ssc-http://www.onlinemathacademy.org

উচ্চতর গণিত
SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. \sin 3A = \cos 3A, হলে A এর মান কত? [চ.বো. ১৭]

(a) 15^\circ                (b) 20^\circ

(c) 30^\circ                  (d) 40^\circ

উত্তর: (a) 15^\circ  

২.  \cos \theta \frac{4}{5} এবং \theta  সূক্ষ্মকোণ হলে, \operatorname{cosec} \theta এর মান কত? [চ.বো. ১৭]

(a) \frac{3}{5}                 (b) \frac{2}{5}

(c) \frac{5}{3}                  (d) \frac{5}{2}

উত্তর: (c) \frac{5}{3}  

৩. {\sec ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} এর মান কত? [সি.বো. ১৭]

(a) \frac{2}{9}                    (b) \frac{1}{2}

(c) \frac{17}{4}                  (d) \frac{9}{2}

উত্তর: (d) \frac{9}{2}

৪. {\sin ^2}( - \theta ) + {\cos ^2}(\theta ) = কত? [ব.বো. ১৭]

(a) – 1               (b) 0              (c) 1                   (d) অসংজ্ঞায়িত

উত্তর: (c) 1

৫.                           চিত্র

চিত্র হতে \cos \theta এর মান নিচের কোনটি? [রা.বো. ১৬]

(a) \frac{1}{2}                                   (b) \frac{1}{{\sqrt 5 }}

(c) \frac{2}{{\sqrt 5 }}                  (d) \frac{{\sqrt 5 }}{2}

উত্তর: (c) \frac{2}{{\sqrt 5 }}

৬. \cos \theta  =  - \frac{1}{2} এবং \pi  < \theta  \leqslant \frac{{3\pi }}{2} হলে \tan \theta এর মান – [ব.বো. ১৬]

(a) - \sqrt 3        (b) \frac{1}{{\sqrt 3 }}           (c) 1           (d) \sqrt 3

উত্তর: (d) \sqrt 3

৭. \cos \theta  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} হলে  \sin 3\theta = কত? [ব.বো. ১৬]

(a) 0               (b) \frac{{\sqrt 3 }}{2}             (c) \frac{1}{2}                  (d) 1

উত্তর: (d) 1

৮. \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, যেখানে \frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi হলে, \alpha এর মান কত? [সি.বো. ১৬]

(a) \frac{{5\pi }}{6}                 (b) \frac{{2\pi }}{3}

(c) \frac{{7\pi }}{6}                  (d) \frac{{4\pi }}{3}

উত্তর: (a) \frac{{5\pi }}{6}

৯. \cos \theta  + \sin \theta  = \sqrt 2  হলে \theta এর মান কত? [কু.বো. ১৬, রা.বো. ১৫]

(a) 30^\circ          (b) 45^\circ      (c) 60^\circ            (d) 90^\circ

উত্তর: (b) 45^\circ

১০. P = \frac{\pi }{4},Q = \frac{{3\pi }}{4} হলে \cos (P + Q) = কত? [কু.বো. ১৬]

(a) – 1               (b) 0              (c) 0.5                   (d) 1

উত্তর: (a) – 1

১১. \sin \theta  = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2},0 < \theta  < \frac{{3\pi }}{2} হলে, ‘\theta’ এর মান কত? [য.বো. ১৫]

(a) \frac{{5\pi }}{3}                 (b) \frac{{4\pi }}{3}

(c) \frac{{2\pi }}{3}                  (d) \frac{{\pi }}{3}

উত্তর: (b) \frac{{4\pi }}{3}

১২. \sec \theta  + \tan \theta  = 5 হলে, (\sec \theta  - \tan \theta ) এর মান কত? [রা.বো. ১৫]

(a) – 5               (b) - \frac{1}{5}             (c) \frac{1}{5}                  (d) 5

উত্তর: (c) \frac{1}{5}

১৩. 12{\sin ^2}\theta  - 14\sin \theta  + 4 = 0\left[ {0 < \theta  < \frac{\theta }{2}} \right]\theta এর মান কত? [দি.বো. ১৫]

