Class eight math solution


মূল আলোচনা

পরিসংখ্যান: সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনাকে পরিসংখ্যান বলে।
উদাহরণ:  কোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় অংশগ্রহণকারী 5 জন প্রার্থীর গণিতের প্রাপ্ত নম্বর হলো 25, 45, 20, 35, 30। এখানে, গণিতে প্রাপ্ত সংখ্যা-নির্দেশিত নম্বরসমূহ একটি পরিসংখ্যান।

তথ্য: কোনো ঘটনা বা বিষয় সম্পর্কিত বিশেষ বর্ণনাকে তথ্য বলে।
উদাহরণ: সাধারণত একজন মানুষের পরিবারে থাকে মা, বা, ভাই-বোন ইত্যাদি। এখানে এটি একটি পরিবারভিত্তিক তথ্য। কিন্তু মনে রাখতে হবে সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য হলে সেটা হবে পরিসংখ্যান।

উপাত্ত: কোনো তথ্য বা ঘটনা নির্দেশক সংখ্যাসমূহকে পরিসংখ্যানের উপাত্ত বলে।
উদাহরণ: 50 নম্বরের মধ্যে 5 জন প্রার্থীর প্রাপ্ত নম্বর 45, 35, 20, 40, 32। এটি একটি পরিসংখ্যান এবং নম্বরগুলো পরিসংখ্যানের উপাত্ত।

প্রাথমিক উপাত্ত: যে উপাত্ত সরাসরি উৎস থেকে সংগৃহীত হয় তাকে প্রাথমিক উপাত্ত বলে।
উদাহরণ: 5 জনের বয়স 10, 12, 20, 11, 18। এখানে বয়সের সংখ্যা বা নম্বরগুলো হলো প্রাথমিক উপাত্ত। কারণ, কোনো অনুসন্ধানকারী এই 5 জনের কারো বয়স খুঁজলে সরাসরি এই উৎস থেকে সংগ্রহ করতে পারবে।

মাধ্যমিক উপাত্ত: যে উপাত্ত পরোক্ষ উৎস থেকে সংগৃহীত হয় তাকে মাধ্যমিক উপাত্ত বলে।
উদাহরণ: যদি ঢাকা শহরের গত এক সপ্তাহের প্রতিদিনের সর্বোচ্চ তাপমাত্রা জানা প্রয়োজন হয় সেক্ষেত্রে আমরা কোনো প্রতিষ্ঠান কর্তৃক প্রকাশিত বা সংগৃহীত উপাত্ত আমাদের প্রয়োজনে ব্যবহার করতে পারি। অতএব, এখানে উৎস পরোক্ষ বলে এটি মাধ্যমিক উপাত্ত।

বিন্যস্ত উপাত্ত: যেসকল উপাত্ত মানের উর্ধ্বক্রম বা অধক্রম অনুসারে সাজানো থাকে তাকে বিন্যস্ত উপাত্ত বলে। উদাহরণ: 1 থেকে 5 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো ক্রমান্বয়ে লিখলে আমরা পাই, 1, 2, 3, 4, 5 । এই উপাত্তগুলো বিন্যস্ত।

অবিন্যস্ত উপাত্ত: যেসকল উপাত্ত মানের উর্ধ্বক্রম বা অধক্রম কোনো ক্রমেই সাজানো থাকে না তাকে অবিন্যস্ত উপাত্ত বলে।
উদাহরণ: 1 থেকে 5 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো এলোমেলোভাবে লিখলে পাই, 5, 3, 1, 2, 4  । এই উপাত্তগুলো অবিন্যস্ত।

শ্রেণিবিন্যাস: যে বিন্যাসের মাধ্যমে অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ অতিসহজে বিন্যস্ত উপাত্তে রূপান্তর করা যায় এবং গণসংখ্যা সারণির সাহায্যে উপস্থাপন করা হয় তাকে শ্রেণিবিন্যাস বলে।

গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: কোনো পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোকে উপস্থিতি সংখ্যার ভিত্তিতে একটি ছক আকারে বিন্যস্ত করলে তাকে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি বলা হয়।

গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরির ধাপসমূহ:
১. পরিসর নির্ণয়  ২. শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয়   ৩. শ্রেণিব্যাপ্তি নির্ধারন  ৪. ট্যালি চিহ্নের সাহায্যে গণসংখ্যা নির্ণয়।

