Class eight math solution

অনুশীলনী-৪.২ এর সমাধান

১। সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় কর:

(ক)3x + y              (খ){x^2} + y           (গ)5p + 2q
(ঘ){a^2}b + {c^2}d    (ঙ)6p - 7              (চ)ax - by
(ছ)2{p^2} - 3{r^2}    (জ){x^3} + 2           (ঝ)2m + 3n - 5p
(ঞ){x^2} - {y^2} + {z^2}                       (ট){a^2}{b^2} - {c^2}{d^2}
(ঠ){a^2}b - {b^3}c    (ড){x^3} - 2{y^3}    (ঢ)11a - 12b
(ণ){x^3} + {y^3}

সমাধান (ক) :
3x + y রাশিটির ঘন = {\left( {3x + y} \right)^3}
= {(3x)^3} + 3 \times {(3x)^2} \times y + 3 \times 3x \times {y^2} + {y^3}
= 27{x^3} + 3 \times 9{x^2} \times y + 9x{y^2} + {y^3}
= 27{x^3} + 27{x^2}y + 9x{y^2} + {y^3}   (Ans.)

সমাধান (খ) :
{x^2} + y রাশিটির ঘন = {\left( {{x^2} + y} \right)^3}
= {({x^2})^3} + 3 \times {({x^2})^3} \times y + 3 \times {x^2} \times {y^2} + {y^3}
= {x^6} + 3{x^6}y + 3{x^2}{y^2} + {y^3}   (Ans.)

সমাধান (গ):
5p + 2q রাশিটির ঘন = {\left( {5p + 2q} \right)^3}
= {(5p)^3} + 3 \times {(5p)^2} \times 2q + 3 \times 5p \times {(2q)^2} + {(2q)^3}
= 125{p^3} + 3 \times 25{p^2} \times 2q + 15p \times 4{q^2} + 8{q^3}
= 125{p^3} + 150{p^2}q + 60p{q^2} + 8{q^3}   (Ans.)

সমাধান (ঘ):
{a^2}b + {c^2}d রাশিটির ঘন = {\left( {{a^2}b + {c^2}d} \right)^3}
= {({a^2}b)^3} + 3.{({a^2}b)^2}.{c^2}d + 3.({a^2}b).{({c^2}d)^2} + {({c^2}d)^3}
= {a^6}{b^3} + 3{a^4}{b^2}{c^2}d + 3{a^2}b{c^4}{d^2} + {c^6}{d^3}  (Ans.)

সমাধান (ঙ):
6p - 7 রাশিটির ঘন = {\left( {6p - 7} \right)^3}
= {(6p)^3} - 3.{(6p)^2}.7 + 3.(6p).{\left( 7 \right)^2} - {\left( 7 \right)^3}   [\because {(a - b)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}]
= 216{p^3} - 3.36{p^2}.7 + 18p.49 - 343
= 216{p^3} - 756{p^2} + 882p - 343    (Ans.)

সমাধান (চ):
ax - by রাশিটির ঘন = {\left( {ax - by} \right)^3}
= {(ax)^3} - 3.{(ax)^2}.by + 3.ax.{(by)^2} - {(by)^3}
= {a^3}{x^3} - 3{a^2}{x^2}by + 3ax{b^2}{y^2} - {b^3}{y^3}  (Ans.)

সমাধান (ছ) :
2{p^2} - 3{r^2} রাশিটির ঘন = {\left( {2{p^2} - 3{r^2}} \right)^3}
= {(2{p^2})^3} - 3.{(2{p^2})^2}.3{r^2} + 3.2{p^2}.{(3{r^2})^2} - {(3{r^2})^3}
= 8{p^6} - 3.4{p^4}.3{r^2} + 6{p^2}.9{r^4} - 27{r^6}
= 8{p^6} - 36{p^4}{r^2} + 54{p^2}{r^4} - 27{r^6}  (Ans.)

সমাধান (জ) :
{x^3} + 2 রাশিটির ঘন = {\left( {{x^3} + 2} \right)^3}
= {({x^3})^3} + 3.{({x^3})^2}.2 + 3.{x^3}.{(2)^2} + {(2)^3}
= {x^9} + 6{x^6} + 12{x^3} + 8   (Ans.)

