Class eight math solution

চতুর্ভুজ সম্পর্কিত প্রয়োজনীয় তথ্য

চতুর্ভুজ: চারটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
চতুর্ভুজ ক্ষেত্র: চতুর্ভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ ক্ষেত্র বলে।

চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহু: কোনো চতুর্ভুজের যে বাহু দুইটি একই শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয় তাদেরকে সন্নিহিত বাহু বলে।

চতুর্ভুজের কর্ণ: চতুর্ভুজের বিপরীত বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে কর্ণ বলা হয়।

চতুর্ভুজের পরিসীমা: চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে এর পরিসীমা বলে।

চতুর্ভুজের প্রতীক: চতুর্ভুজকে অনেক সময় ‘ \square ’ প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয় ।

সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে। সামান্তরিকের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে সামান্তরিক ক্ষেত্র বলে।

সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য:

  • সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
  • সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।
  • সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

নোট: বর্গ, আয়ত ও রম্বসকেও সামান্তরিক বলা হয়।

আয়ত: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়ত বলে।

আয়ত এর বৈশিষ্ট্য:

  • আয়তের সন্নিহিত বাহুগুলো সমান নয়।
  • আয়তের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান।
  • আয়তের কর্ণদ্বয় সমান এবং এরা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিক করে।

বর্গ: যে চতুর্ভুজের সবগুলো বাহু সমান এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে।

বর্গ এর বৈশিষ্ট্য:

  • বর্গের চারটি বাহু সমান এবং প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
  • বর্গের কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

রম্বস: যে চতুর্ভুজের সবগুলো বাহু সমান ও সমান্তরাল তাকে রম্বস বলে।

রম্বস এর বৈশিষ্ট্য:

  • রম্বসের বাহুগুলো সব সমান এবং বিপরীত কোণগুলো সমান।
  • রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ঘুড়ি: যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তাকে ঘুড়ি বলে।

**বিভিন্ন ধরনের চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্যগুলোর মধ্যে তুলনামূলক আলোচনা:

বাহুর ক্ষেত্রে:
* সামান্তরিক ও আয়তের বিপরীত বাহুগুলো সমান।
* রম্বস ও বর্গের চারটি বাহুই সমান।

কোণের ক্ষেত্রে:
* আয়ত ও বর্গের কোণগুলো সমান।
* রম্বস ও সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।

কর্ণের ক্ষেত্রে:
* আয়ত ও বর্গের কর্ণদ্বয় সমান।
* সামান্তরিক ও আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
* রম্বস ও বর্গের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

চতুর্ভুজ সম্পর্কে আরো কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:
* সকল রম্বস সামান্তরিক কিন্তু সকল সামান্তরিক রম্বস নয়।
* সকল আয়ত সামান্তরিক কিন্তু সকল সামান্তরিক আয়ত নয়।
* সকল বর্গই সামান্তরিক কিন্তু সকল সামান্তরিক বর্গ নয়।
* সকল বর্গই রম্বস কিন্তু সকল রম্বসই বর্গ নয়।
* সকল বর্গই আয়ত কিন্তু সকল আয়ত বর্গ নয়।
* সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে তা একটি আয়ত।
* চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ।
* সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু সমান হলে তা একটি রম্বস।
* আয়তের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুসমূহের যোগে যে চতুর্ভুজ হয় তা একটি রম্বস।

ত্রিভুজের সর্বসমতার ধারণা:

ত্রিভুজের সর্বসমতা: একটি ত্রিভুজকে যদি অন্য একটি ত্রিভুজের উপর সম্পূর্ণরূপে স্থাপন করা যায়, অর্থাৎ ত্রিভুজদ্বয়ের শীর্ষবিন্দুসমূহ মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।
বি.দ্র: সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।

ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্ত: দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হতে হলে কিছু শর্ত রয়েছে, শর্তগুলো নিম্নরূপ:
শর্ত-১: (বাহু-বাহু-বাহু)
যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম।

শর্ত-২ (বাহু-কোণ-বাহু)
যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম।

শর্ত-৩ (কোণ-বাহু-কোণ)
যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও কোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও কোণ সংলগ্ন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।

অনুশীলনী-৮.১ এর সমাধান
১। সামান্তরিকের জন্য নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) বিপরীত বাহুগুলো অসমান্তরাল 
(খ) একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত
(গ) বিপরীত বাহুদ্বয় অসমান            
(ঘ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান
উত্তর: (খ)  একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত

২। নিচের কোনটি রম্বসের বৈশিষ্ট্য ? [ঢা.বো: ২০১৭]
(ক) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান               (খ) প্রত্যেক কোণই সমকোণ
(গ) বিপরীত কোণদ্বয় অসমান            (ঘ) প্রত্যেকটি বাহুই সমান
উত্তর: (ঘ) প্রত্যেকটি বাহুই সমান

৩।
i.চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ
ii.আয়তের দুইটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে তা একটি বর্গ
iii.প্রত্যেকটি রম্বস একটি সামান্তরিক
উপরের তথ্য অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii    (খ) i ও iii (গ) ii ও iii      (ঘ) i,ii ও iii
উত্তর: (ঘ) i,ii ও iii

৪। PAQC চতুর্ভুজের PA = CQ এবং PA\parallel CQ. \angle A\angle C সমদ্বিখন্ডক যথাক্রমে ABCD হলে, ABCD ক্ষেত্রটির নাম কী?


