ssc-http://www.onlinemathacademy.org

উচ্চতর গণিত
SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. cos\left( {\frac{{ - 31\pi }}{2}} \right) এর মান কত? [ঢা.বো. ১৭]

(a) 1                                            (b) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

(c) \frac{1}{2}                  (d) \frac{1}{{\sqrt 2 }}

উত্তর:  (c) \frac{1}{2}

২. {\sin ^2}\left( {2\pi  - \frac{\pi }{6}} \right) এর মান নিচের কোনটি? [রা.বো. ১৭]

(a) - \frac{1}{4}              (b) - \frac{1}{2}

(c) \frac{1}{4}                  (d) \frac{1}{2}

উত্তর: (c) \frac{1}{4}

৩. \cos \left( {_ - \frac{{25\pi }}{6}} \right) এর মান কোনটি? [য.বো. ১৭]

(a) \frac{2}{{\sqrt 3 }}              (b) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

(c) \frac{1}{2}                                (d) \frac{1}{{\sqrt 2 }}

উত্তর: (b) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

৪. নিচের কোনটি \tan \left( {\frac{{ - 25\pi }}{6}} \right) এর মান? [ব.বো. ১৭]

(a) – 1                                                         (b) - \frac{1}{{\sqrt 3 }}

(c) \frac{1}{{\sqrt 3 }}                  (d) 1

উত্তর: (b) - \frac{1}{{\sqrt 3 }}   

৫. 520^\circ কোণটি কোন চতুর্ভাগে পড়বে? [রা.বো. ১৬]

(a) ১ম               (b) ২য়              (c) ৩য়                   (d) ৪র্থ

উত্তর: (b) ২য় 

৬. \sin 120^\circ এর মান কত? [ঢা.বো. ১৫, ১৬]

(a) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                 (b) \frac{1}{2}

(c) \frac{1}{{\sqrt 2 }}                  (d) - \frac{1}{2}

উত্তর: (a) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

৭. \sin \left( {2\pi  - \frac{\pi }{3}} \right) এর মান নিচের কোনটি? [রা.বো. ১৬]

(a) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                 (b) \frac{1}{2}

(c)  – \frac{{\sqrt 3 }}{2}                 (d) – \frac{1}{2}<strong>উত্তর: (c)  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}  

৮. \cos \left( {2\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) এর মান নিচের কোনটি? [য.বো. ১৬]

(a) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}              (b) - \frac{1}{{\sqrt 3 }}

(c) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                  (d) \frac{1}{{\sqrt 2 }}

উত্তর: (c) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

৯. {\cos ^2}\frac{\pi }{3} - {\sin ^2}\frac{\pi }{4} এর মান কত? [ঢা.বো. ১৬]

(a) - \frac{1}{4}              (b) - \frac{1}{2}

(c) \frac{1}{2}                  (d) 1

উত্তর: (a) - \frac{1}{4}

১০. \cos (330^\circ ) এর মান কত? [কু.বো. ১৫]

(a) \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}              (b) \frac{{ - 1}}{2}

(c) \frac{1}{2}                                   (d) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

উত্তর: (d) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

১১. কোন সম্পর্কটি সঠিক? [চ.বো. ১৫]

(a) \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}

(b) \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}

(c) \cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}

(d) \operatorname{cosec} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \operatorname{cosec} \frac{\pi }{6}

উত্তর: (c) \cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}

১২.  \tan ( - 1140^\circ ) = কত? [রা.বো. ১৫]

(a) - \sqrt 3                                      (b) - \frac{1}{{\sqrt 3 }}

(c) \frac{1}{{\sqrt 3 }}                  (d) {\sqrt 3 }

উত্তর: (a) - \sqrt 3

১৩.

                              চিত্র

উপরের চিত্রে, \sin A = কত? [ব.বো.১৫]

(a) 0                                             (b) \frac{1}{{\sqrt 2 }}

(c) \frac{1}{2}                  (d) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

উত্তর: (d) \frac{{\sqrt 3 }}{2}

১৪. \theta  = 360^\circ হলে-

i. \cos \left( {\theta  - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}

ii. \cot \left( {\theta  + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3

iii. ‍tan\left( {\theta  - \frac{\pi }{4}} \right) = 1

নিচের কোনটি সঠিক? [দি.বো.১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii 

বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন-১: \sin A + \cos A = P এবং Q = \sec \theta  - \tan \theta . [ঢা.বো. ১৭]

ক. 32'4'' কে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।

খ. P = 1 হলে প্রমাণ কর যে,  \sin A - \cos A =  \pm 1.

