Class eight math solution

প্যাটার্ন

অনুশীলনী-১ এর সমাধান


https://bit.ly/2KFDuu9

প্যাটার্ন (Pattern): গণিতে নির্দিষ্ট পদ্ধতিতে কোনো কিছু সাজানো, পরিবর্ধিত বা বিন্যস্ত করাকে প্যাটার্ন বলে।
যেমন: 1, 3, 5, 7, 9, ……..
দেখা যাচ্ছে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর যেকোনোটির সাথে 2 যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যা পাওয়া যাচ্ছে, সুতরাং বলা যায় সংখ্যাগুলোতে প্যাটার্ন বিদ্যমান।

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): শূন্য (0) থেকে বড় সকল ধনাত্নক অখন্ড বা পূর্ণ সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোকে গণনাকারী সংখ্যা বলা হয়। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. … …

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): 1 থেকে বড় যেসব সংখ্যাকে 1 এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নি:শ্বেষে ভাগ করা যায় না সে সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা।
যেমন: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … … …
বি.দ্র: 1 মৌলিক সংখ্যা নয়। 2 একমাত্র জোড় এবং সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা।

ফিবোনাক্কি সংখ্যা (Fibonacci Number): যে সংখ্যাধারায় পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল তৃতীয় সংখ্যার সমান হয় সেই সংখ্যাধারাকে ফিবোনাক্কি সংখ্যা বলা হয়।
বি.দ্র: ফিবোনাক্কি ধারার ১ম দুটি পদ যথাক্রমে 0 এবং 1
উদাহরণ: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … … … সংখ্যাগুলোকে ফিবোনাক্কি সংখ্যা বলা হয়।

ম্যাজিক বর্গ: একটি বর্গক্ষেত্রকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর সমান ভাগে ভাগ করে স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো এমন একটি কৌশলে বসানো হয় যাতে সংখ্যাগুলোর পাশাপাশি, উপর-নিচ ও কোনাকুনি যোগফল সমান হয়। এ কৌশলই হলো ম্যাজিক বর্গ।

অনুশীলনী-১ এর সমাধান:

১। 3 ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠনে-
i. ম্যাজিক সংখ্যা হবে 15
ii. কেন্দ্রে ছোট বর্গক্ষেত্রে সংখ্যাটি হবে 5
iii. ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রগুলোতে 1 থেকে 15 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা বসানো থাকে
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii          (খ) i ও iii        (গ) ii ও iii         (ঘ) i, ii ও iii
উত্তর: (ক) i ও ii
ব্যাখ্যা:
3 ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠন: 3 ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠনের ক্ষেত্রে একটি বর্গক্ষেত্রকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর তিন ভাগে ভাগ করে নয়টি ছোট বর্গক্ষেত্র গঠন করা হয়। ছোট বর্গক্ষেত্রগুলোতে 1 থেকে 9 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো এমনভাবে সাজাতে হবে যাতে পাশাপাশি উপর, নিচ, কোনাকুনি যোগফলগুলো একই হয়। এক্ষেত্রে ম্যাজিক সংখ্যা 15 হয়।
ছোট বর্গক্ষেত্রগুলোতে সংখ্যাগুলো বিভিন্নভাবে সাজানো যায়। এর মধ্যে একটি কৌশল হলো-কেন্দ্রের ছোট বর্গক্ষেত্রে 5 সংখ্যাটি বসিয়ে ‍চারকোণাতে চারটি জোড় সংখ্যা ক্রমান্বয়ে বসিয়ে বাকি ঘরগুলোতে বাকি সংখ্যাগুলো বসাতে হবে যেন পাশাপাশি, উপর নিচ, কোনাকুনি সংখ্যাগুলো যোগ করলে 15 হয়।

২। নিচের কোন ফলাফলটি 9 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা?
(ক) 52+25      (খ) 527+725     (গ) 412+234     (ঘ) 75-57
উত্তর: (ঘ) 75-57
ব্যাখ্যা:
দুই অঙ্ক বিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির স্থান পরিবর্তন করে বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যা বিয়োগ করে প্রাপ্ত বিয়োগফলকে 9 দ্বারা ভাগ করলে নি:শেষে বিভাজ্য হবে।
এখানে, দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা 75 এর অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে হয় 57,
তাহলে 75-57=18, যা 9 দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য হবে।
অর্থাৎ 75-57 ফলাফলটি 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
বাকি অপশনগুলো 9 দ্বারা বিভাজ্যতার শর্ত মানে না, তাই সেগুলো সঠিক নয়।

