Class eight math solution

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

অনুশীলনী-৪.৪ এর সমাধান
১। - 5 - y এর বর্গ নিচের কোনটি?
(ক){y^2} + 10y + 25               (খ){y^2} - 10y + 25
(গ)25 - 10y + {y^2}                (ঘ){y^2} - 10y - 25
উত্তর: (ক){y^2} + 10y + 25
ব্যাখ্যা:
- 5 - y এর বর্গ= {\left( { - 5 - y} \right)^2}
= {\{  - (5 + y)\} ^2}
= {(5 + y)^2}
= {5^2} + 2 \times 5 \times y + {y^2}
= 25 + 10y + {y^2}
= {y^2} + 10y + 25

২।(x - 2)(4x + 3) এর গুণফল নিচের কোনটি?
(ক)4{x^2} - 5x + 6              (খ)4{x^2} - 11x - 6
(গ)4{x^2} + 5x - 6              (ঘ)4{x^2} - 5x - 6
উত্তর: (ঘ)4{x^2} - 5x - 6
ব্যাখ্যা:
(x - 2)(4x + 3)
= x(4x + 3) - 2(4x + 3)
= x \times 4x + x \times 3 - 2 \times 4x - 2 \times 3
= 4{x^2} + 3x - 8x - 6
= 4{x^2} - 5x - 6

৩। {x^2} - 2x - 3{x^2} + 2x - 3 এর গ.সা.গু কত?
(ক)  x + 1  (খ)x - 1    (গ)  1  (ঘ)0
উত্তর: (গ)  1 
ব্যাখ্যা:
১ম রাশি={x^2} - 2x - 3
= {x^2} - 3x + x - 3
= x(x - 3) + 1(x - 3)
= (x - 3)(x + 1)
২য় রাশি={x^2} + 2x - 3
= {x^2} + 3x - x - 3
= x(x + 3) - 1(x + 3)
= (x + 3)(x - 1)
যেহেতু রাশিগুলোর মধ্যে 1 ব্যতিত অন্যকোনো সাধারণ উৎপাদক বা গুণনীয়ক নেই। অর্থাৎ এদের গ.সা.গু 1

৪। (3x - 5)(5 + 3x) কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)3{x^2} - 25   (খ)9{x^2} - 5    (গ){(3x)^2} - 52  (ঘ)9{x^2} - 25
উত্তর: (গ){(3x)^2} - 52
ব্যাখ্যা:
(3x - 5)(5 + 3x)
= (3x + 5)(3x - 5)
= {(3x)^2} - {5^2}

নিচের তথ্যের আলোকে (৫-৭) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
{x^2} - \sqrt 3 x + 1 = 0

৫। x + \frac{1}{x} এর মান নিচের কোনটি?
(ক)- \sqrt 3 x   (খ)\sqrt 3 x   (গ)- \sqrt 3  (ঘ)\sqrt 3
উত্তর: (ঘ)\sqrt 3
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে,
{x^2} - \sqrt 3 x + 1 = 0
বা, \frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{\sqrt 3 x}}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0}{x}
বা, x - \sqrt 3  + \frac{1}{x} = 0
বা, x + \frac{1}{x} = \sqrt 3
\therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt 3

৬। {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} এর মান নিচের কোনটি?
(ক) 1    (খ) 5      (গ) 7      (ঘ) 11
উত্তর: (ক) 1   

ব্যাখ্যা:
৫ নং প্রশ্ন থেকে পাই, x + \frac{1}{x} = \sqrt 3
\therefore {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}
= {(x)^2} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 \times x \times \frac{1}{x}
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2
= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2
= 3 - 2
= 1

৭। {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} এর মান নিচের কোনটি?
(ক)12    (খ)6\sqrt 3    (গ)3\sqrt 3  + 3    (ঘ) 0
উত্তর:(ঘ) 0

ব্যাখ্যা:
{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}
= {x^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3 \times x \times \frac{1}{x}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)
= {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} - 3\sqrt 3
= \sqrt 3  \times \sqrt 3  \times \sqrt 3  - 3\sqrt 3
= 3\sqrt 3  - 3\sqrt 3
= 0

