অন্তরীকরণ
এইচ.এস.সি
লিমিটের বিশেষ সূত্রাবলি:
1. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}} = 1

2. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = 1

3. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1

4. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1

5. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x} = n

6. \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}

7. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + n)^{\frac{1}{n}}} = e

HSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নোত্তর

01. {d \over {dx}}\left( {\cos \sqrt x } \right)  এর মান কোনটি?  [ঢা.বো.১৭]

(ক) - \sin \sqrt x           (খ)- {{\sin \sqrt x } \over {2\sqrt x }}

(গ)- {{\sin \sqrt x } \over {\sqrt x }}        (ঘ) {{\sin \sqrt x } \over {2\sqrt x }}

উত্তর: (খ) - {{\sin \sqrt x } \over {2\sqrt x }} 

02. y = {e^{\sqrt x }} হলে , {y_1} =  কত?   [রা.বো.১৭]

(ক) {e^{\sqrt x }}          (খ) 2\sqrt x {e^{\sqrt x }}

(গ){{{e^{\sqrt x }}} \over {2\sqrt x }}       (ঘ) {{\sqrt x {e^{\sqrt x }}} \over 2}

উত্তর:  (গ) {{{e^{\sqrt x }}} \over {2\sqrt x }} 

03.  \,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\,\,{{2{x^2}} \over {3{x^2} - 4}} এর মান কত?  [রা.বো.১৭] 

(ক) - {1 \over 4}        (খ)  0            (গ){2 \over 3}       (ঘ) 1

উত্তর: (গ) {2 \over 3}   

04.  x এর কোন মানের জন্য  f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - {5 \over 2}{x^2} + 6x - 1এর চরম মান পাওয়া যাবে? [রা.বো.১৭]

(ক) -2,-3           (খ) -2,3               (গ) 2,-3               (ঘ) 2,3

উত্তর: (ঘ) 2,3

05. \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{4 + 3x - {x^2}} \over {7 + 2x + 3{x^2}}}  এর সঠিক মান কোনটি?  [দি.বো.১৭]

(ক){4 \over 7}     (খ){3 \over 2}   (গ) - {1 \over 3}   (ঘ)  {1 \over 3}

উত্তর : (গ) - {1 \over 3}

06.  y = {x^2} - x + 1 বক্ররেখার (2,3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি?  [দি.বো.১৭]

(ক) 3        (খ) -3           (গ) {1 \over 3}     (ঘ) - {1 \over 3}

উত্তর: (ঘ) - {1 \over 3}

07.  {{{d^n}} \over {d{x^n}}}\left( {{x^n}} \right) এর মান কোনটি? [দি.বো.১৭]

(ক) n!           (খ) x          (গ)     1       (ঘ) 0

উত্তর: (ক) n!

08.  x- এর সাপেক্ষে {e^{{{\sin }^2}x}}  এর অন্তরজ কোনটি? [কু.বো.১৭]

(ক) {e^{{{\sin }^2}x}}\sin 2x       (খ) 2{e^{{{\sin }^2}x}}\sin x

(গ)  - {e^{{{\sin }^2}x}}\sin 2x      (ঘ) {e^{{{\sin }^2}x}}

উত্তর: (ক) {e^{{{\sin }^2}x}}\sin 2x   

09. {d \over {dx}}\left( {{5^x}} \right) = কত?    [চ.বো.১৭]

(ক) x{5^{x - 1}}      (খ)  {5^x}In{5^x}     (গ) {5^x}In5    (ঘ) xIn5

উত্তর: (গ) {5^x}In5

10.  {d \over {dx}}{\log _2}x  এর মান  কত? [সি.বো.১৭]

(ক) {1 \over x}      (খ){2^x}   (গ){1 \over {2Inx}}    (ঘ) {1 \over {xIn2}}

উত্তর: (ঘ)  {1 \over {xIn2}}

11. \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{{3^{x + 1}} - {3^{ - x}}} \over {{{4.3}^x} + {3^{ - x}}}}  এর মান কত? [সি.বো.১৭]

(ক){1 \over 4}        (খ) {3 \over 4}       (গ)  1      (ঘ) \infty

উত্তর: (খ) {3 \over 4}

12.  {d \over {dx}}\left( {{a^{10}}} \right) এর মান  কোনটি?  [য.বো. ১৭]

(ক) {a^{10}}Ina     (খ) 10{a^9}        (গ) {a^{10}}       (ঘ)  0

উত্তর: (ঘ) 0

13. নিচের কোনটি অসীম লিমিট?  [ব.বো.১৭]

(ক)  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,{1 \over {{x^3}}}   (খ)  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{1 \over {{x^3}}}   (গ) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,{e^x}    (ঘ) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,{e^{ - x}}

উত্তর: (ক) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,{1 \over {{x^3}}}

14. {d \over {dx}}\left( {\sqrt {1 + \sin 2x} /\sin x + \cos x} \right) =?  [ব.বো.১৭]

(ক) 1           (খ) 0             (গ)  2sin2x          (ঘ) 2cos2x

উত্তর: (খ) 0

15. f(x) ফাংশন  x = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে- 

i. f(a)  \pm 1  সংজ্ঞায়িত হয়

ii.  \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \,\,\,f\left( x \right) বিদ্যমান থাকে

iii. \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \,\,\,f\left( x \right) = f\left( a \right)  হয়

নিচের কোনটি সঠিক?   [য.বো.১৭]

(ক) i ও ii             (খ) i ও iii               (গ) ii ও iii              (ঘ)  i, ii ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii

16.  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,{{f\left( {{\pi  \over 2} - 3x} \right)} \over {3x}} = কত?   [চ.বো.১৭]

(ক) -1           (খ) 0            (গ) 1             (ঘ) \infty

উত্তর:  (গ) 1

17. f'''\left( {{\pi  \over 3}} \right) = কত?

(ক) - {{\sqrt 3 } \over 2}     (খ) - {1 \over 2}     (গ)  {1 \over 2}  (ঘ)  {{\sqrt 3 } \over 2}

উত্তর:  (ঘ) {{\sqrt 3 } \over 2}

◘  নিচের উদ্দীপকের আলোকে পরবর্তী দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 

f(x) = In 2x

18. f(x) বক্ররেখার  x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের  ঢাল কোনটি?  [য.বো.১৭]

(ক){1 \over 4}     (খ)  {1 \over 2}      (গ)  2          (ঘ)4

উত্তর: (খ) {1 \over 2}  

19.  \int_{}^{} {f\left( x \right)dx} এর মান কোনটি?  [য.বো.১৭]

(ক){1 \over {2x}} + C     (খ)  {1 \over x} + C

(গ) xIn2x + x + C             (ঘ) xIn2x - x + C

উত্তর: (ঘ) xIn2x - x + C

20. x  এর কোন মানের জন্য  y = x + {1 \over x} বক্ররেখার ঢাল শুন্য?  [রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা]

(ক) 1                (খ) \pm 1      (গ) \pm {3 \over 2}     (ঘ)\pm 2

উত্তর: (খ) \pm 1