BCS Preparation
BCS Preparation

বিভিন্ন ধরণের সংখ্যা

সংখ্যা পদ্ধতি: 

সংখ্যা পদ্ধতি হলো সংখ্যাকে উপস্থাপন করার জন্য নির্দিষ্ট লিখিত রুপ বা পদ্ধতি। সংখ্যা তৈরিতে দশটি প্রতীক ব্যবহৃত হয়। এই দশটি প্রতীককে অংক বলা হয়। এই দশটি অংক দ্বারা অসংখ্য সংখ্যা তৈরি করা যায়।  অংকগুলো হচ্ছে 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . এই দশটি অংক থেকে দুই বা ততোধিক অংক পাশাপাশি সাজালে সংখ্যা তৈরি হয়, যা নতুন একটি মান প্রকাশ করে।

যেমন: ৩, ৪, ৫ তিনটি পৃথক পৃথক অংক কিন্ত এই অংক পাশাপাশি সাজালে ৩৪৫ বা তিনশত পয়তাল্লিশ হয়, যা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা প্রকাশ করে।

আবার এই তিনটি অংককে বিপরীত ক্রমে পাশাপাশি সাজালে ৫৪৩ বা পাঁচশত তেতাল্লিশ হয়।

এই ভাবে দশটি অংক দ্বারা অসংখ্য সংখ্যা তৈরি করার পদ্ধতিকে সংখ্যা পদ্ধতি বলা হয়।

সংখ্যা প্রধানত দুই ধরণের:
১. বাস্তব সংখ্যা ২. অবাস্তব সংখ্যা

বাস্তব সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যা সংখ্যারেখার উপর অবস্থিত সে সকল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।  অথবা, যে সকল সংখ্যাকে সংখ্যারেখার মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় সে সকল সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা

যেমন: 2,3, 0, 2.5, -3.5, \sqrt{2}\sqrt {3}, 2.3333….. ইত্যাদি।

প্রশ্ন-১: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যা নয়?
(ক) \sqrt 5     (খ) \sqrt {11}     (গ) \sqrt { - 12}   (ঘ) 1.4142……..   উত্তর: (গ) \sqrt { - 12}

অবাস্তব সংখ্যা:
যেসব সংখ্যা সংখ্যারেখার উপর পাওয়া যায় না সেসব সংখ্যাগুলো অবাস্তব সংখ্যা।

ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল অবাস্তব সংখ্যা।

যেমন: \sqrt { - 2} , \sqrt { - 8} ইত্যাদি।

বাস্তব সংখ্যা ২ ধরণের: ১. মূলদ সংখ্যা  ২. অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন-২: নিচের কোন সংখ্যাটি অবাস্তব নয়? 

(ক) 30.5            (খ) 2i           (গ)  \sqrt { - 1}            (ঘ) \sqrt 9 + 3i      উত্তর: (ক) 30.5 

মূলদ সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যাকে অনুপাত আকারে বা ভগ্নাংশ আকারে বা {p \over q} আকারে প্রকাশ করা যায় সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p ও  q পূর্নসংখ্যা এবং q \ne 0

সকল ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা, শূণ্য, সসীম দশমিক ভগ্নাংশ, অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

যেমন: 0, 5, 6, -7,  5.6, 1.333…. ইত্যাদি।

0 মূলদ সংখ্যা কারণ,   0 = {0 \over 1} , যা {p \over q}  আকারের

5 মূলদ সংখ্যা কারণ,   5 = {5 \over 1}, যা {p \over q}  আকারের

6 মূলদ সংখ্যা কারণ,   6 = {12 \over 2}, যা {p \over q}  আকারের

-7 মূলদ সংখ্যা কারণ,   -7 = {-7 \over 1}, যা {p \over q}  আকারের

5.6 মূলদ সংখ্যা কারণ,   5.6 = {56 \over 10}, যা {p \over q}  আকারের

1.333…. মূলদ সংখ্যা কারণ,   1.333....  =1.\dot 3 ={{13 - 1} \over 9} = {{12} \over 9}, যা {p \over q}  আকারের

প্রশ্ন-৩: মূলদ সংখ্যা কোনটি?
(ক)   \sqrt {13}      (খ) {{\sqrt {16} } \over {\sqrt {25} }}                       (গ) \sqrt 2    (ঘ){{\sqrt 2 } \over {\sqrt {36} }}      উত্তর: (খ) {{\sqrt {16} } \over {\sqrt {25} }}

মূলদ সংখ্যা ২ ধরণের: ১. পূর্ণসংখ্যা   ২. দশমিক ভগ্নাংশ

পূর্ণসংখ্যা:
শূণ্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে।অর্থাৎ যে সকল সংখ্যায় কোনো দশমিক চিহ্ন থাকে না সেগুলো পূর্ণসংখ্যা।

