Class eight math solution

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

অনুশীলনী-৪.৩ এর সমাধান

উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

১। {a^3} + 8
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {a^3} + 8
= {(a)^3} + {(2)^3}
= (a + 2)\{ {(a)^2} - a \times 2 + {(2)^2}\}   [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= (a + 2)({a^2} - 2a + 4)   (Ans.)

২। 8{x^3} + 343
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = 8{x^3} + 343
= {(2x)^3} + {(7)^3}
= (2x + 7)\{ {(2x)^2} - 2x \times 7 + {(7)^2}\}   [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= (2x + 7)(4{x^2} - 14x + 49)    (Ans.)

৩। 8{a^4} + 27a{b^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = 8{a^4} + 27a{b^3}
= a(8{a^3} + 27{b^3})
= a\{ {(2a)^3} + {(3b)^3}\}
= a(2a + 3b)\{ {(2a)^2} - 2a \times 3b + {(3b)^2}\}
= a(2a + 3b)(4{a^2} - 6ab + 9{b^2})     (Ans.)

৪। 8{x^3} + 1
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 8{x^3} + 1
= {(2x)^3} + {(1)^3}
= (2x + 1)\{ {(2x)^2} - 2x \times 1 + {(1)^2}\}  [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= (2x + 1)(4{x^2} - 2x + 1)   (Ans.)

৫। 64{a^3} - 125{b^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 64{a^3} - 125{b^3}
= {(4a)^3} - {(5b)^3}
= (4a - 5b)\{ {(4a)^2} + 4a \times 5b + {(5b)^2}\}  [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2}]
= (4a - 5b)(16{a^2} + 20ab + 25{b^2})

৬। 729{a^3} - 64{b^3}{c^6}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {(9a)^3} - {(4b{c^2})^3}
= (9a - 4b{c^2})\{ {(9a)^2} + 9a \times 4b{c^2} + {(4b{c^2})^2}\}  [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2}]
= (9a - 4b{c^2})(81{a^2} + 36ab{c^2} + 16{b^2}{c^4})    

৭।27{a^3}{b^3} + 64{b^3}{c^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 27{a^3}{b^3} + 64{b^3}{c^3}
= {b^3}(27{a^3} + 64{c^3})
= {b^3}\{ {(3a)^3} + {(4c)^3}\}
= {b^3}(3a + 4c)\{ {(3a)^2} - 3a \times 4c + {(4c)^2}\} [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= {b^3}(3a + 4c)(9{a^2} - 12ac + 16{c^2})     (Ans.)

৮।56{x^3} - 189{y^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 56{x^3} - 189{y^3}
= 7(8{x^3} - 27{y^3})
= 7\{ {(2x)^3} - {(3y)^3}\}
= 7(2x - 3y)\{ {(2x)^2} + 2x \times 3y + {(3y)^2}\} [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= 7(2x - 3y)(4{x^2} + 6xy + 9{y^2})

৯। 3x - 75{x^3}
সমাধান
প্রদত্ত রাশি= 3x - 75{x^3}
= 3x(1 - 25{x^2})
= 3x\{ {(1)^2} - {(5x)^2}\}
= 3x(1 + 5x)(1 - 5x)   (Ans.)

১০। 4{x^2} - {y^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 4{x^2} - {y^2}
= {(2x)^2} - {y^2}
= (2x + y)(2x - y)    [\because {a^2} - {b^2} = (a + b)(a - b)]

১১। 3a{y^2} - 48a
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 3a{y^2} - 48a
= 3a({y^2} - 16)
= 3a\{ {(y)^2} - {(4)^2}\}   [\because {a^2} - {b^2} = (a + b)(a - b)]
= 3a(y + 4)(y - 4)

১২। {a^2} - 2ab + {b^2} - {p^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {a^2} - 2ab + {b^2} - {p^2}
= ({a^2} - 2ab + {b^2}) - {p^2}
= {(a - b)^2} - {(p)^2}   [\because {(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}]
= (a - b + p)(a - b - p)

১৩। 16{y^2} - {a^2} - 6{a^2} - 9
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = 16{y^2} - {a^2} - 6{a^2} - 9
= 16{y^2} - ({a^2} + 6{a^2} + 9)
= 16{y^2} - \{ {(a)^2} + 2 \times a \times 3 + {(3)^2}\}  [\because {(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}]
= {(4y)^2} - {(a + 3)^2}
= \{ 4y + (a + 3)\} \{ 4y - (a + 3)\}
= (4y + a + 3)(4y - a - 3)    (Ans.)

