BCS Preparation
BCS Preparation



https://bit.ly/2KFDuu9

গুণনীয়ক : গুণনীয়কের অপর নাম উৎপাদক।
একটি সংখ্যা যে সকল সংখ্যা দ্বারা নিংশেষে বিভাজ্য সে সকল সংখ্যাকে প্রথম সংখ্যাটির গুণনীয়ক বলে।

মনে করি, একটি সংখ্যা 16

16 সংখ্যাটি 1, 2, 4, 8 ও 16 দ্বারা নি:শ্বেষে বিভাজ্য

সুতরাং 16 এর গুণনীয়কগুলো হলো 1, 2, 4, 8 ও 16

গুণিতক:
একটি সংখ্যার সাথে স্বাভাবিক সংখ্যা  দ্বারা গুন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় সেগুলো প্রদত্ত সংখ্যাটির গুণিতক।

মনেকরি, একটি সংখ্যা 5

এবং আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যা 1, 2, 3, 4, 5 ,… … …. ….

5 \times 1 = 55 \times 2 = 10,  5 \times 3 = 155 \times 4 = 205 \times 5 = 25 ইত্যাদি।

তাহলে 5 এর গুণিতক হবে 5, 10, 15, 20, 25 ইত্যাদি

মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাগুলো শুধুমাত্র 1 এবং ঐ সংখ্যা নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নি:শ্বেষে বিভাজ্য নয় সে সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা।

যেমন: 5 সংখ্যাটিকে 1 এবং 5 ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নি:শ্বেষে ভাগ করা যায় না তাই 5  একটি মৌলিক সংখ্যা।

এধরণের আরো মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে 7, 11, 13, 17, 19 ইত্যাদি।

গ.সা.গু  বা গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (Highest Common Factor): প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু বলা হয়।

ধরি, 36,40 ও  48 এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে-

প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গুননীয়কগুলো বের করি,

36 এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে-1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

40 এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে-1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

এবং 48 এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে-1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,16,24

তাহলে 36, 40 ও 48 এর সাধারণ গুণনীয়ক হবে -1, 2, 4

এই সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে গরিষ্ঠ বা বড় সংখ্যাটি হচ্ছে 4

সুতরাং 36, 40 ও 48 এর  গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক হবে বা গ.সা.গু=   4

গ.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি: সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে গ.সা.গু নির্ণয় করা হয়। ১. উৎপাদক পদ্ধতি    ২. প্রচলিত ভাগ পদ্ধতি

১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি: 

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু হচ্ছে সংখ্যাগুলোর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর ধারাবাহিক গুনফল।

মনেকরি, 36, 40, 48 এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে,

36, 40, 48 এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো বের করি,

36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3

40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5

48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3

সংখ্যাগুলোর গুণনীয়কগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যাচ্ছে দুইটা 2 তিনটি সংখ্যার গুণনীয়কগুলোর মধ্যেই আছে, আর অন্য কোনো সংখ্যা তিনটির মধ্যে নেই।

তাই 2 \times 2 = 4

সুতরাং 36, 40, 48 এর গ.সা.গু 4

 

২. প্রচলিত ভাগ পদ্ধতি: 

মনে করি, 36,40 ও  48 এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে-

প্রথমে 36 দ্বারা 40 কে ভাগ করতে হবে এবং ভাগশেষ শূন্য না হওয়া পর্যন্ত ভাগ করতে হবে,

 

 

 

এখন 4 দ্বারা 48 কে ভাগ করতে হবে,

4)48(12                                                                                              48                                                                                                    0

সুতরাং 36,40 ও  48 এর গ.সা.গু = 4

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু (Lowest Common Multiple):

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু বলা হয়।

ধরি, 6, 8, ও 12  এর ল.সা.গু বের করতে হবে-

6 এর গুণিতকগুলো হচ্ছে-6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72…… …                                                                                          8 এর গুণিতকগুলো হচ্ছে- 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ….  এবং 12 এর গুণিতকগুলো হচ্ছে-12, 24, 36, 48, 60, 72, ….. ….. …

এখানে 6, 8, ও 12  এর সাধারণ গুণিতকগুলো হচ্ছে  24, 48, 72, ….. …..