৮। {x^2} - x - 30 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিতরূপ নিচের কোনটি?
(ক)(x - 5)(x + 6)             (খ)(x + 5)(x - 6)
(গ)(x - 5)(x - 6)              (ঘ)(x + 5)(x + 6)
উত্তর: (খ)(x + 5)(x - 6)

ব্যাখ্যা: {x^2} - x - 30
= {x^2} - 6x + 5x - 30
= x(x - 6) + 5(x - 6)
= (x - 6)(x + 5)
\therefore প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষিতরূপ (x - 6)(x + 5)

৯। {x^2} - 10x + 21{x^2} + 6x - 7 দুইটি বীজগাণিতিক রাশি
i. রাশি দুইটির গ.সা.গু x - 7
ii. রাশি দুইটির ল.সা.গু (x + 1)(x - 3)(x - 7)
iii. রাশি দুইটির গুণফল {x^4} - 60{x^2} - 147
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii (ঘ) i,ii ও iii
উত্তর : সঠিক উত্তর নাই
ব্যাখ্যা:
১ম রাশি={x^2} - 10x + 21
= {x^2} - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

২য় রাশি={x^2} + 6x - 7
= {x^2} + 7x - x - 7
= x(x + 7) - 1(x + 7)
= (x + 7)(x - 1)
প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের মধ্যে 1 ব্যতীত কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। সুতরাং রাশি দুইটির গ.সা.গু x - 7 হতে পারে না।
\therefore (i) সঠিক নয়।
রাশি দুইটির ল.সা.গু (x - 3)(x - 7)(x + 7)(x - 1)
(ii) সঠিক নয়।
প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের গুণফল = \left( {{x^2} - 10x + 21} \right)\left( {{x^2} + 6x - 7} \right)
= {x^2}\left( {{x^2} + 6x - 7} \right) - 10x\left( {{x^2} + 6x - 7} \right) + 21\left( {{x^2} + 6x - 7} \right)
= {x^4} + 6{x^3} - 7{x^2} - 10{x^3} - 60x + 70x + 21{x^2} + 126x - 147
= {x^4} - 4{x^3} - 46{x^2} + 196x - 147

১০। বীজগণিতের সূত্রাবলিতে-
i. {x^3} - {y^3} = (x - y)({x^2} + xy + {y^2})
ii. ab = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}
iii. {x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} + 3xy(x + y)
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii (ঘ) i,ii ও iii উত্তর: (ক) i ও ii
ব্যাখ্যা:
{a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b)

১১। x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে (১){x^2} + {y^2} এর মান কত?
(ক) 15     (খ) 16       (গ) 17      (ঘ) 18
উত্তর: (গ) 17
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি,
{x^2} + {y^2} = \frac{{{{(x + y)}^2} + {{(x - y)}^2}}}{2}
= \frac{{{{(5)}^2} + {{(3)}^2}}}{2}
= \frac{{25 + 9}}{2}
= \frac{{34}}{2}
= 17

(২) xy এর মান কত?
(ক) 10    (খ) 8    (গ) 6     (ঘ) 4
উত্তর: (ঘ) 4
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি,
xy = {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{x - y}}{2}} \right)^2}
= {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}
= \frac{{25}}{4} - \frac{9}{4}
= \frac{{25 - 9}}{4}
= \frac{{16}}{4}
= 4

(৩) {x^2} - {y^2} এর মান কত?
(ক) 13     (খ) 14      (গ) 15      (ঘ) 16
উত্তর: (গ) 15
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি,
{x^2} - {y^2} = (x + y)(x - y)
= 5 \times 3
= 15 ১২। x + \frac{1}{x} = 2 হলে,
(১){\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} এর মান কত?
(ক) 0     (খ) 1     (গ) 2       (ঘ) 4
উত্তর: (ক) 0    
ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, x + \frac{1}{x} = 2
{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 4 \times x \times \frac{1}{x}  [\because {(a - b)^2} = {(a + b)^2} - 4ab]
= {(2)^2} - 4
= 4 - 4
= 0