পরিসর: কোনো উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা থেকে সর্বনিম্ন সংখ্যা বিয়োগ করে এক যোগ করলে যে সংখ্যামান পাওয়া যায় তাকে ঐ উপাত্তের পরিসর বলে।
অর্থাৎ পরিসর= (সর্বোচ্চ সংখ্যা – সর্বনিম্ন সংখ্যা) +1
উদাহরণ: ৫ জনের বয়স হলো: 10, 11, 14, 8, 9। এখানে, উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা 11 এবং সর্বনিম্ন সংখ্যা 8
অতএব, এই উপাত্তের পরিসর = (11-8)+1=3+1=4

শ্রেণিব্যাপ্তি: যেকোনো শ্রেণির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার ব্যবধান হলো সেই শ্রেণির শ্রেণিব্যাপ্তি।
উদাহরণ: 10-20 হলো একটি শ্রেণি, এখানে, সর্বনিম্ন মান 10 এবং সর্বোচ্চ মান 20 তাহলে শ্রেণিব্যাপ্তি হবে (20-10)+1=10+1=11

শ্রেণিসংখ্যা: কোনো উপাত্তের পরিসরকে যতগুলো শ্রেণিতে ভাগ করা হয় এর সংখ্যাকে শ্রেণিসংখ্যা বলে।
অর্থাৎ শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর ÷ শ্রেণিব্যাপ্তি

ট্যালি চিহ্ন: যেসব রেখাচিহ্নের সাহায্যে পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোর সংখ্যার মানকে প্রকাশ করা হয় তাদেরকে ট্যালি চিহ্ন বলা হয়।

গণসংখ্যা: কোনো শ্রেণিতে যতগুলো ট্যালি চিহ্ন আছে তার সংখ্যামানকে গণসংখ্যা বলে। যদি কোনো শ্রেণিতে ট্যালি চিহ্ন হয় \parallel তাহলে এর গণসংখ্যা হবে দুই।

আয়তলেখ: ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যাপ্তি এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে যে লেখচিত্র আঁকা হয় তাকে আয়তলেখ বলে। অর্থাৎ আয়তের ভূমি হয় শ্রেণিব্যাপ্তি এবং উচ্চতা হয় গণসংখ্যা।

পাইচিত্র: পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত সকল উপাত্তের সমষ্টিকে একটি বৃত্ত কল্পনা করে প্রতটি অংশকে নিজ অনুপাত অনুসারে বৃত্তের অংশ হিসেবে উপস্থাপন করলে যে লেখচিত্র পাওয়া যায় তাকে পাইচিত্র বলে। বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণের মান {360^0} হয়, তাই পাইচিত্রেও কেন্দ্রে {360^0} কোণ উৎপন্ন হয়। এজন্য পাইচিত্রকে বৃত্তলেখও বলা হয়।

কেন্দ্রীয় প্রবণতা: মাঝামাঝি বা কেন্দ্রে মানের দিকে মানের দিকে উপাত্তসমূহের পুঞ্জিভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো (১) গাণিতিক গড় বা গড় (২) মধ্যক (৩) প্রচুরক।

গাণিতিক গড়: উপাত্তসমূহের সংখ্যাসূচক মানের সমষ্টিকে যদি উপাত্তসমূহের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়, তবে গাণিতিক গড় পাওয়া যায়।

অর্থাৎ গাণিতিক গড় = উপাত্তসমূহের সমষ্টি ÷ উপাত্তের সংখ্যা

মধ্যক: উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে মান উপাত্তগুলোকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে তাকে উপাত্তগুলোর মধ্যক বলে। উদাহরণ: কতগুলো সংখ্যা 7, 9, 5, 12, 2, 10, 15 । এদের সমান দুই ভাগে ভাগ করে পাই,

2, 5, 7, 9, 10, 12, 15

অতএব, এখানে 9 হলো মধ্যক।

প্রচুরক: পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি থাকে তাকে প্রচুরক বলে। উদাহরণ: প্রদত্ত উপাত্ত: 5, 10, 9, 8, 10, 12, 14, 10, 8  । উপাত্তটিতে 10 আছে তিনবার, 8 আছে দুইবার এবং বাকিগুলো একবার করে আছে।

সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক 10

অনুশীলনী-১১ এর সমাধান

১। নিচের কোনটি দ্বারা শ্রেণিব্যাপ্তি বোঝায়?

(ক) উপাত্তগুলোর মধ্যে প্রথম ও শেষ উপাত্তের ব্যবধান

(খ) উপাত্তগুলোর মধ্যে শেষ ও প্রথম উপাত্তের সমষ্টি

(গ) প্রথ্যেক শ্রেণির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম উপাত্তের সমষ্টি

(ঘ) প্রতিটি শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যার ব্যবধান

উত্তর: (ঘ) প্রতিটি শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যার ব্যবধান

২। একটি শ্রেণিতে যতগুলো উপাত্ত অন্তর্ভুক্ত হয় তার নির্দেশক নিচের কোনটি?