(ক) সামান্তরিক    (খ) রম্বস
(গ) আয়ত        (ঘ) বর্গ
উত্তর: (ক) সামান্তরিক

৫।


দেওয়া আছে,
\Delta ABC এর মধ্যমা BO কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BO = OD হয়।
প্রমান করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

সমাধান:
বিশেষ নির্বচন: মনেকরি, \Delta ABC এর মধ্যমা BOBO কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BO = OD হয়।
প্রমান করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন: C, D এবং D, A যোগ করি।

প্রমাণ:
\Delta COD এবং \Delta AOB এর মধ্যে
BO = OD  [দেওয়া আছে]
OA = OC  [\because BO মধ্যমা বলে AC বাহুকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে]
এবং \angle AOB = \angle COD     [বিপ্রতীপ কোণ]
\therefore \Delta COD \cong \Delta AOB    [ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
\therefore \angle DCO = \angle BAO
বা, \angle DCA = \angle BAC

কিন্তু এখানে, AB ও CD বাহু AC বাহুকে ছেদ করে এবং \angle DCA\angle BAC একান্তর কোণ।
\therefore CD\parallel AB

অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে,
\Delta AOD \cong \Delta BOC
\therefore \angle ADO = \angle OBC
বা, \angle ADB = \angle CBD

কিন্তু এখানে,
AD ও BC বাহুদ্বয়ের ছেদক BD এবং \angle ADB\angle CBD একান্তর কোণ।AD\parallel BC

এখন যেহেতু ABCD চতুর্ভুজে AB\parallel CDAD\parallel BC

সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক।
.                                        (প্রমাণিত)                   

৬। প্রমান কর যে, সামান্তরিকের একটি কর্ণ একে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।


সমাধান:
বিশেষ নির্বচন: মনেকরি, ABCD সামান্তরিকের DB একটি কর্ণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, \Delta ABD \cong \Delta DBC
প্রমাণ:
যেহেতু কর্ণ DB সামান্তরিকটিকে \Delta ABD\Delta DBC দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\Delta ABD\Delta DBC এর মধ্যে,
AD = BC    [\because সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান]
AB = CD   [\because সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান]
এবং \angle DAB = \angle BCD  [\because সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান]

\therefore \Delta ABD \cong \Delta DBC  [ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

সুতরাং, সামান্তরিকের একটি কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে । (প্রমাণিত)

৭। প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে তা একটি সামান্তরিক।


সমাধান:
বিশেষ নির্বচন: মনেকরি, ABCD চতুর্ভুজের AB = CDAB\parallel CD এবং AD = BCAD\parallel BC
প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন: D,B যোগ করি।

প্রমাণ:
AB\parallel CD এবং BD এদের ছেদক,
\angle ABD = \angle CDB   [একান্তর কোণ] ………(i)
AD\parallel BC এবং BD এদের ছেদক,
\angle CBD = \angle ADB   [একান্তর কোণ]………(ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে,
\angle ABD + \angle CBD = \angle CDB + \angle ADB
বা, \angle ABC = \angle ADC  [সন্নিহিত কোণ]

যেহেতু, ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু ও বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
অতএব, ABCD একটি সামান্তরিক।
.                                 (প্রমাণিত)

৮। প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে তা একটি আয়ত।
সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনেকরি, ABCD একটি সামান্তরিক এর ACBD দুইটি কর্ণ। AC = BD হলে প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি আয়ত।

প্রমাণ:
(১)\Delta ABC এবং \Delta BAD এর মধ্যে
AC = BD       [দেওয়া আছে]
AD = BC       [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
AB = AB       [সাধারণ বাহু]
\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD   [ত্রিভুজের বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
\therefore \angle BAD = \angle ABC

(২)\angle BCD = \angle BAD        [সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান]
এবং \angle ADC = \angle ABC

(৩)\angle BCD + \angle BAD + \angle ADC + \angle ABC = 4 সমকোণ  [সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান]
বা, \angle BAD + \angle BAD + \angle ABC + \angle ABC= 4 সমকোণ  [\because \angle BCD = \angle BAD,\angle ADC = \angle ABC]
বা, 2\angle BAD + 2\angle ABC= 4 সমকোণ
বা, 2(\angle BAD + \angle ABC)=4 সমকোণ
বা, \angle BAD + \angle ABC=\frac{4}{2} সমকোণ
বা, \angle BAD + \angle ABC=2 সমকোণ
বা, \angle ABC + \angle ABC = 2 সমকোণ  [\because \angle BAD = \angle ABC]
বা, 2\angle ABC= 2 সমকোণ
বা, \angle ABC=1 সমকোণ

অতএব, ABCD একটি আয়ত (প্রমাণিত)   [\because সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তা একটি আয়ত]

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here