যেমন: 0, 1, 3 -5, -10, -50 ইত্যাদি। কিন্ত 2.25, \frac{3}{4} পূর্ণসংখ্যা নয়।

পূর্ণসংখ্যা তিন ধরণের: ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, শূণ্য ও ঋণাত্মক পূর্ণ  সংখ্যা

পূর্ণসংখ্যার সেটকে \mathbb{Z} দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং \mathbb{Z}=\left\{ {........ - 3, - 2, - 1,0,1,2,3.......} \right\} পূর্ণসংখ্যার সেটে অসংখ্য সংখ্যা রয়েছে। সকল পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন-৪: নিচের কোন সংখ্যাটি পূর্ণসংখ্যা?

(ক) 10.6                   (খ) \sqrt {81}                    (গ) \sqrt {80}                    (ঘ)2.5                                                                                                                                          উত্তর:   (খ) \sqrt {81}

পূর্ণসংখ্যার অন্তর্ভূক্ত ঋনাত্মক সংখ্যা, অঋনাত্মক সংখ্যা, ধনাত্মক সংখ্যা,  স্বাভাবিক সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা, সহমৌলিক সংখ্যা

ঋনাত্মক সংখ্যা (Negative Number): শূণ্য থেকে ছোট সংখ্যাগুলোকে ঋনাত্মক সংখ্যা বলে। অথবা, সংখ্যারেখায় শূণ্যের বাম দিকের সংখ্যাগুলোকে ঋনাত্মক সংখ্যা বলা হয়।

যেমন: -1, -2, -3.5, -4.5, -50, -150 ইত্যাদি।

অঋনাত্মক সংখ্যা (Non-Negative Number): শূণ্য সহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাগুলোকে  অঋণাত্মক সংখ্যা বলে।  অথবা, সংখ্যারেখায় শূণ্য (0) এবং শূণ্য থেকে ডান দিকের সংখ্যাগুলো অঋণাত্মক সংখ্যা।

যেমন: 0, 1, 5, 2.5, 5, 100, 500, 1000.5  ইত্যাদি।

ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number): শূণ্য (0) থেকে বড় সংখ্যাগুলোকে ধনাত্মক সংখ্যা বলে। অথবা, সংখ্যারেখায় শূণ্য থেকে ডান দিকের সংখ্যাগুলোকে ধনাত্মক বলা হয়।

যেমন: 1, 2, 3, 10, 12.5, 20.2,  500, 1050 ইত্যাদি ।

প্রশ্ন-৫: নিচের কোনটি অঋনাত্মক সংখ্যা? 

(ক) 0               (খ)   -5              (গ) -5.6                  (ঘ)-122                        উত্তর: (ক) 0   

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number):

সংখ্যারেখায় শূণ্য (0) থেকে ডান দিকের সকল অখন্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।

অথবা, শূণ্য (0) থেকে বড় সকল ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যা অসীম সংখ্যক। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে  \mathbb{N} দ্বারা    প্রকাশ করা হয়। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট  \mathbb{N}={1, 2, 3, 4, 5, ….. …..}

প্রশ্ন-৬: নিচের কোনটি স্বাভাবিক সংখ্যা? 

(ক) 0                 (খ)  -5                (গ)  101             (ঘ) -56                                              উত্তর:  (গ)  101 

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): যে সকল সংখ্যা দুইয়ের অধিক সংখ্যা দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য নয় সে সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা।

অথবা, যে সকল সংখ্যাকে শুধুমাত্র 1 এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নি:শেষে ভাগ করা যায় না সে সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

অথবা, যে সকল সংখ্যার শুধুমাত্র 2টি উৎপাদক থাকে সে সকল সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা।

1 মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ 1 এর উৎপাদক একটি।

2 মৌলিক সংখ্যা, কারণ 2 এর উৎপাদক দুইটি 1 এবং 2

3 মৌলিক সংখ্যা, কারণ 3 এর উৎপাদক দুইটি 1 এবং 3

4 মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ 4 এর উৎপাদক তিনটি 1, 2 ও 4

বি.দ্র: নি:শেষে বিভাজ্য হওয়া বলতে বোঝায় ভাগফল শূণ্য হওয়া। আবার একটি সংখ্যাকে যে সব সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল শূণ্য হয় সে সংখ্যাগুলো প্রদত্ত সংখ্যাটির উৎপাদক।

প্রশ্ন-৭: মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

(ক)    63              (খ)  47               (গ)  57                (ঘ) 77                                      উত্তর: (খ)  47 