১৪।8a + a{p^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 8a + a{p^3}
= a(8 + {p^3})
= a\{ {(2)^3} + {(p)^3}\}
= a(2 + p)\{ {(2)^2} - 2 \times p + {(p)^2}\}
= a(2 + p)(4 - 2p + {p^2})  (Ans.)

১৫।2{a^3} + 16{b^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 2{a^3} + 16{b^3}
= 2({a^3} + 8{b^3})
= 2\{ {(a)^3} + {(2b)^3}\}
= 2(a + 2b)\{ {(a)^2} - a \times 2b + {(2b)^2}\}
= 2(a + 2b)({a^2} - 2ab + 4{b^2})    (Ans.)

১৬।{x^2} + {y^2} - 2xy - 1
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^2} + {y^2} - 2xy - 1
= ({x^2} - 2xy + {y^2}) - 1
= {(x - y)^2} - {(1)^2}   [\because {(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}]
= (x - y + 1)(x - y - 1)     (Ans.)

১৭।{a^2} - 2ab + 2b - 1
সমাধান
প্রদত্ত রাশি= {a^2} - 2ab + 2b - 1
= {a^2} - {(1)^2} - 2ab + 2b
= (a + 1)(a - 1) - 2b(a - 1)   [\because {a^2} - {b^2} = (a + b)(a - b)]
= (a - 1)(a + 1 - 2b)   (Ans.)

১৮। {x^4} - 2{x^2} + 1
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^4} - 2{x^2} + 1
= {({x^2})^2} - 2 \times {x^2} \times 1 + {(1)^2}
= {({x^2} - 1)^2}    [\because {a^2} - 2ab + {b^2} = {(a - b)^2}]
= {\{ {(x)^2} - {(1)^2}\} ^2}
= {\{ (x + 1)(x - 1)\} ^2}   [\because {a^2} - {b^2} = (a + b)(a - b)]
= {(x + 1)^2}{(x - 1)^2}   (Ans.)

১৯।36 - 12x + {x^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 36 - 12x + {x^2}
= {x^2} - 12x + 36
= {x^2} - 2 \times x \times 6 + {(6)^2}
= {(x - 6)^2}   [\because {a^2} - 2ab + {b^2} = {(a - b)^2}]

২০। {x^6} - {y^6}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^6} - {y^6}
= {({x^3})^2} - {({y^3})^2}
= ({x^3} + {y^3})({x^3} - {y^3})   [\because {a^2} - {b^2} = (a + b)(a - b)]
= (x + y)({x^2} - xy + {y^2})(x - y)({x^2} + xy + {y^2})
[\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2}),{a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})]
= (x + y)(x - y)({x^2} - xy + {y^2})({x^2} + xy + {y^2})    (Ans.)

২১।{(x - y)^3} + {z^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {(x - y)^3} + {z^3}
= {(x - y)^3} + {(z)^3}
= (x - y + z)\{ {(x - y)^2} - (x - y)z + {(z)^2}\}   [\because {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})]
= (x - y + z)({x^2} - 2xy + {y^2} - xz + yz + {z^2})    (Ans.)

২২। 64{x^3} - 8{y^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 64{x^3} - 8{y^3}
= 8(8{x^3} - {y^3})
= 8\{ {(2x)^3} - {(y)^3}\}
= 8(2x - y)\{ {(2x)^2} + 2x \times y + {(y)^2}\}   [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})]
= 8(2x - y)(4{x^2} + 2xy + {y^2})   (Ans.)

২৩।{x^2} + 14x + 40
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {\kern 1pt} {x^2} + 14x + 40
= {x^2} + 10x + 4x + 40    [যেহেতু 10 \times 4 = 40 এবং 10 + 4 = 14]
= x(x + 10) + 4(x + 10)
= (x + 10)(x + 4)    (Ans.)

২৪।{x^2} + 7x - 120
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^2} + 7x - 120
= {x^2} + 15x - 8x - 120   [যেহেতু 15 \times ( - 8) = 120 এবং 15 - 8 = 7]
= x(x + 15) - 8(x + 15)
= (x + 15)(x - 8)

২৫। {x^2} - 51x + 650
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^2} - 51x + 650
= {x^2} - 26x - 25x + 650  [যেহেতু ( - 26) \times ( - 25) = 650 এবং - 26 - 25 =  - 51]
= x(x - 26) - 25(x - 26)
= (x - 26)(x - 25)   (Ans.)