(ক) শ্রেণির গণসংখ্যা              (খ) শ্রেণির মধ্যবিন্দু

(গ) শ্রেণিসীমা                     (ঘ) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা

উত্তর: (ক) শ্রেণির গণসংখ্যা

৩। 8, 12, 16, 17, 20 সংখ্যাগুলোর গড় কত?

(ক) 10.5      (খ) 12.5        (গ) 13.6      (ঘ) 14.6

উত্তর: (ঘ) 14.6

ব্যাখ্যা:

উপাত্তগুলোর সমষ্টি = 8+12+16+17+20 = 73

এবং উপাত্ত সংখ্যা = 5

\therefore সংখ্যাগুলোর গড় = উপাত্তের সমষ্টি ÷ উপাত্ত সংখ্যা

.                              = 73 \div 5

.                              = 14.6

৪। 10, 12, 14, 18, 19, 25 সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

(ক) 11.5           (খ) 14.6            (গ) 16              (ঘ) 18.6

উত্তর: (গ) 16

ব্যাখ্যা: এখানে, উপাত্ত সংখ্যা, n=6, যা জোড় সংখ্যা
অতএব,


.        = \frac{{14 + 18}}{2}
.        = \frac{{32}}{2}
.        = 16

৫। 6, 12, 7, 12, 11, 12, 11, 7, 11 এর প্রচুরক কোনটি?

(ক) 11 ও 7   (খ) 11 ও 12    (গ) 7 ও 12   (ঘ) 6 ও 7

উত্তর: (খ) 11 ও 12
ব্যাখ্যা:
প্রচুরক: কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার থাকে তাকে প্রচুরক বলে।
এখানে, উপাত্তগুলোর মধ্যে 11 ও 12 সংখ্যা দুটি সবচেয়ে বেশি তিনবার করে আছে, তাই এখানে প্রচুরক 11 ও 12

নিচে তোমাদের শ্রেণির 40 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণিব্যাপ্তি 41-55 56-70 71-85 86-100
গণসংখ্যা 6 10 20 4

এই সারণির আলোকে (6-8) নম্বর পর্যন্ত প্রশ্নের উত্তর দাও:
৬। উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি কোনটি?
(ক) 5          (খ) 10            (গ) 12             (ঘ) 15
উত্তর: (ঘ) 15
ব্যাখ্যা:
এখানে,
১ম শ্রেণির সর্বোচ্চ মান = 55 এবং সর্বনিম্ন মান = 41
\therefore শ্রেণিব্যাপ্তি = (সর্বোচ্চমান-সর্বনিম্নমান)+1
.                        =(55-41)+1
.                        =14+1=15
৭। দ্বিতীয় শ্রেণির শ্রেণিমধ্যমান কোনটি?
(ক) 48     (খ) 63       (গ) 78     (ঘ) 93
উত্তর: (খ) 63
ব্যাখ্যা:
এখানে,
দ্বিতীয় শ্রেণীর উর্ধ্বমান = 70
এবং নিম্নমান = 56
\therefore দ্বিতীয় শ্রেণীর মধ্যমান = (উর্ধ্বমান + নিম্নমান) ÷ 2
.                                   =(70+56) ÷ 2
.                                   =63
৮। প্রদত্ত সারণিতে প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা কোনটি?
(ক) 41      (খ) 56     (গ) 71     (ঘ) 86
উত্তর: (গ) 71
ব্যাখ্যা:
প্রচুরক শ্রেণী: গণসংখ্যা সারণীতে যে শ্রেণীর গণসংখ্যা বেশি হয় তাকে প্রচুরক শ্রেণী বলে।
প্রদত্ত সারণীতে তৃতীয় শ্রেণী অর্থাৎ (71-85) শ্রেণীর গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি। সুতরাং প্রচুরক শ্রেণী হলো (71-85)।
\therefore প্রচুরক শ্রেণীর সর্বনিম্ন মান 71

৯। ২৫ জন শিক্ষার্থীর বার্ষিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর নিচে দেওয়া হলো:
72, 85, 78, 84, 78, 75, 69, 67, 88, 80, 74, 77, 79, 69, 74, 73, 83, 65, 75, 69, 63, 75, 86, 66, 71
(ক) প্রাপ্ত নম্বরের সরাসরি গড় নির্ণয় কর।
(খ) শ্রেণি ব্যাপ্তি 5 নিয়ে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর এবং সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।
(গ) সরাসরিভাবে প্রাপ্ত গড়ের পার্থক্য দেখাও।