গ. Q = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1}} হলে \theta এর মান নির্ণয় কর যেখানে \theta সূক্ষ্মকোণ।

প্রশ্ন-২: A = \sec \theta  + \tan \theta  এবং B = \cos \left( { - \frac{{25\pi }}{6}} \right) [কু.বো. ১৭]

ক. B এর মান নির্ণয় কর।

খ. যদি A = x হয়, তবে দেখাও যে, \sin \theta  = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}

গ. \theta এর সম্ভাব্য মানগুলো নির্ণয় কর যখন A = \sqrt 3 এবং 0 < \theta  < 2\pi

প্রশ্ন-৩: \cot \theta  + \sec \theta  = m. [চ.বো. ১৭]

ক. \operatorname{cosec} \theta  - \cot \theta এর মান নির্ণয় কর।

খ. m = 2 হলে দেখাও যে, \frac{{\sin \theta  - \cos \theta  + 1}}{{\sin \theta  + \cos \theta  - 1}} = \frac{{1 + \sin \theta }}{{\cos \theta }}

গ. m = \sqrt 3 হলে \theta এর মান নির্ণয় কর। যেখানে 0 \leqslant \theta  \leqslant 2\pi .

প্রশ্ন-৪: f(x) - \sin x            [সি.বো. ১৭]

ক. 5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের যে চাপ কেন্দ্রে 60^\circ কোণ উৎপন্ন করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. যদি af(\theta ) + bf\left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = c হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে,

af\left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) - bf(\theta ) =  \pm \sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}.}

গ. সমাধান কর: f(x) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sqrt 2 , যখন 0 \leqslant x \leqslant 2\pi .

প্রশ্ন-৫: 7si{n^2}\theta  + 3{\cos ^2}\theta  = P.   [য.বো. ১৭]

ক. \theta  = \frac{\pi }{4} হলে, P এর মান নির্ণয় কর।

খ. P = 4 হলে, প্রমাণ কর যে, \cot \theta  =  \pm \sqrt {3.}

গ. P = 6 এবং 0 < \theta  < 2\pi হলে, \theta এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৬: A = x\cos \theta এবং B = y\sin \theta, যেখানে 0 < \theta  < 2\pi .                 [ব.বো. ১৭]

ক. {{{A^2}} \over {{x^2}}} + {{{B^2}} \over {{y^2}}} এর মান নির্ণয় কর।

খ. A + B = z হলে, প্রমাণ কর যে,

x\sin \theta  - y\cos \theta  =  \pm \sqrt {{x^2} + {y^2} - {z^2}.}

গ. {x^2} = 3,{y^2} = 7 এবং {A^2} + {B^2} = 4 হলে, \theta এর মান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৭:

চিত্র

                                                                [রা.বো. ১৬]

ক. sec\theta  - এর মান নির্ণয় কর।

খ. x = 1,y = \sqrt 3 হলে প্রমাণ কর যে,

\sin 3\theta  = 3\sin \theta  - 4{\sin ^3}\theta .

গ. \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + x = \sqrt 3 y হলে, \theta এর মান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৮:

                                    চিত্র

চিত্রে O বৃত্তটির কেন্দ্র এবং OM = চাপ MN        [দি.বো. ১৬]

ক. \theta কে ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।

খ. প্রমাণ কর যে, \theta একটি ধ্রুব কোণ।

গ. \theta এর কোন মানের জন্য {{PN} \over {ON}} + {{OP} \over {ON}} = \sqrt 2 হবে, যেখানে 0 < \theta  < 2\pi তা নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৯:

                              চিত্র

[চ.বো. ১৬]

ক.  - 700^\circ এর অবস্থান কোন চতুর্ভাগে আছে, চিত্রসহ নির্ণয় কর।

খ. {\left( {{{AC} \over {BC}}} \right)^2} + {\left( {{{AB} \over {BC}}} \right)^2} = {5 \over 3} হলে \theta এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে,  \sin 2\alpha \,\cos \alpha  = {{2\tan \alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}.

প্রশ্ন-১০:

                                              চিত্র

O কেন্দ্রিক বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।    [সি.বো. ১৬]

ক. \theta এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

খ. \Delta ABCD এর ক্ষেত্রে দেখাও যে,

cos(B + C) = cosB\,cosC - sinB\,sinC.

গ. ABCD যদি একটি বৃত্তাকার চাকা হয় এবং চাকাটি প্রতি সেকেন্ড 10 বার আবর্তিত হয়, তাহলে চাকাটির গতিবেগ ঘন্টায় কত হবে?

প্রশ্ন-১১: মনে কর, P = {{\sin \theta  - \cos \theta  + 1} \over {\sin \theta  + \cos \theta  - 1}} এবং Q = \sec \theta  + \tan \theta

  [ব.বো. ১৬]

ক. \tan 10x = \cot 5x হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, P = Q

গ. যদি Q = \sqrt 3 এবং 0 < \theta  < 2\pi হয় তবে \theta এর মান নির্ণয় কর।