ssc-http://www.onlinemathacademy.org

উচ্চতর গণিত
SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. যদি lo{g_x}\sqrt {{1 \over {27}}}  =  - {3 \over 2} হয়, তবে x এর মান কত? [ঢা.বো. ১৭]

(a) – 3               (b) - {3 \over 2}             (c) {3 \over 2}                  (d) 3

উত্তর: (d) 3

২. {\log _{\sqrt 2 }}4 \times {\log _{\sqrt 3 }}3 এর মান কত? [রা.বো. ১৭]

(a) 4               (b) 6              (c) 8                   (d) 12

উত্তর: (c) 8  

৩. f(x) = 1 - {3^{ - x}} এর বিপরীত ফাংশন কোনটি? [দি.বো. ১৭]

(a) {\log _3}(x - 1)               (b) {\log _3}(1 - x)

(c) {\log _3}\left( {{1 \over {1 - x}}} \right)

(d) {\log _3}\left( {{1 \over {x - 1}}} \right)

উত্তর: (c) {\log _3}\left( {{1 \over {1 - x}}} \right)  

৪. f(x) - In{{7 + x} \over {7 - x}} এর ডোমেন নিচের কোনটি? [কু.বো. ১৭]

(a) (0,7)              (b) ( - 7,7)             (c) [ - 7,7]                  (d) [0,7]

উত্তর: (b) ( - 7,7)

৫. lo{g_x}3 + {\log _x}81 = 5 হলে, x এর মান কত? [কু.বো. ১৭]

(a) 3               (b) 9              (c) 27                   (d) 81

উত্তর: (a) 3

৬. {7^{^{_x}}} = y হলে, কোনটি সঠিক? [চ.বো. ১৭]

(a) x = 7\log y                     (b) x = \log {y \over 7}

(c) x = {\log _y}7                  (d) x = {\log _7}y

উত্তর: (d) x = {\log _7}y

৭. {\log _x}a \times {\log _a}b \times {\log _b}c \times {\log _c}y = কত? [ব.বো. ১৭]

(a) {\log _y}x              (b) {\log _x}y

(c) \log y                      (d) {\mathop{\rm logx}\nolimits}

উত্তর:  (b) {\log _x}y

৮. f(x) = {2^x} ফাংশনের জন্য যদি x \to \infty হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? [ব.বো. ১৭]

(a) f(x) \to 0                               (b) f(x) \to 1

(c) f(x) \to  - \infty                  (d) f(x) \to \infty

উত্তর: (d) f(x) \to \infty

৯. নিচের কোনটি সূচক ফাংশন? [ব.বো.১৭]

(a) f(x) = 2x                                   (b) f(x) = {2^x}

(c) f(x) = {2 \over x}                  (d) f(x) = {x \over 2}

উত্তর: (b) f(x) = {2^x}

১০. যদি {\log _{\sqrt 8 }}x = 3{1 \over 3} হয়, তবে x এর মান কত? [য.বো. ১৬]

(a) 32               (b) 16              (c) 8                   (d) 64

উত্তর: (a) 32

১১. f(x) = \left| x \right| এর ডোমেন নিচের কোনটি? [দি.বো. ১৬]

(a) \{ x \in {\Cal R}:x < 0\}                        (b) {\Cal R} +

(c) \{ x \in {\Cal R}:x \geqslant 0\}      (d) {\Cal R}

উত্তর: (d) {\Cal R}

১২. যদি lo{g_{\sqrt 8 }}x = 5{1 \over 3} হয় তবে x এর মান কত? [ব.বো. ১৬]

(a) 256               (b) {{128} \over 3}             (c) 32                   (d) 8

উত্তর: (a) 256

১৩. {a^{^{_x}}} = y হলে নিচের কোনটি সঠিক? [রা.বো. ১৬; রা.বো. ১৫; ন.প্র.দি.বো.]

(a) a = {\log _x}^y                (b) y = {\log _a}^x

(c) x = {\log _a}^y                  (d) x = {\log _y}^a

উত্তর: (c) x = {\log _a}^y 

১৪. যদি {a^x} = n হয়, তবে x = কত? [চ.বো. ১৬]

(a) {\log _n}a                         (b) {\log _a}n

(c) {\log _a}{1 \over a}                  (d) {\log _a}{1 \over n}

উত্তর: (b) {\log _a}^n 

১৫. {p^x} = y হলে, নিচের কোনটি সঠিক? [ঢা.বো.১৬]

(a) p = {\log _x}y                (b) x = {\log _p}y

(c) x = {\log _y}p                  (d) y = {\log _p}x

উত্তর: (b) x = {\log _p}y

১৬. {\log _4}2 + {\log _6}\sqrt {6 = } কত? [দি.বো. ১৬]