সমাধান (ক):
প্রদত্ত নম্বরের সমষ্টি =72+85+78+84+78+75+69+67+88+80+74+77+79+69+74+73+
83+65+75+69+63+75+86+66+71 = 1875
এবং শিক্ষার্থী সংখ্যা = 25
\therefore প্রাপ্ত নম্বরের সরাসরি গড় = নম্বরের সমষ্টি ÷ শিক্ষার্থী সংখ্যা =1875 \div 25 = 75

সমাধান (খ):
এখানে, সর্বনিম্ন মান = 63
এবং সর্বোচ্চ মান = 88
\therefore পরিসর = সর্বোচ্চমান-সর্বনিম্নমান + 1
.                       = 88 - 63 + 1
.                       = 26
শ্রেণি সংখ্যা=পরিসর÷শ্রেণীব্যাপ্তি=26 \div 5 = 5.2 \approx 6    [\becauseশ্রেণিব্যাপ্তি=5]
\therefore শ্রেণি সংখ্যা হবে 6 টি।
বার্ষিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি মধ্যমান ({x_i}) গণসংখ্যা ({f_i}) {x_i}{f_i}
63-67 65 4 260
68-72 70 5 350
73-77 75 7 525
78-82 80 4 320
83-87 85 4 340
88-92 90 1 90
মোট   n = 25 1885

\therefore গাণিতিক গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{1885}}{{25}} = 75.4

সমাধান (গ):

‘ক’ থেকে পাই,
সরাসরি প্রাপ্ত গড় = 75
এবং গণসংখ্যা নিবেশন সারণি হতে প্রাপ্ত গড় 75.4
\therefore সরাসরিভাবে প্রাপ্ত গড়ের সাথে পার্থক্য =75.4-75 = 0.4

১০। নিচে একটি সারণি দেওয়া হলো। এর গড় মান নির্ণয় কর। উপাত্তগুলোর আয়তলেখ আঁক।

প্রাপ্ত নম্বর গণসংখ্যা
6-10 5
11-15 17
16-20 30
21-25 38
26-30 35
31-35 10
36-40 7
41-45 3

সমাধান:

প্রাপ্ত নম্বর মধ্যবিন্দু ({x_i}) গণসংখ্যা ({f_i}) গণসংখ্যা×মধ্যবিন্দু
{x_i}{f_i}
6-10 8 5 40
11-15 13 17 221
16-20 18 30 540
21-25 23 38 874
26-30 28 35 980
31-35 33 10 330
36-40 38 7 266
41-45 43 3 129
মোট   n = 145 \sum {{x_i}{f_i}}  = 3380

\therefore নির্ণেয় গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{3380}}{{145}} = 23.31 (উত্তর)

আয়তলেখ অঙ্কন: আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণি সীমানা অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।

প্রাপ্ত নম্বরের আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

প্রাপ্ত নম্বর অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা গণসংখ্যা
6-10 5.5-10.5 5
11-15 10.5-15.5 17
16-20 15.5-20.5 30
21-25 20.5-25.5 38
26-30 25.5-30.5 35
31-35 30.5-35.5 10
36-40 35.5-40.5 7
41-45 40.5-45.5 3

ছক কাগজে x অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে গণসংখ্যার 1 একক ধরে আয়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 5.5 পর্যন্ত ভাঙ্গা চিহ্ন দিয়ে আগের ঘরগুলো বিদ্যমান বোঝানো হয়েছে।

.

১১। নিচের সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর:

দৈনিক আয় (টাকায়) 2210 2215 2220 2225 2230 2235 2240 2245 2250
গণসংখ্যা 2 3 5 7 6 5 5 4 3

সমাধান:

দৈনিক আয় (টাকা) ({{x_i}}) গণসংখ্যা ({{f_i}}) {{x_i}{f_i}}
2210 2 4420
2215 3 6645
2220 5 11100
2225 7 15575
2230 6 13380
2235 5 11175
2240 5 11200
2245 4 8980
2250 3 6750
মোট n = 40 \sum {{x_i}{f_i}}  = 89225

\therefore গড়
= \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{89225}}{{40}} = 2230.625 (উত্তর)

১২। নিচে 40 জন গৃহিণীর সাপ্তাহিক সঞ্চয় (টাকায়) নিচে দেওয়া হলো :
155, 173, 166, 143, 168, 160, 156, 146, 162, 158, 159, 148, 150, 147, 132, 136, 156, 140, 155, 145, 135, 151, 141, 169, 140, 125, 122, 140, 137, 175, 145, 150, 164, 142, 156, 152, 146, 148, 157, ও 167
সাপ্তাহিক জমানোর গড়, মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় কর।