এই সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে লঘিষ্ঠ বা ছোট সংখ্যাটি হচ্ছে 24

সুতরাং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক হবে  24

সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে ল.সা.গু নির্ণয় করা হয়। ১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি     ২.ইউক্লিডীয় পদ্ধতি

১. মৌলিক  উৎপাদক পদ্ধতি: 

ধরি, 6, 8, ও 12  এর ল.সা.গু বের করতে হবে-

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করি,

6 = 2 \times 3

8 = 2 \times 2 \times 2

12 = 2 \times 2 \times 3

লক্ষ্য করো, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদকে 2 আছে সর্বাধিক তিনবার, 3 আছে সর্বাধিক  একবার। তাহলে 2 তিনবার এবং 3 একবার নিয়ে ধারাবাহিক গুন করলে সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু পাওয়া যাবে।

অর্থাৎ 2 \times 2 \times 3 = 24

সুতরাং 6, 8, ও 12 এর ল.সা.গু 24

২. ইউক্লিড পদ্ধতি:

ধরি, 6, 8, ও 12  এর ল.সা.গু বের করতে হবে-

সুতরাং 6, 8, ও 12  এর ল.সা.গু 24

***দুটি সংখ্যার  গ.সা.গু  ও ল.সা.গু এর গুণফল সংখ্যাদুটির গুণফলের সমান।

যেমন: 15 ও 20 দুটি সংখ্যা হলে,

এই সংখ্যাদুটির গ.সা.গু =5 এবং ল.সা.গু=60

তাহলে সংখ্যাদুটির গ.সা.গু ও ল.সা.গু এর গুণফল=5×60=300

আবার, প্রদত্ত সংখ্যাদুটির গুণফল=15×20=300

অর্থাৎ দুটি সংখ্যার গুণফল=সংখ্যাদুটির গ.সা.গু×সংখ্যাদুটির ল.সা.গু

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল 500 এবং সংখ্যাদুটির ল.সা.গু 100 হলে, সংখ্যাদুটির গ.সা.গু কত হবে? 

সমাধান: আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল=সংখ্যাদুটির গ.সা.গু×সংখ্যাদুটির ল.সা.গু

বা, সংখ্যাদুটির গ.সা.গু= 

বা, সংখ্যাদুটির গ.সা.গু= {{500} \over {100}}=5

সুতরাং সংখ্যাদুটির গ.সা.গু  5

সারসংক্ষেপ:
*প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু বলা হয়
*প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু বলা হয়
*দুটি সংখ্যার গুণফল=সংখ্যাদুটির গ.সা.গু×সংখ্যাদুটির ল.সা.গু

উদাহরণ:

১। দুটি সংখ্যার গুণফল 3380 এবং গ.সা.গু 13. সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত? [৩৬তম বিসিএস]

২। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু 7700. একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি-[৩৫তম বিসিএস]

৩। কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে 2 যোগ করলে যোগফল 12, 18 এবং 24 দ্বারা বিভাজ্য হবে? [৩০তম বিসিএস]

৪। Which of the following integers has the most divisors? [২৯তম বিসিএস]

৫। 2002 সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু নয়? [২৪তম বিসিএস (বাতিল)]

৬। 999999-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল 2, 3, 4, 5 এবং 6 দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য হবে? [২১তম বিসিএস]

৭। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 3, 5ও 6 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে 1 ? [১৭তম বিসিএস]

৮। দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. , বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে 12,60 এবং 2448. সংখ্যা দুটি কত? [১৭তম বিসিএস]

৯। কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে 3 যোগ করলে যোগফল 24, 36 এবং 48 দ্বারা বিভাজ্য হবে? [১৬তম বিসিএস]

১০। দুটি সংখ্যার গুনফল 1536. সংখ্যা দুটির ল.সা.গু 96 হলে গ.সা.গু কত? [১০তম বিসিএস]