(a) {1 \over 2}         (b) {1 \over 3}         (c) {3 \over 2}                (d) 1

উত্তর: (d) 1

১৭. {\log _a}2 + {\log _5}\sqrt {5 = } কত? [কু.বো. ১৬]

(a) {5 \over 6}              (b) {6 \over 5}

(c) {7 \over 2}               (d) {\log _{40}}2\sqrt 5

উত্তর:  (a) {5 \over 6}

১৮. {\log _{\sqrt 2 }}16\sqrt 2  = কত? [ঢা.বো. ১৫]

(a) 2\sqrt 2              (b) 4              (c) 8                   (d) 9

উত্তর:  (d) 9

১৯. {\log _5}\left( {{1 \over {25}}} \right) এর মান কত? [কু.বো. ১৫]

(a) 5               (b)  – 5              (c) 2                   (d) – 2

উত্তর: (d) – 2

২০.  M = 1 + {\log _p}qr হলে, {p^M} = কত? [য.বো. ১৫]

(a) p + qr              (b) 1 + qr             (c) pqr                  (d) qr

উত্তর: (c) pqr

২১. {\log _a}\,{\log _a}\,{\log _a}({a^{{a^a}}}) এর মান কত? [দি.বো. ১৫]

(a) 0               (b) 1              (c) a                  (d) – 1

উত্তর: (b) 1

২২. lo{g_b}m.lo{g_a}b = কত? [রা.বো. ১৫]

(a) {\log _a}m                     (b) lo{g_b}m

(c) lo{g_b}a                          (d) {\log _m}b

উত্তর: (a) {\log _a}m  

২৩. F(x) = {1 \over x} এর ডোমেন কোনটি? [সি.বো. ১৫]

(a) {\Cal R} \setminus \{ 0\}              (b) {\Cal R}

(c) {{\Cal R}_ + }                                        (d) {{\Cal R}_ - }

উত্তর: (a) {\Cal R} \setminus \{ 0\} 

২৪. f(x) = {x \over {\left| x \right|}} ফাংশনটির ডোমেন কত? [রা.বো. ১৫]

(a) \{ 0\}         (b) \{  - 1,1\}     (c) {\Cal R} - \{ 0\}       (d) {\Cal R}

উত্তর:  (c) {\Cal R} - \{ 0\}

২৫. y = {3^x} ফাংশনের-

i. ডোমেন = ( - \infty ,\infty )

ii. রেঞ্জ = (0,\infty )

iii. ‍বিপরীত ফাংশন = {\log _x}3

নিচের কোনটি সঠিক? [কু. বো.১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

২৬. যদি {a^x} = b হয়, যখন a > 0,x \in {\Bbb N} তবে-

i. {\log _a}b = x

ii. {\log _a}{a^b} = b

iii. ‍{\log _a}b = {\log _3}b \times {\log _a}3

নিচের কোনটি সঠিক? [সি. বো.১৭; ব.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

২৭. যদি a,b,x > 0 এবং a \ne 1,b \ne 1 হয় তবে,

i. {\log _{\sqrt a }}a \times {\log _{\sqrt b }} \times {\log _{\sqrt c }}c = 8

ii. \log \frac{{ab}}{x} = \log a + \log b - \log x

iii. ‍যদি {\log _{\sqrt 8 }}x = 3\frac{1}{3} হয়, তবে x = 32

নিচের কোনটি সঠিক? [য.বো. ১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

২৮. লগারিদমের ক্ষেত্রে-

i. \log (xy) = \log x + \log y

ii. \log (x + y) = \log x + \log y

iii. ‍\log x \times \log y = \log x + \log y

নিচের কোনটি সঠিক? [ব.বো. ১৭]

(ক) i                    (খ) i  ও ii                  (গ) i ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i

২৯.

i. {\log _a}P = {\log _b}P \times {\log _a}b

ii. {\log _a}\sqrt a  \times {\log _b}\sqrt b  \times {\log _c}\sqrt c  = \frac{1}{8}

iii. ‍{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}

নিচের কোনটি সঠিক? [দি.বো. ১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

৩০. যদি m,n,p > 0 এবং m \ne 1,n \ne 1 হয়, তবে-

i. {\log _m}P = {\log _n}P \times {\log _m}n

ii. {\log _m}{\operatorname{P} ^r} = r{\log _m}P

iii. ‍{\log _m}\left( {\frac{P}{Q}} \right) = {\log _m}P + {\log _m}Q

নিচের কোনটি সঠিক? [রা.বো. ১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ) ii ও iii                   (গ) i  ও iii                        (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