২৬। {a^2} + 7ab + 12{b^2}
সমাধান
প্রদত্ত রাশি= {a^2} + 7ab + 12{b^2}
= {a^2} + 4ab + 3ab + 12{b^2}  [যেহেতু 4 \times 3 = 12 এবং 4 + 3 = 7]
= a(a + 4b) + 3b(a + 4b)
= (a + 4b)(a + 3b)   (Ans.)

২৭।{p^2} + 2pq - 80{q^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {p^2} + 2pq - 80{q^2}
= {p^2} + 10pq - 8pq - 80{q^2}    [যেহেতু 10 \times ( - 8) =  - 80 এবং 10 - 8 = 2]
= p(p + 10q) - 8q(p + 10q)
= (p + 10q)(p - 8q) (Ans)

২৮। {x^2} - 3xy - 40{y^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^2} - 3xy - 40{y^2}
= {x^2} - 8xy + 5xy - 40{y^2}  [যেহেতু  ( - 8) \times 5 =  - 40 এবং - 8 + 5 =  - 3]
= x(x - 8y) + 5y(x - 8y)
= (x - 8y)(x + 5y)

২৯।{({x^2} - x)^2} + 3({x^2} - x) - 40
সমাধান:
মনেকরি, {x^2} - x = a
\therefore প্রদত্ত রাশি= {a^2} + 3a - 40
= {a^2} + 8a - 5a - 40   [যেহেতু 8 \times ( - 5) =  - 40 এবং 8 - 5 = 3]
= a(a + 8) - 5(a + 8)
= (a + 8)(a - 5)
= ({x^2} - x + 8)({x^2} - x - 5)  [a এর মান বসিয়ে]

৩০।{({a^2} + {b^2})^2} - 18({a^2} + {b^2}) - 88
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {({a^2} + {b^2})^2} - 18({a^2} + {b^2}) - 88
= {x^2} - 18x - 88   [{a^2} + {b^2} = x ধরে]
= {x^2} - 22x + 4x - 88  [যেহেতু ( - 22) \times 4 =  - 88 এবং - 22 + 4 = 18]
= x(x - 22) + 4(x - 22)
= (x - 22)(x + 4)
= ({a^2} + {b^2} - 22)({a^2} + {b^2} + 4)   [x এর মান বসিয়ে]

৩১।{({a^2} + 7a)^2} - 8({a^2} + 7a) - 180
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {({a^2} + 7a)^2} - 8({a^2} + 7a) - 180
= {x^2} - 8x - 180   [{a^2} + 7a = x ধরে]
= {x^2} - 18x + 10x - 180
= x(x - 18) + 10(x - 18)
= (x - 18)(x + 10)
= ({a^2} + 7a - 18)({a^2} + 7a + 10)   [x এর মান বসিয়ে]
= ({a^2} + 9a - 2a - 18)({a^2} + 5a + 2a + 10)
= \{ a(a + 9) - 2(a + 9)\} \{ a(a + 5) + 2(a + 5)\}
= (a + 9)(a - 2)(a + 5)(a + 2)

৩২। {x^2} + (3a + 4b)x + (2{a^2} + 5ab + 3{b^2})
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = {x^2} + (3a + 4b)x + (2{a^2} + 5ab + 3{b^2})
= {x^2} + (3a + 4b)x + (2{a^2} + 3ab + 2ab + 3{b^2})
= {x^2} + (3a + 4b)x + \{ a(2a + 3b) + b(2a + 3b)\}
= {x^2} + (3a + 4b)x + (2a + 3b)(a + b)
মনেকরি,
2a + 3b = p …………(i)
এবং a + b = q ……………..(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
3a + 4b = p + q
\therefore প্রদত্ত রাশি={x^2} + (p + q)x + pq
= {x^2} + px + qx + pq
= x(x + p) + q(x + p)
= (x + p)(x + q)
= (x + 2a + 3b)(x + a + b)    (Ans.)