সমাধান:
এখানে, মোট গৃহিনীর সংখ্যা = 40 জন
এবং 40 জন গৃহিনীর মোট সঞ্চয়ের পরিমান,
(155+173+166+143+168+160+156+146+162+158+159+148+150+147+132+136+156+140+155+145+135+151+141+169+140+125+122+140+137+175+145+150+164+142+ 156+152+146+148+157+167) টাকা = 6017 টাকা

\therefore গড় সঞ্চয়ের পরিমাণ = মোট সঞ্চয়ের পরিমাণ ÷ মোট গৃহিনীর সংখ্যা
.                                   = 6017 \div 40
.                                   = 150.43 টাকা (উত্তর)

মধ্যক নির্ণয় :
সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
122, 125, 132, 135, 136, 137, 140, 140, 140, 141, 142, 143, 145, 145, 146, 146, 147, 148, 148, 150, 150, 151, 152, 155, 155, 156, 156, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 164, 166, 167, 168, 169, 173, 175 এখানে, সংখ্যা আছে, n = 40 (জোড় সংখ্যা)


.             = \frac{{150 + 150}}{2}
.             = \frac{{300}}{2}
.             = 150  (উত্তর)
প্রচুরক নির্ণয়:
উর্ধ্বক্রমে সাজানো সংখ্যাগুলো থেকে দেখা যায়, 140 ও 156 সংখ্যা দুইটি সর্বাধিক তিনবার করে আছে এবং বাকি সংখ্যাগুলোর কিছু আছে দুই বার করে আবার কিছু আছে একবার করে।
\therefore প্রচুরক = 140 টাকা ও 156 টাকা  (উত্তর)

১৩। নিচের উপাত্তসমূহের গড় এবং উপাত্তের আয়তলেখ আঁক:

বয়স (বছর) গণসংখ্যা
5-6 25
7-8 27
9-10 28
11-12 31
13-14 29
15-16 28
17-18 22

সমাধান:
গড় নির্ণয় :

শ্রেণি ব্যবধান শ্রেণির মধ্যবিন্দু ({x_i}) গণসংখ্যা ({f_i}) শ্রেণির মধ্যবিন্দু × গণসংখ্যা ({x_i}{f_i})
5-6 5.5 25 137.5
7-8 7.5 27 202.5
9-10 9.5 28 266
11-12 11.5 31 356.5
13-14 13.5 29 391.5
15-16 15.5 28 434
17-18 17.5 22 385
মোট   n = 190 \sum {{x_i}{f_i}}  = 2173

\therefore গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{2173}}{{190}} = 11.44 বছর (প্রায়)

আয়তলেখ অঙ্কন: আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণিসীমানা অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।
বয়সের আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিব্যাপ্তি গণসংখ্য
5-6 4.5-6.5 25
7-8 6.5-8.5 27
9-10 8.5-10.5 28
11-12 10.5-12.5 31
13-14 12.5-14.5 29
15-16 14.5-16.5 28
17-18 16.5-18.5 22

ছক কাগজের X-অক্ষ বরাবর প্রতি 5 ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি সীমার 2 একক ঘরে এবং Y-অক্ষ বরাবর প্রতিটি ঘরকে গণসংখ্যার 1 একক ধরে আয়তলেখ আঁকা হয়েছে এবং X-অক্ষে মূলবিন্দু থেকে 4.5 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো বিদ্যমান বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

১৪। একটি কারখানার 100 শ্রমিকের মাসিক মজুরির গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। শ্রমিকদের মাসিক মজুরির গড় কত? উপাত্তগুলোর আয়তলেখ আঁক।

দৈনিক মজুরি (শত টাকায় 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90
গণসংখ্যা 6 20 30 15 11 8 6 4

সমাধান:
শ্রমিকদের মাসিক মজুরির গণসংখ্যা সারণি:

মাসিক মজুরি (শত টাকায়) শ্রেণির মধ্যমান ({{x_i}}) গণসংখ্যা ({f_i}) শ্রেণির মধ্যমান × গণসংখ্যা ({{x_i}{f_i}})
51-55 53 6 318
56-60 58 20 1160
61-65 63 30 1890
66-70 68 15 1020
71-75 73 11 803
76-80 78 8 624
81-85 83 6 498
86-90 88 4 352
মোট   n = 100 \sum {{x_i}{f_i}}  = 6665

গড়= \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{6665}}{{100}} = 66.65  (উত্তর)

