 10011010111 -এর দশমিকে প্রকাশ-
(A) 1237                    (B) 1239                  (C) 1241                   (D) 1247
Ans:      (B) 1239
Solve:
{(10011010111)_2} = {(1239)_{10}}