৩। 9999 কোন বীজগণিতীয় রাশির শততম পদ?
(ক) 99ক+1          (খ) 99ক-1         (গ) ক+1     (ঘ) ক-1
উত্তর: (ঘ) ক-1
ব্যাখ্যা:
99ক+1  রাশির শততম পদ = 99 \times 100 + 1 = 9900 + 1 = 9901
99ক-1  রাশির শততম পদ = 99 \times 100 - 1 = 9900 - 1 = 9899
+1  রাশির শততম পদ = {(100)^2} + 1 = 10000 + 1 = 10001
-1  রাশির শততম পদ = {(100)^2} - 1 = 10000 - 1 = 9999
এখানে, শততম পদ বা 100তম পদে ‘ক’ এর মান 100

৪। ‘ক’ সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?
(ক) ক         (খ) 2ক-1      (গ) ক2     (ঘ) 2ক+1
উত্তর: (গ) ক2
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … … …

1, 3 দুইটি স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1+3
.                                        = 4
.                                        = {2^2}
1, 3, 5 তিনটি স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1+3+5
.                                           = 9
.                                           = {3^2}
1, 3, 5, 7 চারটি স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 3 + 5 + 7
.                                                = 16
.                                                = {4^2}
দেখা যাচ্ছে, প্রথম 2টি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে, যোগফল ={2^2}
প্রথম 3টি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে, যোগফল = {3^2}
প্রথম 4টি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে, যোগফল = {4^2}
\therefore প্রথম ‘ক’ সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে, যোগফল = ক2  
৫। 1 থেকে 100 এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়?
(ক)  10টি      (খ) 20টি      (গ) 34টি     (ঘ) 50টি
উত্তর: (গ) 34টি
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

৬। ম্যাজিক বর্গটির ম্যাজিক সংখ্যা কত?
(ক) 15       (খ) 34        (গ) 35      (ঘ) 45
উত্তর: (ঘ) 45
ব্যাখ্যা: ম্যাজিক বর্গের ক্ষেত্রে পাশাপাশি, উপর-নিচ, কোনাকুনি সংখ্যাগুলোর যোগফল সমান হয় এবং ম্যাজিক সংখ্যাটি হয় পাশাপাশি বা উপর-নিচ বা কোনাকুনি সংখ্যাগুলোর যোগফলের সমান।
\therefore উদ্দীপকের ক্ষেত্রে ম্যাজিক সংখ্যাটি হবে 12 + 17 + 16 = 45
যেহেতু ম্যাজিক বর্গে পাশাপাশি, উপর-নিচ বা কোনাকুনি সংখ্যার যোগফল সমান হয়। তাই 19+ক+11=45
বা, ক+30=45
বা, ক=45-30
\therefore ক = 15
৭। ‘ক’ চিহ্নিত স্থানে উপযুক্ত সংখ্যাটি কত?
(ক) 45       (খ) 20     (গ) 15      (ঘ) 3
উত্তর: (গ) 15
ব্যাখ্যা: ৬নং প্রশ্নে দেখুন।

৮। প্রথম তিনটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল একটি-
i. পূর্ণবর্গ সংখ্যা
ii. বিজোড় সংখ্যা
iii. মৌলিক সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii          (খ) i ও iii        (গ) ii ও iii         (ঘ) i, ii ও iii
উত্তর: (ক) i ও ii         
ব্যাখ্যা:
প্রথম তিনটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা 1, 3 ও 5
\therefore এদের যোগফল = 1 + 3 + 5
.                               = 9
.                               = {3^2}
\therefore প্রথম তিনটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যা।
আবার, 9 মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ 9 কে 1 এবং 9 ছাড়াও 3 দ্বারা ভাগ যায়।
সুতরাং প্রশ্নটির i ও ii সঠিক কিন্তু iii সঠিক নয়।

৯। নিচের জ্যামিতিক চিত্রগুলো কাঠি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে।

(ক) কাঠির সংখ্যার তালিকা কর।
(খ) তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি কীভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর।
(গ) কাঠি দিয়ে পরবর্তী চিত্রটি তৈরি কর এবং তোমার উত্তর যাচাই কর।  

সমাধান (ক):

\therefore কাঠির সংখ্যার তালিকা: 4, 7, 10

সমাধান (খ):
কাঠির সংখ্যার তালিকা:         4, 7, 10
পাশাপাশি দুটি সংখ্যার পার্থর্ক: 7-4 = 3
.                              10-7 = 3
লক্ষ করি, প্রতিবার পার্থক্য 3 অর্থাৎ প্রথম সংখ্যাটির সাথে 3 যোগ করলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি পাওয়া যায়, যেমন: 4+3=7 আবার দ্বিতীয় সংখ্যাটির সাথে 3 যোগ করলে তৃতীয় সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
অতএব, তৃতীয় সংখ্যাটির সাথে 3 যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে,
অর্থাৎ 10+3=13

সমাধান (গ):