৩৩। 6{x^2} - x - 15
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 6{x^2} - x - 15
= 6{x^2} - 10x + 9x - 15
= 2x(3x - 5) + 3(3x - 5)
= (3x - 5)(2x + 3)

৩৪।{x^2} - x - (a + 1)(a + 2)
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {x^2} - x - (a + 1)(a + 2)
= {x^2} - x - (a + 1)(a + 1 + 1)
= {x^2} - x - p(p + 1)  [a + 1 = p ধরে]
= {x^2} - x - {p^2} - p
= {x^2} - {p^2} - x - p
= (x + p)(x - p) - 1(x + p)
= (x + p(x - p - 1)
= (x + a + 1)\{ x - (a + 1) - 1\}
= (x + a + 1)(x - a - 1 - 1)
= (x + a + 1)(x - a - 2)   (Ans.)

৩৫।3{x^2} + 11x - 4
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 3{x^2} + 11x - 4
= 3{x^2} + 12x - x - 4
= 3x(x + 4) - 1(x + 4)
= (x + 4)(3x - 1)   (Ans.)

৩৬। 3{x^2} - 16x - 12
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 3{x^2} - 16x - 12
= 3{x^2} - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x - 6)
= (x - 6)(3x + 2)   (Ans.)

৩৭।2{x^2} - 9x - 35
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 2{x^2} - 9x - 35
= 2{x^2} - 14x + 5x - 35
= 2x(x - 7) + 5(x - 7)
= (x - 7)(2x + 5)     (Ans.)

৩৮।2{x^2} - 5xy + 2{y^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 2{x^2} - 5xy + 2{y^2}
= 2{x^2} - 4xy - xy + 2{y^2}
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)

৩৯। {x^3} - 8{(x - y)^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = {x^3} - 8{(x - y)^3}
= {x^3} - {\{ 2(x - y)\} ^3}
= \{ x - 2(x - y)\} [{x^2} + x \times 2(x - y) + {\{ 2(x - y)\} ^2}] 
= (x - 2x - 2y)\{ {x^2} + 2x(x - y) + 4{(x - y)^2}\}
= ( - x - 2y)\{ {x^2} + 2{x^2} - 2xy + 4({x^2} - 2xy + {y^2})\}
= (2y - x)({x^2} + 2{x^2} - 2xy + 4{x^2} - 8xy + 4{y^2})
= (2y - x)(7{x^2} - 10xy + 4{y^2})    (Ans.)

৪০।10{p^2} + 11pq - 6{q^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= 10{p^2} + 11pq - 6{q^2}
= 10{p^2} + 15pq - 4pq - 6{q^2}
= 5p(2p + 3q) - 2q(2p + 3q)
= (2p + 3q)(5p - 2q)    (Ans.)

৪১। 2{(x + y)^2} - 3(x + y) - 2
সমাধান:
মনেকরি, x + y = a
\therefore প্রদত্ত রাশি = 2{a^2} - 3a - 2
= 2{a^2} - 4a + a - 2    [যেহেতু - 4 \times 1 =  - 4 এবং  - 4 + 1 =  - 3]
= 2a(a - 2) + 1(a - 2)
= (a - 2)(2a + 1)
= (x + y - 2)\{ 2(x + y) + 1\}
= (x + y - 2)(2x + 2y + 1)    (Ans.)

৪২। a{x^2} + ({a^2} + 1)x + a
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a{x^2} + ({a^2} + 1)x + a
= a{x^2} + {a^2}x + x + a
= ax(x + a) + 1(x + a)
= (x + a)(ax + 1)    (Ans.)

৪৩।15{x^2} - 11xy - 12{y^2}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = 15{x^2} - 11xy - 12{y^2}
= 15{x^2} - 20xy + 9xy - 12{y^2}  [যেহেতু( - 20) \times 9 =  - 180 এবং - 20 + 9 = 11]
= 5x(3x - 4y) + 3y(3x - 4y)
= (3x - 4y)(5x + 3y)    (Ans.)

৪৪। {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - 2{b^3}
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি= {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - 2{b^3}
= ({a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}) - {b^3}
= {(a - b)^3} - {(b)^3}   [\because {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} = {(a - b)^3}]
= (a - b - b)\{ {(a - b)^2} + (a - b)b + {b^2}\}  [\because {a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})]
= (a - 2b)({a^2} - 2ab + {b^2} + ab - {b^2} + {b^2})
= (a - 2b)({a^2} - ab + {b^2})

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here