(২) {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} এর মান কত?
(ক) 1   (খ) 2   (গ) 3    (ঘ) 4
উত্তর: (খ) 2
ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, x + \frac{1}{x} = 2
{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}
= {x^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3 \times x \times \frac{1}{x}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)    [\because {a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b)]
= {(2)^3} - 3 \times 2
= 8 - 6
= 2

(৩) {x^4} + \frac{1}{{{x^4}}} এর মান কত?
(ক) 8   (খ) 6     (গ) 4     (ঘ) 2
উত্তর: (ঘ) 2
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে,
x + \frac{1}{x} = 2
বা, {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {2^2}
বা, {x^2} + 2 \times x \times \frac{1}{x} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 4
বা, {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2 = 4
বা, {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 - 2
বা, {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2
বা, {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = {2^2}
বা, {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2 \times {x^2} \times \frac{1}{{{x^2}}} + {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = 4
বা, {x^4} + \frac{1}{{{x^4}}} + 2 = 4
বা, {x^4} + \frac{1}{{{x^4}}} = 4 - 2
বা, {x^4} + \frac{1}{{{x^4}}} = 2

গ.সা.গু নির্ণয় কর (১৩-২০)
১৩। 36{a^2}{b^2}{c^4}{d^5}, 54{a^5}{c^2}{d^4}  এবং 90{a^4}{b^3}{c^2}
সমাধান:
এখানে, 36, 54 ও 90 এর গ.সা.গু = 18
এবং {a^2},{a^5},{a^4}  এর গ.সা.গু ={a^2}
{b^2},1,{b^3} এর গ.সা.গু =1
{c^4},{c^2},{c^2} এর গ.সা.গু ={c^2}
{d^5},{d^4},1এর গ.সা.গু =1

\therefore নির্ণেয় গ.সা.গু = 18{a^2}{c^2}   (Ans.)

২৯। {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 3 হলে,
(ক) {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} এর মান নির্ণয় কর।
(খ) \frac{{{x^6} + 1}}{{{x^3}}} এর মান কত?
(গ) {x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} এর ঘন নির্ণয় করে মান বের কর।  

সমাধান (ক) :
দেওয়া আছে, {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 3
{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2}
= {x^2} + 2 \times x \times \frac{1}{x} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}
= {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}
= {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2
= 3 + 2
= 5
সমাধান (খ)
প্রদত্ত রাশি= \frac{{{x^6} + 1}}{{{x^3}}}
= \frac{{{x^6}}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^3}}}
= \frac{{{x^3}.{x^3}}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^3}}}
= {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}
= {x^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}
= {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3 \times x \times \frac{1}{x}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)
= {\left( {\sqrt 5 } \right)^3} - 3\sqrt 5
= \sqrt 5  \times \sqrt 5  \times \sqrt 5  - 3\sqrt 5
= {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \times \sqrt 5  - 3\sqrt 5
= 5\sqrt 5  - 3\sqrt 5
= 2\sqrt 5
[\because {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = 5    \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt 5 ]

সমাধান (গ) :
দেওয়া আছে, {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 3
বা, {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = {3^2}  [উভয় পাশ্বে বর্গ করে]
বা, {\left( {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4 \times {x^2} \times \frac{1}{{{x^2}}} = 9   [\because {(a + b)^2} = {(a - b)^2} + 4ab]
বা, {\left( {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4 = 9
বা, {\left( {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = 9 - 4
বা, {\left( {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = 5
\therefore {x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} = \sqrt 5
এখন, {x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} এর ঘন={\left( {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3}
= {\left( {\sqrt 5 } \right)^3}
= \sqrt 5  \times \sqrt 5  \times \sqrt 5
= {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \times \sqrt 5
= 5\sqrt 5

৩০। 3x - 5y + 3z  এবং  3x + 5y - z দুইটি বীজগাণিতিক রাশি।
(ক) ১ম রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর।
(খ) রাশি দুইটির গুণফলকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।
(গ) ২য় রাশিটির মান শূণ্য হলে প্রমান কর যে, 27{x^3} + 125{y^3} + 45xyz =   {z^3}