সমাধান (ঝ) :
2m + 3n - 5p রাশিটির ঘন = {(2m + 3n - 5p)^3}
= {\{ (2m + 3n) - 5p\} ^3}
= {(2m + 3n)^3} - 3.{(2m + 3n)^2}.5p + 3.(2m + 3n).{(5p)^2} - {(5p)^3}
= {(2m)^3} + 3.{(2m)^2}.3n + 3.2m.{(3n)^2} + {(3n)^3} - 15p\{ {(2m)^2} + 2.2m.3n + {(3n)^2}\}  + 75{p^2}(2m + 3n) - 125{p^3}
= 8{m^3} + 36{m^2}n + 54m{n^2} + 27{n^3} - 15p(4{m^2} + 12mn + 9{n^2}) + 150m{p^2} + 225{p^2}n - 150{p^3}
= 8{m^3} + 36{m^2}n + 54m{n^2} + 27{n^3} - 60{m^2}p - 180pmn - 135p{n^2} + 150m{p^2} + 225{p^2}n - 150{p^3}   (Ans.)

সমাধান (ঞ):
{x^2} - {y^2} + {z^2} রাশিটির ঘন = {\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)^3}
= {\{ ({x^2} - {y^2}) + {z^2}\} ^3}
= {({x^2} - {y^2})^3} + 3.{({x^2} - {y^2})^2}.{z^2} + 3.({x^2} - {y^2}).{({z^2})^2} + {({z^2})^3}
= {({x^2})^3} - 3.{({x^2})^2}.{y^2} + 3.{x^2}.{({y^2})^2} - {({y^2})^3} + 3{z^2}\{ {({x^2})^2} - 2.{x^2}.{y^2} + {({y^2})^2}\}  + 3{z^4}({x^2} - {y^2}) + {z^6}
= {x^6} - 3{x^4}{y^2} + 3{x^2}{y^4} - {y^6} + 3{z^2}({x^4} - 2{x^2}{y^2} + {y^4}) + 3{z^4}{x^2} - 3{z^4}{y^2} + {z^6}
= {x^6} - 3{x^4}{y^2} + 3{x^2}{y^4} - {y^6} + 3{z^2}{x^4} - 6{x^2}{y^2}{z^2} + 3{y^4}{z^2} + 3{x^2}{z^4} - 3{y^2}{z^4} + {z^6}   (Ans.)

সমাধান (ট) :
{a^2}{b^2} - {c^2}{d^2} রাশিটির ঘন = {\left( {{a^2}{b^2} - {c^2}{d^2}} \right)^3}
= {({a^2}{b^2})^3} - 3.{({a^2}{b^2})^2}.{c^2}{d^2} + 3.{a^2}{b^2}.{({c^2}{d^2})^2} - {({c^2}{d^2})^3}
= {a^6}{b^6} - 3{a^4}{b^4}{c^2}{d^2} + 3{a^2}{b^2}{c^4}{d^4} - {c^6}{d^6}   (Ans.)

সমাধান (ঠ) :
{a^2}b - {b^3}c রাশিটির ঘন = {\left( {{a^2}b - {b^3}c} \right)^3}
= {({a^2}b)^3} - 3.{({a^2}b)^2}.{b^3}c + 3.{a^2}b.{({b^3}c)^2} - {({b^3}c)^3}
= {a^6}{b^3} - 3.{a^4}{b^2}.{b^3}c + 3.{a^2}b.{b^6}{c^2} - {b^9}{c^3}
= {a^6}{b^3} - 3{a^4}{b^5}c + 3{a^2}{b^7}{c^2} - {b^9}{c^3}   (Ans.)

সমাধান (ড) :
{x^3} - 2{y^3} রাশিটির ঘন = {\left( {{x^3} - 2{y^3}} \right)^3}
= {({x^3})^3} - 3.{({x^3})^2}.(2{y^3}) + 3.({x^3}).{(2{y^3})^2} - {(2{y^3})^3}
= {x^9} - 6{x^6}{y^3} + 12{x^3}{y^6} - 8{y^9}    (Ans.)

সমাধান (ঢ) :
11a - 12b রাশিটির ঘন = {\left( {11a - 12b} \right)^3}
= {(11a)^3} - 3.{(11a)^2}.(12b) + 3.(11a).{(12b)^2} - {(12b)^3}
= 1331{a^3} - 3.121{a^2}.12b + 3.11a.144{b^2} - 1728{b^3}
= 1331{a^3} - 4356{a^2}b + 4752a{b^2} - 1728{b^3}   (Ans.)

সমাধান (ণ) :
{x^3} + {y^3} রাশিটির ঘন = {\left( {{x^3} + {y^3}} \right)^3}
= {({x^3})^3} + 3.{({x^3})^2}.({y^3}) + 3.({x^3}).{({y^3})^2} + {({y^3})^3}
= {x^9} + 3{x^6}{y^3} + 3{x^3}{y^6} + {y^9}   (Ans.)