আয়তলেখ অঙ্কন: আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণিসীমা অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।

শ্রমিকদের মাসিক মজুরির আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

মাসিক মজুরি (শত টাকায়) অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা গণসংখ্যা
51-55 50.5-55.5 6
56-60 55.5-60.5 20
61-65 60.5-65.5 30
66-70 65.5-70.5 15
71-75 70.5-75.5 11
76-80 75.5-80.5 8
81-85 80.5-85.5 6
86-90 85.5-90.5 4

ছক কাগজের X-অক্ষ বরাবর প্রতিটি ঘরকে শ্রেণিসীমার 1 একক ধরে এবং Y-অক্ষ বরাবর প্রতিটি ঘরকে গণসংখ্যার 1 একক ঘরে আয়তলেখ আঁকা হলো। X-অক্ষে মূলবিন্দু থেকে 50.5 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো বিদ্যমান বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

১৫। ৮ম শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর ইংরেজি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর হলো:
45, 42, 60, 61, 58, 53, 48, 52, 51, 49, 73, 52, 57, 71, 64, 49, 56, 48, 67, 63, 70, 59, 54, 46, 43, 56, 59, 43, 68, 52
(ক) শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে শ্রেণি সংখ্যা কত?
(খ) শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।
(গ) সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।

সমাধান (ক) :
এখানে, ইংরেজিতে প্রাপ্ত নম্বর সমূহের মধ্যে সর্বনিম্ন নম্বর 42 এবং সর্বোচ্চ নম্বর 73
\therefore পরিসর = সর্বোচ্চ মান-সর্বনিম্ন মান +1

.                         = 73 - 42 + 1
.                         = 32

শ্রেণিব্যবধান 5 ধরে শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর ÷ শ্রেণি ব্যবধান
.                              = 32 \div 5
.                              = 6.4 \approx 7
\therefore শ্রেণি সংখ্যা = 7  (উত্তর)

সমাধান (খ):
ইংরেজিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি গণসংখ্যা
42-46 5
47-51 5
52-56 7
57-61 6
62-66 2
67-71 4
72-76 1
মোট 30

সমাধান (গ) :
ইংরেজিতে প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয়ের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি মধ্যমান ({x_i}) গণসংখ্যা {f_i} মধ্যমান × গণসংখ্যা ({x_i}{f_i})
42-46 44 5 220
47-51 49 5 245
52-56 54 7 378
57-61 59 6 354
62-66 64 2 128
67-71 69 4 276
72-76 74 1 74
    n = 30 \sum {{x_i}{f_i}}  = 1675

গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{1675}}{{30}} = 55.83  (প্রায়)  (উত্তর)

১৬। 50 জন শিক্ষার্থীদের দৈনিক সঞ্চয় নিচে দেওয়া হলো:

সঞ্চয় (টাকায়) 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
গণসংখ্যা 6 8 13 10 8 5

(ক) ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি তৈরি কর।
(খ) সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।

সমাধান (ক)
শিক্ষার্থীদের দৈনিক সঞ্চয়ের ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি:

সঞ্চয় (টাকায়) গণসংখ্যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
41-50 6 6
51-60 8 14
61-70 13 27
71-80 10 37
81-90 8 45
91-100 5 50

সমাধান (খ):
শিক্ষার্থীদের দৈনিক সঞ্চয়ের গড় নির্ণয়ের সারণি:

সঞ্চয় (টাকায়) মধ্যমান ({{x_i}}) গণসংখ্যা ({{f_i}}) {{x_i}{f_i}}
41-50 45.5 6 273
51-60 55.5 8 444
61-70 65.5 13 851.5
71-80 75.5 10 755
81-90 85.5 8 684
91-100 95.5 5 477.5
মোট   n = 50 \sum {{x_i}{f_i}}  = 3485

\therefore গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{3485}}{{50}} = 69.7
নির্ণেয় গড় =69.7 (উত্তর)

১৭। নিচের সারণিতে 200 জন শিক্ষার্থীর পছন্দের ফল দেখানো হলো। প্রদত্ত উপাত্তের পাইচিত্র আঁক।