সমাধান (ক):
প্রথম রাশি =\left( {3x - 5y + 3z} \right)
প্রথম রাশির বর্গ = {\{ (3x - 5y) + 3z\} ^2}
= {(3x - 5y)^2} + 2 \times (3x - 5y) \times 3z + {(3z)^2}
= {(3x)^2} - 2 \times 3x \times 5y + {(5y)^2} + 6z(3x - 5y) + 9{z^2}
= 9{x^2} - 30xy + 25{y^2} + 18xz - 30yz + 9{z^2}

সমাধান (খ):
আমরা জানি, ab = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}
\therefore রাশি দুইটির গুণফল =\left( {3x - 5y + 3z} \right)\left( {3x + 5y - z} \right)
= {\left( {\frac{{3x - 5y + 3z + 3x + 5y - z}}{2}} \right)^2} - {\left\{ {\frac{{3x - 5y + 3z - (3x + 5y - z)}}{2}} \right\}^2}
= {\left( {\frac{{6x + 2z}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{3x - 5y + 3z - 3x - 5y + z}}{2}} \right)^2}
= {\left\{ {\frac{{2(3x + z)}}{2}} \right\}^2} - {\left( {\frac{{ - 10y + 4z}}{2}} \right)^2}
= {(3x + z)^2} - {\left\{ {\frac{{ - 2(5y - 2z)}}{2}} \right\}^2}
= {(3x + z)^2} - {(5y - 2z)^2}

অর্থাৎ রাশিদ্বয়ের গুণফল দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা হলো।

সমাধান (গ) :
দেওয়া আছে,
3x + 5y - z = 0
বা, 3x + 5y = z
বা, {(3x + 5y)^3} = {z^3}     [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, = {(3x)^3} + {(5y)^3} + 3 \times 3x \times 5y(3x + 5y) = {z^3}
বা, = 27{x^3} + 125{y^3} + 45xy(3x + 5y) = {z^3}
বা, = 27{x^3} + 125{y^3} + 45xyz = {z^3}   [যেহেতু 3x + 5y = z] (প্রমাণিত)

৩১। P = 3{x^2} - 16x - 12, Q = 3{x^2} + 5x + 2, R = 3{x^2} -   x - 2 তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।
(ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলতে কী বুঝায়?
(খ) Q = 0 হলে 9{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} এর মান নির্ণয় কর।
(গ) P,Q,R এর ল.সা.গু নির্ণয় করো।

সমাধান (ক):
যখন কোনো জীবগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষন করা বলে এবং ঐ রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয়।
যেমন: {x^2} + 2x = x(x + 2)   [এখানে,x(x + 2) উৎপাদক]

সমাধান (খ):
দেওয়া আছে,
Q = 0
বা, 3{x^2} + 5x + 2 = 0
বা, \frac{{3{x^2}}}{x} + \frac{{5x}}{x} + \frac{2}{x} = \frac{0}{x}   [প্রতিটি পদকে x দ্বারা ভাগ করে]
বা, 3x + 5 + \frac{2}{x} = 0
বা, 3x + \frac{2}{x} =  - 5
বা, {\left( {3x + \frac{2}{x}} \right)^2} = {( - 5)^2}
বা, {(3x)^2} + 2 \times 3x \times \frac{2}{x} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} = 25
বা, 9{x^2} + 12 + \frac{4}{{{x^2}}} = 25
বা, 9{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = 25 - 12
\therefore 9{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = 13  (Ans.)

সমাধান (গ):
দেওয়া আছে,
P = 3{x^2} - 16x - 12
= 3{x^2} - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x - 6)
= (x - 6)(3x + 2)

Q = 3{x^2} + 5x + 2
= 3{x^2} + 3x + 2x + 2
= 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(3x + 2) R = 3{x^2} - x - 2
= 3{x^2} - 3x + 2x - 2
= 3x(x - 1) + 2(x - 1)
= (x - 1)(3x + 2)
\therefore নির্ণেয় ল.সা.গু
=(x - 6)(3x + 2)(x + 1)(x - 1)
= (x - 6)(3x + 2)({x^2} - 12)
= (x - 6)(3x + 2)({x^2} - 1)    (Ans.)

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here