২। সরল কর:
(ক){(3x + y)^3} + 3{(3x + y)^2}(3x - y) + 3(3x + y){(3x - y)^2} + {(3x - y)^3}
(খ){(2p + 5q)^3} + 3{(2p + 5q)^2}(5q - 2p) + 3(2p + 5q){(5q - 2p)^2} + {(5q - 2p)^3}
(গ){(x + 2y)^3} - 3{(x + 2y)^2}(x - 2y) + 3(x + 2y){(x - 2y)^2} - {(x - 2y)^3}
(ঘ){(6m + 2)^3} - 3{(6m + 2)^2}(6m - 4) + 3(6m + 2){(6m - 4)^2} - {(6m - 4)^3}
(ঙ){(x - y)^3} + {(x + y)^3} + 6x({x^2} - {y^2})

সমাধান (ক)
মনেকরি, 3x + y = a  এবং 3x - y = b
\therefore প্রদত্ত রাশি = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}
= {(a + b)^3}
= {(3x + y + 3x - y)^3}
= {(6x)^3}
= 216{x^3}   (Ans.)

সমাধান (খ) :
মনেকরি, 2p + 5q = a  এবং 5q - 2p = b
\therefore প্রদত্ত রাশি = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}
= {(a + b)^3}
= {(2p + 5q + 5q - 2p)^3}
= {(10q)^3}
= 1000{q^3}    (Ans.)

সমাধান (গ) :
মনেকরি, x + 2y = a  এবং  x - 2y = b
\therefore প্রদত্ত রাশি = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}
= {(a - b)^3}
= {\{ (x + 2y) - (x - 2y)\} ^3}
= {(x + 2y - x + 2y)^3}
= {(4y)^3}
= 64{y^3} (Ans.)

সমাধান (ঘ) :
মনেকরি, 6m + 2 = a  এবং 6m - 4 = b
\therefore প্রদত্ত রাশি = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}
= {(a - b)^3}
= {\{ (6m + 2) - (6m - 4)\} ^3}
= {(6m + 2 - 6m + 4)^3}
= {(6)^3}
= 216    (Ans.)

সমাধান (ঙ) :
প্রদত্ত রাশি = {(x - y)^3} + {(x + y)^3} + 6x({x^2} - {y^2})
= {(x - y)^3} + {(x + y)^3} + 3.2x(x + y)(x - y)
মনেকরি,
x - y = a এবং x + y = b
\therefore a + b = x - y + x + y = 2x
\therefore প্রদত্ত রাশি = {a^3} + {b^3} + 3.(a + b)ab
= {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b)
= {(a + b)^3}
= {(2x)^3}   [\because a + b = 2x]
= 8{x^3}

৩। a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, {a^3} + {b^3} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8 এবং ab = 15
প্রদত্ত রাশি= {a^3} + {b^3}
= {(a + b)^3} - 3ab(a + b)
= {(8)^3} - 3 \times 15 \times 8
= 512 - 360
= 152   (Ans.)

৪। x + y = 2 হলে, দেখাও যে, {x^3} + {y^3} + 6xy = 8
সমাধান:
দেওয়া আছে, x + y = 2
বামপক্ষ ={x^3} + {y^3} + 6xy
= {(x + y)^3} - 3xy(x + y) + 6xy
= {(2)^3} - 3xy.2 + 6xy      [\because x + y = 2]
= 8 - 6xy + 6xy
= 8
ডানপক্ষ
\therefore {x^3} + {y^3} + 6xy = 8  (দেখানো হলো)

৫। 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8{x^3} + 27{y^3} এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 2x + 3y = 13 এবং xy = 6
প্রদত্ত রাশি = 8{x^3} + 27{y^3}
= {(2x)^3} + {(3y)^3}
= {(2x + 3y)^3} - 3 \times 2x \times 3x(2x + 3y)
= {(2x + 3y)^3} - 18xy(2x + 3y)
= {(13)^3} - 18 \times 6 \times 13
= 2197 - 1404
= 793    (Ans.)

৬। p - q = 5, pq = 3 হলে, {p^3} - {q^3} এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে, p - q = 5, pq = 3
প্রদত্ত রাশি = {p^3} - {q^3}
= {(p - q)^3} + 3pq(p - q)
= {(5)^3} + 3 \times 3 \times 5
= 125 + 45
= 160    (Ans.)