উত্তর যাচাই:
এখানে, প্রথম চিত্রে কাঠির সংখ্যা 4টি, দ্বিতীয় চিত্রে কাঠির সংখ্যা 7টি এবং তৃতীয় চিত্রে কাঠির সংখ্যা 10টি। দেখা যাচ্ছে প্রতিটি চিত্রে কাঠির সংখ্যা তার পূর্ববর্তী চিত্র হতে 3টি করে বেশি।
সুতরাং শেষ চিত্রটিতে কাঠির সংখ্যা হবে তার পূর্ববর্তী চিত্রের কাঠির সংখ্যা 10 থেকে 3 বেশি অর্থাৎ (10+3)=13টি \therefore উত্তরের সত্যতা যাচাই করা হলো।
১০। দিয়াশলাইায়ের কাঠি দিয়ে নিচের ত্রিভুজগুলোর প্যাটার্ন তৈরি করা হয়েছে:


(ক) চতুর্থ চিত্রে দিয়াশলাইয়ের কাঠির সংখ্যা বের কর।
(খ) প্যাটার্নটির পরবর্তী সংখ্যাটি কীভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর।
(গ) শততম প্যাটার্ন তৈরিতে কতগুলো দিয়াশলাইয়ের কাঠির প্রয়োজন?

সমাধান (ক):
উদ্দীপকের প্যাটার্ন এর ক্ষেত্রে,
১ম প্যাটার্নে 3টি কাঠি বিদ্যমান
২য় প্যাটার্নে 5টি কাঠি বিদ্যমান
৩য় প্যাটার্নে 7টি কাঠি বিদ্যমান
এখানে, প্রতিক্ষেত্রে 2টি করে কাঠি বৃদ্ধি পাচ্ছে

\therefore ৪র্থ প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা হবে 7+2 = 9টি  (উত্তর)

সমাধান (খ):

প্রদত্ত তালিকার সংখ্যা:                 3, 5, 7
পাশাপাশি দুটি প্যাটার্নের কাঠির পার্থক্য: 5-3 = 2
.                                     7-5 = 2
প্রতিক্ষেত্রে পার্থক্য 2 এবং তারিকাটি ক্রমবর্ধমান।
\therefore পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = 7+2 = 9  (উত্তর)

সমাধান (গ):
১ম প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা = 3 = 1 \times 2 + 1
২য় প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা = 5 = 2 \times 2 + 1
৩য় প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা = 7 = 3 \times 2 + 1

\therefore ‘ক’ প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা = ক×2+1
.                                          =2ক+1

\therefore 100 তম প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা = 100 \times 2 + 1 = 200 + 1 = 201
\therefore শততম প্যাটার্ন তৈরিতে 201টি দিয়াশলাইয়ের কাঠি প্রয়োজন। (উত্তর)

১১। 5, 13, 21, 29, … … …
(ক) 29 ও 37 কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর।
(খ) তালিকার পরবর্তী 4টি সংখ্যা নির্ণয় কর।
(গ) তালিকার প্রথম 50টি সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান (ক):
29 ও 37 কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা হলো:
29 = 25 + 4 = {5^2} + {2^2}
37 = 36 + 1 = {6^2} + {1^2}

সমাধান (খ) :
দেওয়া আছে,
তালিকার সংখ্যাগুলো :     5, 13, 21, 29, 37, … … …
পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য: 13-5=8, 21-13=8, 29-21=8, 37-29=8
এখানে, প্রতিক্ষেত্রে পার্থক্য 8 অর্থাৎ প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর যেকোনোটির সাথে 8 যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যা পাওয়া যাচ্ছে এবং তালিকাটি ক্রমবর্ধমান।

সুতরাং তালিকার পরবর্তী 4টি সংখ্যা হবে-
37+8 = 45
45+8=53
53+8=61
61+8=69
\therefore তালিকার পরবর্তী 4টি সংখ্যা হলো-45, 53, 61, 69   (উত্তর)
সমাধান (গ):
এখানে,
তালিকার ১ম সংখ্যা = 5 = (8 \times 1) - 3
তালিকার ২য় সংখ্যা = 13 = (8 \times 2) - 3
তালিকার ৩য় সংখ্যা = 21 = (8 \times 3) - 3
\therefore তালিকার ‘ক’ তম সংখ্যা 8ক-3

সুতরাং তালিকার 50 তম সংখ্যা = (8 \times 50) - 3
.                              = 400 - 3
.                              = 397
\therefore তালিকাটি হলো 5, 13, 21, 29, 37, ….. …. …. …. 397

এই 50টি সংখ্যার সমষ্টি বের করতে হবে।অর্থাৎ 5+13+21+29+37+………+397=কত?
এখানে, প্রথম সংখ্যা = 5, শেষ সংখ্যা = 397 এবং পদসংখ্যা = 50

আমরা জানি,

.      = \frac{{(5 + 397) \times 50}}{2}
.        = \frac{{402 \times 50}}{2}
.        = 402 \times 25
.       = 10050  (উত্তর)

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here