ফল আম কাঁঠাল লিচু জামরুল
শিক্ষার্থীর সংখ্যা 70 30 80 20

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণ= {360^0}
পাইচিত্রে বিভিন্ন ফলের নির্ধারিত কোণের পরিমান নিম্নরূপ:
200 জনের জন্য কোণের পরিমাণ = {360^0}
\therefore 1 জনের জন্য কোণের পরিমাণ = \frac{{{{360}^0}}}{{200}}
আম ফলের ক্ষেত্রে 70 জনের জন্য কোণের পরিমাণ= \frac{{{{360}^0}}}{{200}} \times 70 = {126^0}
কাঁঠাল ফলের ক্ষেত্রে 30 জনের জন্য কোণের পরিমাণ= \frac{{{{360}^0}}}{{200}} \times 30 = {54^0}
লিচু ফলের ক্ষেত্রে 80 জনের জন্য কোণের পরিমাণ= \frac{{{{360}^0}}}{{200}} \times 80 = {144^0}
জামরুল ফলের ক্ষেত্র 20 জনের জন্য কোণের পরিমাণ= \frac{{{{360}^0}}}{{200}} \times 20 = {36^0}
পাইচিত্র নিম্নরূপ:

চিত্র: শিক্ষার্থীদের পছন্দের ফলের পাইচিত্র

১৮। 720 জন শিক্ষার্থীর পছন্দের বিষয় পাইচিত্রে উপস্থাপন করা হলো। সংখ্যায় প্রকাশ কর।
বাংলা-        {90^0}                              
ইংরেজি-      {30^0}
গণিত-        {50^0}
বিজ্ঞান-       {60^0}
ধর্ম-          {80^0}
সঙ্গীত-       {50^0}
…………………………………….
মোট          {360^0}

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণ = {{{360}^0}}
এবং মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = 720 জন
{{{360}^0}} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা = 720 জন
{1^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা = \frac{{720}}{{{{360}^0}}} জন
\therefore {90^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা= \frac{{720}}{{{{360}^0}}} \times {90^0} = 180
 {30^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা= \frac{{720}}{{{{360}^0}}} \times {30^0} = 60
{50^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা= \frac{{720}}{{{{360}^0}}} \times {50^0} = 100
{60^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা= \frac{{720}}{{{{360}^0}}} \times {60^0} = 120
{80^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা= \frac{{720}}{{{{360}^0}}} \times {80^0} = 160
{50^0} এর জন্য শিক্ষার্থী সংখ্যা= \frac{{720}}{{{{360}^0}}} \times {50^0} = 100

১৯। 60 জন ছাত্রীর গণিতের নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেয়া হলো:

প্রাপ্ত নম্বর 60 65 70 75 80 85
গণসংখ্যা 5 8 11 15 8 3

(ক) মধ্যক নির্ণয় কর।
(খ) গড় নির্ণয় কর।
(গ) প্রদত্ত উপাত্তের পাইচিত্র আঁক।

সমাধান (ক):
মধ্যক নির্ণয়ের সারণি:

প্রাপ্ত নম্বর গণসংখ্যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
60 5 5
65 8 13
70 11 24
75 15 39
80 8 47
85 3 50
  n = 50  

এখানে, উপাত্তের সংখ্যা n = 50, যা জোড় সংখ্যা


. = \frac{{75 + 75}}{2}
.         = \frac{{150}}{2}
.        = 75
\therefore নির্ণেয় মধ্যক = 75  (উত্তর)

সমাধান (খ):
গড় নির্ণয়ের সারণি:

প্রাপ্ত নম্বর ({{x_i}}) গণসংখ্যা ({{f_i}}) প্রাপ্ত নম্বর×গণসংখ্যা ({{x_i}{f_i}})
60 5 300
65 8 520
70 11 770
75 15 1125
80 8 640
85 3 255
মোট n = \sum {{f_i} = 50} \sum {{x_i}{f_i}}  = 3610

\therefore নির্ণেয় গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{3610}}{{50}} = 72.2  (উত্তর)

সমাধান (গ):
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণ = {360^0}
এখানে, মোট গণসংখ্যা = 50 জন
50 জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ = {360^0}
1 জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ \frac{{{{360}^0}}}{{50}}
5 জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ \frac{{{{360}^0}}}{{50}} \times 5 = {36^0}
যেহেতু 60 নম্বর পায় 5 জন শিক্ষার্থী
\therefore 60 নম্বরের জন্য সৃষ্ট কোণ = {36^0}
অনুরূপভাবে,
65 নম্বরের জন্য কোণের পরিমান \frac{{{{360}^0}}}{{50}} \times 8 = {57.6^0}
70 নম্বরের জন্য কোণের পরিমান \frac{{{{360}^0}}}{{50}} \times 11 = {79.2^0}
75 নম্বরের জন্য কোণের পরিমান \frac{{{{360}^0}}}{{50}} \times 15 = {108^0}
80 নম্বরের জন্য কোণের পরিমান \frac{{{{360}^0}}}{{50}} \times 8 = {57.6^0}
85 নম্বরের জন্য কোণের পরিমান \frac{{{{360}^0}}}{{50}} \times 3 = {21.6^0}

pi shape
চিত্র: শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের পাইচিত্র