৩১. যদি a,b,x > 0 এবং a \ne 1,b \ne 1 হয়, তবে-

i. {\log _{\sqrt a }}a + {\log _{\sqrt b }}b = 4

ii. \log \frac{{ab}}{x} = \log \,a + \log \,b - \log \,x

iii. ‍{a^x} = \root 3 \of {{a^2}}  যখন x = \frac{2}{3}

নিচের কোনটি সঠিক? [সি.বো. ১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

৩২.

i. a \ne 0 হলে a^\circ  = 1 হবে

ii. {\log _{\sqrt a }}a \times {\log _{\sqrt b }}b \times {\log _{\sqrt c }}c = 8 হবে

iii. ‍{2^{2x + 1}} = 243 হলে x = 2 হবে

নিচের কোনটি সঠিক? [দি.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (ক) i  ও ii

৩৩. F(x) = \sqrt {5 - x} ফাংশনটির-

i. ডোমেন = \{ x \in {\Cal R}:x \leqslant 5\}

ii. রেঞ্জ = \{ x \in {\Cal R}:x \geqslant 0\}

iii. ‍ বিপরীত ফাংশন {F^{ - 1}}(x) = \sqrt {x - 5}

নিচের কোনটি সঠিক? [কু.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (ক) i  ও ii

 

বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন-১: P = {X^{a - b}},Q = {X^{b - c}},R = {X^{c - a}}    [ঢা.বো. ১৭]

ক. \log \left( {\frac{P}{R}} \right) = 0 হলে, দেখাও যে, b + c = 2a.

খ. প্রমাণ কর যে, \frac{1}{{1 + Q + {P^{ - 1}}}} + \frac{1}{{1 + R + {Q^{ - 1}}}} + \frac{1}{{1 + P + {R^{ - 1}}}} = 1

গ. প্রমাণ কর যে, (c + a)\log (PQ) + (a + b)\log (QR) + (b + c)\log (PR) = 0

প্রশ্ন-২: A = {p^2} - {3^{\frac{2}{3}}} - {3^{\frac{{ - 2}}{3}}} + 2 এবং f(x) = In(1 + x);x \geqslant 0. [সি.বো. ১৭]

ক. {(25)^x} = {(125)^y} হলে x:y এর মান নির্ণয় কর।

খ. A = 0 হলে দেখাও যে, 3{p^3} + 9p = 8

গ. f(x) এর বর্ণনাসহ লেখচিত্র অঙ্কন কর।

প্রশ্ন-৩: a = {\log _p}(qr),b = {\log _q}(rp),c = {\log _r}(pq) এবং F(x) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6.       [চ.বো. ১৭]

ক. c = 2 হলে প্রমাণ কর যে, r = \sqrt {pq.}

খ. F(x) কে x - u এবং x - y  দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে যেখানে, u \ne v তবে দেখাও যে, {u^2} + {v^2} + uv + 6u + 6v + 11 = 0.

গ. প্রমাণ কর যে,

\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}} = 1.

প্রশ্ন-৪: a = x{y^{p - 1}},b = x{y^{q - 1}},c = x{y^{r - 1}} এবংf(x) = In\frac{{4 + x}}{{4 - x}}        [সি.বো. ১৬]

ক. {(16)^{2x}} = {4^{x + 1}} হলে, x = কত?

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

(q - r){\log _k}a + (r - p){\log _k}b + (p - q){\log _k}c = 0.

গ. f(x) = In\frac{{4 + x}}{{4 - x}} ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৫: {a^x} = {b^y} = {c^z}, যেখানে a \ne b \ne c. [য.বো. ১৫]

ক. যদি {p^{p\sqrt p }} = {(p\sqrt p )^p} হয়, তবে p এর মান নির্ণয় কর।

খ. যদি ab = {c^2} হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{z}.

গ. abc = 1 হলে, প্রমাণ কর যে, \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}.

প্রশ্ন-৬: P = \frac{{{X^a}}}{{{x^b}}},Q = \frac{{{X^b}}}{{{X^c}}} এবং R = \frac{{{X^c}}}{{{X^a}}}    [ব.বো. ১৫]

ক. Q = 1 হলে, দেখাও যে, b = c.

খ. দেখাও যে, {P^{a + b - c}}.{Q^{b + c - a}}.{R^{c + a - b}} = 1.

গ. প্রমাণ কর যে, ({a^2} + ab + {b^2}){\log _k}P + ({b^2} + bc + {c^2}){\log _k}Q + ({c^2} + ca + {a^2}){\log _k}R = 0.