সহমৌলিক সংখ্যা (Co-Prime Number): দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

যেমন: 10 ও 13 সংখ্যা দুটি সহমৌলিক। কারণ, 10 ও 13 এর মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

কিন্ত 10 ও 14 সংখ্যা দুটি সহমৌলিক নয়। কারণ, 10  ও 14 এর মধ্যে 1 ছাড়াও আরেকটি সাধারণ উৎপাদক 2 আছে।

বি.দ্র: 10 এর উৎপাদক গুলো 1, 2,5,10 এবং 14 এর উৎপাদকগুলো 1,2,7,14

*দুইটি মৌলিক সংখ্যা সর্বদা সহমৌলিক সংখ্যা হবে।

*ক্রমিক দুইটি সংখ্যা সর্বদা সহমৌলিক সংখ্যা হবে।

* 1 এর সাথে যেকোনো সংখ্যা সহমৌলিক হবে।

প্রশ্ন-৮: নিচের কোন সংখ্যা জোড়া সহমৌলিক?

( ক)    12 ও 33       (খ)   11 ও 33           (গ)     13 ও 34            (ঘ) 21 ও 24    উত্তর:  (গ)    13 ও 34  

ভগ্নাংশ (Fraction): {a \over b} আকারের সংখ্যাগুলোকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে, যেখানে a ও b সহমৌলিক সংখ্যা এবং b \ne 0,1 

ভগ্নাংশ সাধারণত ২ ধরণের: ১. সাধারণ ভগ্নাংশ ২. দশমিক ভগ্নাংশ

সাধারণ ভগ্নাংশ ৩ ধরণের: ১. প্রকৃত ২. অপ্রকৃত ৩. মিশ্র

প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper fraction): যে সকল ভগ্নাংশের লব থেকে হর বড় সেগুলো প্রকৃত ভগ্নাংশ। যেমন: {3 \over 4},{{10} \over {25}},{7 \over {15}} ইত্যাদি।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper fraction): যে সকল ভগ্নাংশের লব থেকে হর ছোট সেগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। যেমন: {{12} \over 9},{5 \over 2},{{50} \over {30}} ইত্যাদি।

মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed fraction): যে সকল ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকে সেগুলো মিশ্র ভগ্নাংশ। মিশ্র ভগ্নাংশকেও অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা যায়। কারণ,  মিশ্র ভগ্নাংশ, 2{3 \over 7} = {{2 \times 7 + 3} \over 7} = {{17} \over 7} , যা একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

যেমন: 2{{12} \over {15}} একটি মিশ্র ভগ্নাংশ। এখানে 2 পূর্ণসংখ্যা এবং {{12} \over {15}} প্রকৃত ভগ্নাংশ।

প্রশ্ন-৯: নিচের কোন সংখ্যাটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ?

(ক)     {5 \over 9}          (খ)  100            (গ) -20              (ঘ) 2{5 \over 9}   উত্তর: ঘ) 2{5 \over 9}  

দশমিক ভগ্নাংশ ৩ ধরণের: ১. সসীম দশমিক ২. অসীম আবৃত্ত দশমিক ৩. অসীম অনাবৃত্ত দশমিক

সসীম দশমিক (Finite Decimal): দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর নির্দিষ্ট সংখ্যক অংক থাকলে তা সসীম দশমিক সংখ্যা। অথবা, যে সকল দশমিক সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পরের অংকগুলো গণনা করা যায় সেসব সংখ্যা সসীম দশমিক।  ‍যেমন: 2.5, 5.365, 8.3654 ইত্যাদি।

অসীম আবৃত্ত দশমিক (Non Terminating Recurring Decimal):
যে সকল দশমিক সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পরের অংকগুলো বা অংশবিশেষ বার বার আসে বা পুনরাবৃত্তি হয় সেসব সংখ্যাকে অসীম আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন: 2.333333….., 5.12765765…….., 1.66666……..ইত্যাদি। 

অসীম অনাবৃত্ত দশমিক (Non Terminating non Recurring Decimal):
 যে সকল দশমিক সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পরের অংকগুলো অনির্দিষ্ট সংখ্যক বা চলতেই থাকে  আবার একই অংক বারবার আসে না সেসব সংখ্যাকে অসীম অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন: 1.571428…………, 2.08695………… ইত্যাদি।

আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ থেকে সাধারণ ভগ্নাংশে রুপান্তর:

0.55….,   1.66…..,   25.333…….,   35.567567…..,   12.23464646….