৭। x - 2y = 3 হলে, {x^3} - 8{y^3} - 18xy এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2y = 3
প্রদত্ত রাশি= {x^3} - 8{y^3} - 18xy
= {x^3} - {(2y)^3} - 18xy
= {(x - 2y)^3} + 3 \times x \times 2y(x - 2y) - 18xy
= {(3)^3} + 6xy(x - 2y) - 18xy
= 27 + 6xy.3 - 18xy
= 27    (Ans.)

৮। 4x - 3 = 5 হলে, প্রমান কর যে, 64{x^3} - 27 - 180x = 125
সমাধান:
দেওয়া আছে, 4x - 3 = 5
বামপক্ষ= 64{x^3} - 27 - 180x = 125
= {(4x)^3} - {3^3} - 180x
= {(4x - 3)^3} + 3 \times 4x \times 3(4x - 3) - 180x
= {(5)^3} + 36x \times 5 - 180x
= 125 + 180x - 180x
= 125
ডানপক্ষ
\therefore 64{x^3} - 27 - 180x = 125  (প্রমাণিত)

৯। a =  - 3 এবং b = 2 হলে, 8{a^3} + 36{a^2}b + 54a{b^2} + 27{b^3} এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে, a =  - 3 এবং b = 2
প্রদত্ত রাশি = 8{a^3} + 36{a^2}b + 54a{b^2} + 27{b^3}
= {(2a)^3} + 3 \times {(2a)^2} \times 3b + 3 \times 2a \times {(3b)^2} + {(3b)^3}
= {(2a + 3b)^3}
= {\{ 2 \times ( - 3) + 3 \times 2\} ^3}
= {( - 6 + 6)^3}
= {0^3}
= 0   (Ans.)

১০। a = 7 হলে, {a^3} + 6{a^2} + 12a + 1 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 7
প্রদত্ত রাশি = {a^3} + 6{a^2} + 12a + 1
= {a^3} + 3 \times {a^2} \times 2 + 3 \times a \times 4 + 8 - 7
= {(a)^3} + 3 \times {(a)^2} \times 2 + 3 \times a \times {(2)^2} + {(2)^3} - 7
= {(a + 2)^3} - 7
= {(7 + 2)^3} - 7
= {9^3} - 7
= 729 - 7
= 722   (Ans.)

১১। x = 5 হলে, {x^3} - 12{x^2} + 48x - 64 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 5
প্রদত্ত রাশি= {x^3} - 12{x^2} + 48x - 64
= {x^3} - 3 \times {x^2} \times 4 + 3 \times x \times 16 - 64
= {x^3} - 3 \times {(x)^2} \times 4 + 3 \times x \times {4^2} - {4^3}
= {(x - 4)^3}
= {(5 - 4)^3}
= {1^3}
= 1

১২। {a^2} + {b^2} = {c^2} হলে, প্রমান কর যে, {a^6} + {b^6} +   3{a^2}{b^2}{c^2} = {c^6}

সমাধান:
দেওয়া আছে, {a^2} + {b^2} = {c^2}
বামপক্ষ = {a^6} + {b^6} + 3{a^2}{b^2}{c^2}
= {({a^2})^3} + {({b^2})^3} + 3{a^2}{b^2}{c^2}
= {({a^2} + {b^2})^3} - 3{a^2}{b^2}({a^2} + {b^2}) + 3{a^2}{b^2}{c^2}
= {({c^2})^3} - 3{a^2}{b^2} \times {c^2} + 3{a^2}{b^2}{c^2}
= {c^6} - 3{a^2}{b^2}{c^2} + 3{a^2}{b^2}{c^2}
= {c^6}
=ডানপক্ষ
\therefore {a^6} + {b^6} + 3{a^2}{b^2}{c^2} = {c^6}   (দেখানো হলো)

১৩। x + \frac{1}{x} = 4 হলে, প্রমাণ কর যে, {x^3} +   \frac{1}{{{x^3}}} = 52

সমাধান:
দেওয়া আছে,  x + \frac{1}{x} = 4
বামপক্ষ = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}
= {(x)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3 \times x \times \frac{1}{x}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)   [\because {a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b)]
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)
= {(4)^3} - 3 \times 4
= 64 - 12
= 52
=ডানপক্ষ
\therefore {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = 52   (প্রমাণিত)

১৪। a - \frac{1}{a} = 5 হলে, {a^3} - \frac{1}{{{a^3}}} এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, a - \frac{1}{a} = 5
প্রদত্ত রাশি= {a^3} - \frac{1}{{{a^3}}}
= {(a)^3} - {\left( {\frac{1}{a}} \right)^3}
= {\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^3} + 3 \times a \times \frac{1}{a}\left( {a - \frac{1}{a}} \right)    [\because a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)]
= {\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^3} + 3\left( {a - \frac{1}{a}} \right)
= {(5)^3} + 3 \times 5
= 125 + 15
= 140    (Ans.)