২০। নিচে একটি সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণিব্যাপ্তি 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69
গণসংখ্যা 10 6 18 12 8

(ক) 7, 5, 4, 9, 3, 8 উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় কর।
(খ) প্রদত্ত সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।
(ঘ) উপাত্তগুলোর আয়তলেখ আঁক।

সমাধান (ক) :
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই, 3, 4, 5, 7, 8, 9
এখানে, মোট উপাত্তের সংখ্যা, n = 6, যা জোড় সংখ্যা


.        = \frac{{5 + 7}}{2}
.        = \frac{{12}}{2}
.        = 6  (উত্তর)

সমাধান (খ):
গড় নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি শ্রেণির মধ্যবিন্দু ({{x_i}}) গণসংখ্যা ({{f_i}}) শ্রেণির মধ্যবিন্দু × গণসংখ্যা ({{x_i}f})
20-29 24.5 10 245
30-39 34.5 6 207
40-49 44.5 18 801
50-59 54.5 12 654
60-69 64.5 8 516
মোট   n = \sum {{f_i} = 54} \sum {{x_i}{f_i}}  = 2423

\therefore নির্ণেয় গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{2423}}{{54}} = 44.87  (উত্তর)

সমাধান (গ):
আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণিসীমা অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।
আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিব্যাপ্তি গণসংখ্যা
20-29 19.5-29.5 10
30-39 29.5-39.5 6
40-49 39.5-49.5 18
50-59 49.5-59.5 12
60-69 59.5-69.5 8

ছক কাগজের X-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিব্যাপ্তির দুই একক ধরে এবং Y-অক্ষ বরাবর প্রতি এক ঘরকে গণসংখ্যার এক একক ধরে আয়তলেখ অঙ্কন করি। X-অক্ষের উপর মূলবিন্দু থেকে 19.5 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

২১। নিচে 40 জন গৃহিনীর সাপ্তাহিক সঞ্চয় (টাকায়) দেওয়া হলো:
155, 173, 166, 143, 168, 160, 156, 146, 162, 158, 159, 148, 150, 147, 132, 136, 154, 140, 155, 145, 135, 151, 141, 169, 140, 125, 122, 140, 137, 175, 145, 150, 164, 142, 156, 152, 146, 148, 157, ও 167
(ক) উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজাও।
(খ) মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় কর।
(গ) শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করে গড় নির্ণয় কর।


সমাধান (ক):
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজালে পাই-
122, 125, 132, 135, 136, 137, 140, 140, 140, 141, 142, 143, 145, 145, 146, 146, 147, 148, 148, 150, 150, 151, 152, 154, 155, 155, 156, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 164, 166, 167, 168, 169, 173, 175

সমাধান (খ):
এখানে, গৃহিণীর সংখ্যা, n = 40, যা জোড় সংখ্যা

.                    = \frac{{150 + 150}}{2}         
.                    = \frac{{300}}{2}
.                    = 150

প্রচুরক: প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে দেখা যায় যে, 140 সংখ্যাটি সর্বাধিক তিনবার আছে, 145, 146, 148, 150, 155, ও 156 সংখ্যাগুলো দুইবার করে আছে এবং বাকি সংখ্যাগুলো একবার করে আছে।
\therefore নির্ণেয় প্রচুরক = 140   (উত্তর)

সমাধান (গ):
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ সংখ্যা = 175 এবং সর্বনিম্ন সংখ্যা = 122
\therefore উপাত্তগুলোর পরিসর = 175 - 122 + 1= 54

শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে শ্রেণিসংখ্যা = \frac{{54}}{5} = 10.8 \approx 11 টি

শ্রেণিব্যাপ্তি শ্রেণি মধ্যমান ({{x_i}}) গণসংখ্যা ({{f_i}}) {{x_i}{f_i}}
121-125 123 2 246
126-130 128 0 0
131-135 133 2 266
136-140 138 5 690
141-145 143 5 715
146-150 148 7 1036
151-155 153 5 765
156-160 158 6 948
161-165 163 2 326
166-170 168 4 672
171-175 173 2 346
মোট   n = \sum {{f_i}}  = 40 \sum {{x_i}{f_i}}  =   6010

\therefore নির্ণেয় গড় = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}{f_i}} }}{n} = \frac{{6010}}{{40}} = 150.25 টাকা (উত্তর)

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here