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি: 

0.555.... = 0.\dot 5 = {{5 - 0} \over 9} = {5 \over 9}

1.666.... = 1.\dot 6 = {{16 - 1} \over 9} = {{15} \over 9}

25.333.... = 25.\dot 3 = {{253 - 25} \over 9} = {{228} \over 9}

35.567567..... = 35.\dot 56\dot 7 = {{35567 - 35} \over {999}} = {{35532} \over {999}}

12.23464646...... = 12.23\dot 4\dot 6 = {{122346 - 1223} \over {9900}} = {{121123} \over {9900}}

সারসংক্ষেপ:
◘ যে সকল সংখ্যা সংখ্যারেখার উপর অবস্থিত সে সকল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে
◘ যেসব সংখ্যা সংখ্যারেখার উপর পাওয়া যায় না সেসব সংখ্যাগুলো অবাস্তব সংখ্যা
◘ শূণ্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে*যে সকল ভগ্নাংশের লব থেকে হর ছোট সেগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
◘ ‘0’ থেকে ছোট সংখ্যাগুলোকে ঋনাত্মক সংখ্যা বলে
◘ শূণ্য (0) থেকে বড় সংখ্যাগুলোকে ধনাত্মক সংখ্যা বলে
◘ শূণ্য (0) থেকে বড় সকল ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে
◘ যে সকল সংখ্যা দুইয়ের অধিক সংখ্যা দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য নয় সে সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা*যে সকল ভগ্নাংশের লব থেকে হর বড় সেগুলো প্রকৃত ভগ্নাংশ
◘ দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
◘ যে সকল ভগ্নাংশের লব থেকে হর ছোট সেগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ*শূণ্য সহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাগুলোকে  অঋণাত্মক সংখ্যা বলে
◘ যে সকল ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকে সেগুলো মিশ্র ভগ্নাংশ

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ধারণা
◘ বিয়োগ চিহ্নযুক্ত সংখ্যাগুলো শূন্যের চেয়ে ছোট এরুপ পূর্ণসংখ্যাগুলো হচ্ছে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

◘ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা: ……..-5,-4,-3,-2,-1

ঋণাত্মক সংখ্যা লিখার পদ্ধতি
◘ ঋণাত্মক সংখ্যা লিখার জন্য ধনাত্মক সংখ্যার বামে ‘-’ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।

◘ শূণ্য বিন্দু থেকে বাম দিকে ৫ ধাপ বলতে -5টি ধাপ বোঝায়।

ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার
◘ দৈনন্দিন জীবনে আয়-ব্যয়, লাভ-ক্ষতি, জমা-খরচ, নগদ-বাকি, জমা-খরচ, বৃদ্ধি-হ্রাস ইত্যাদি বিপরীতমুখী পার্থক্য বোঝাতে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যা ব্যবহার করা হয়।

◘ আয়, লাভ, জমা, নগদ, জমা, বৃদ্ধি বলতে পরিমাণে বাড়ে

◘ ব্যয়, ক্ষতি, খরচ, বাকি, খরচ, হ্রাস বলতে পরিমাণে কমে

◘ 5 টাকা লাভকে +5 এবং 5 টাকা ক্ষতিকে -5 টাকা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

◘ ঋণাত্মক সংখ্যার ক্রম … … … -5<-4<-3<-2<-1

দশমিক ভগ্নাংশের যোগ , বিয়োগ, গুণ ও ভাগ
◘ দশমিক ভগ্নাংশের যোগের ক্ষেত্রে দশমিক বিন্দুগুলোর অবস্থান ঠিক রেখে সংখ্যাগুলো সাজানো হয়।

◘ সংখ্যাগুলোর দশমিক চিহ্নের পরের অংক সংখ্যা সমান করার জন্য ফাকা স্থানগুলো 0 দ্বারা পূরণ করা হয়।

◘ দশমিক ভগ্নাংশের যোগের মত সংখ্যাগুলোর দশমিক বিন্দুগুলো অবস্থান বরাবর নিচে নিচে সাজিয়ে বিয়োগ করতে হয়।

◘ যে সংখ্যাটিকে গুণ করা হয় সেটাকে বলা হয় গুণ্য এবং যে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় সেটাকে বলা হয় গুণক।

◘ গুণ্য ও গুণক মিলে দশমিক বিন্দুর পর মোট যতটি অঙ্ক আছে গুণফলের ডানদিক থেকে ঠিক তত অঙ্ক পর দশমিক বিন্দু বসানো হয়।

◘ পূর্ণসংখ্যার ভাগ শেষ হলেই ভাগফলে দশমিক বিন্দু বসাতে হয়, কারণ তখন দশমাংশকে ভাগ করা হয়।

◘ প্রয়োজনে ভাগশেষের ডানদিকে শূণ্য বসিয়ে ভাগের কাজ করা হয়।

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here