১৫। সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় কর:
(ক) ({a^2} + {b^2})({a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4})
(খ) (ax - by)({a^2}{x^2} + abxy + {b^2}{y^2})
(গ) (2a{b^2} - 1)(4{a^2}{b^4} + 2a{b^2} + 1)
(ঘ) ({x^2} + a)({x^4} - a{x^2} + {a^2})
(ঙ) (7a + 4b)(49{a^2} - 28ab + 16{b^2})
(চ) (2a - 1)(4{a^2} + 2a + 1)(8{a^3} + 1)
(ছ) (x + a)({x^2} - ax + {a^2})(x - a)({x^2} + ax + {a^2})
(জ) (5a + 3b)(25{a^2} - 15ab + 9{b^2})(125{a^3} - 27{b^3})

সমাধান (ক):
প্রদত্ত রাশি = ({a^2} + {b^2})({a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4})
= ({a^2} + {b^2})\{ {({a^2})^2} - {a^2}{b^2} + {({b^2})^2}\}
= {({a^2})^3} + {({b^2})^3}    [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= {a^6} + {b^6}    (Ans.)

সমাধান (খ):
প্রদত্ত রাশি= (ax - by)({a^2}{x^2} + abxy + {b^2}{y^2})
= (ax - by)\{ {(ax)^2} + ax \times by + {(by)^2}\}
= {(ax)^3} - {(by)^3}    [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})]
= {a^3}{x^3} - {b^3}{y^3}    (Ans.)

সমাধান (গ):
প্রদত্ত রাশি= (2a{b^2} - 1)(4{a^2}{b^4} + 2a{b^2} + 1)
= (2a{b^2} - 1)\{ {(2a{b^2})^2} + 2a{b^2} \times 1 + {(1)^2}\}
= {(2a{b^2})^3} - {(1)^3}   [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})]
= 8{a^3}{b^6} - 1  (Ans.)

সমাধান (ঘ)
প্রদত্ত রাশি= ({x^2} + a)({x^4} - a{x^2} + {a^2})
= ({x^2} + a)\{ {({x^2})^2} - {x^2} \times a + {(a)^2}\}
= {({x^2})^3} + {a^3}   [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= {x^6} + {a^3}  (Ans.)

সমাধান (ঙ):
প্রদত্ত রাশি= (7a + 4b)(49{a^2} - 28ab + 16{b^2})
= (7a + 4b)\{ {(7a)^2} - 7a \times 4b + {(4b)^2}\}
= {(7a)^3} + {(4b)^3}    [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= 343{a^3} + 64{b^3}     (Ans.)

সমাধান (চ) :
প্রদত্ত রাশি= (2a - 1)(4{a^2} + 2a + 1)(8{a^3} + 1)
= [(2a - 1)\{ {(2a)^2} + 2a \times 1 + {(1)^2}\} ](8{a^3} + 1)
= \{ {(2a)^3} - {(1)^3}\} \{ {(2a)^3} + 1\} [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})]
= (8{a^3} - 1)(8{a^3} + 1)
= {(8{a^3})^2} - {(1)^2}
= 64{a^6} - 1   (Ans.)

সমাধান (ছ)
প্রদত্ত রাশি= (x + a)({x^2} - ax + {a^2})(x - a)({x^2} + ax + {a^2})
= (x + a)\{ {(x)^2} - x \times a + {(a)^2}\} (x - a)\{ {(x)^2} + x \times a + {(a)^2}\}
= ({x^3} + {a^3})({x^3} - {a^3})
= {({x^3})^2} - {({a^3})^2}
= {x^6} - {a^6}    (Ans.)

সমাধান (জ)
প্রদত্ত রাশি= (5a + 3b)(25{a^2} - 15ab + 9{b^2})(125{a^3} - 27{b^3})
= (5a + 3b)\{ {(5a)^2} - 5a \times 3b + {(3b)^2}\} (125{a^3} - 27{b^3})
= \{ {(5a)^3} + {(3b)^3}\} (125{a^3} - 27{b^3})
= (125{a^3} + 27{b^3})(125{a^3} - 27{b^3})
= {(125{a^3})^2} - {(27{b^3})^2}
= 1562{a^6} - 729{b^6}      (Ans.)

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here