(a) 0^\circ           (b) 30^\circ         (c) 45^\circ        (d) 60^\circ

উত্তর: (b) 30^\circ  

১৪. যদি \cos \theta  = \frac{1}{{\sqrt 2 }} হয়, তবে-

i. {\sec ^2}\theta  = \frac{1}{2}

ii. {\sin ^2}\theta  = \frac{1}{2}

iii. ‍{\tan ^2}\theta  = 1

নিচের কোনটি সঠিক? [ঢা.বো.১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:   (ঘ) i, ii  ও iii

১৫. চিত্র হতে,

i. \tan \theta  = \frac{4}{3}

ii. \cos \theta  = \frac{3}{5}

iii. ‍{\sin ^2}\theta  = \frac{{16}}{{25}}                      চিত্র

নিচের কোনটি সঠিক? [য.বো.১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) ii ও iii                  (গ) i  ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

১৬. যদি \cos \theta  = \frac{b}{a} হয় এবং a > b > 0 হলে [ব.বো. ১৬]

i. {\sin ^2}\theta  = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}

ii. \cot \theta  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}

iii. ‍\cos \theta  - \sec \theta  = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{ab}}

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii  

১৭. {\sin ^2}\theta  - {\cos ^2}\theta  = \cos \theta (যেখানে 0^\circ  \leqslant \theta  \leqslant \pi) হলে-

i. \theta  = \pi

ii. \theta  = \frac{\pi }{3}

iii. ‍\theta  = \frac{{2\pi }}{3}

নিচের কোনটি সঠিক? [ব.বো. ১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii  

১৮. \theta  = 60^\circ হলে- [রা.বো. ১৬]

i. \sin 2\theta  = 2\sin \theta .cos\theta

ii. \sin 3\theta  = 3\sin \theta  - 4{\sin ^2}\theta

iii. ‍{\sec ^2}\theta  - {\tan ^2}\theta  = 1

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (ঘ) i, ii  ও iii

১৯. \sin \theta  + cos\theta  = 1 হলে, \theta এর মান-

i. 0^\circ      ii. 30^\circ        iii. ‍90^\circ

নিচের কোনটি সঠিক? [সি.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (খ) i  ও iii

২০. \sin \theta  = \frac{b}{a} (যেখানে a > b > 0) হলে-

i. \tan \theta  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}

ii.\cot \theta  = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}

iii. ‍\sec \theta  = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}

নিচের কোনটি সঠিক? [কু.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii 

২১. \theta সূক্ষ্মকোণ হলে-

i. {\sin ^2}\theta  + {\cos ^2}\theta  = 1

ii. {\sec ^2}\theta  - {\tan ^2}\theta  = 1

iii. ‍\cos e{c^2}\theta  + {\cot ^2}\theta  = 1

নিচের কোনটি সঠিক? [চ.বো.১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) ii ও iii                  (গ) i  ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: i. {\sin ^2}\theta  + {\cos ^2}\theta  = 1

নিচের তথ্যের আলোকে (২২ ও ২৩) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

\sin A =  - \frac{2}{{\sqrt 5 }} এবং \sin AcosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।

২২. A কোণটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত? [দি.বো. ১৭]

(a) প্রথম               (b) দ্বিতীয়              (c) তৃতীয়                   (d) চতুর্থ

উত্তর: (d) চতুর্থ

২৩. \tan A এর মান কত? [দি.বো. ১৭]

(a) – 2               (b) - \frac{1}{2}             (c) \frac{1}{2}                  (d) 2

উত্তর: (a) – 2

নিচের তথ্যের আলোকে (২৪ ও ২৫) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

          চিত্র

২৪. \theta কোণটির বৃত্তীয় মান কত? [কু.বো. ১৭]

(a) \frac{\pi }{6}              (b) \frac{\pi }{4}

(c) \frac{\pi }{3}                (d) \frac{{2\pi }}{3}

উত্তর: (a) \frac{\pi }{6}

২৫. \cos \theta .\tan \theta এর মান কত? [কু. বো. ১৭]

(a) \frac{3}{2}                                  (b) \frac{1}{{\sqrt 2 }}

(c) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                  (d) \frac{1}{2}

উত্তর: (d) \frac{1}{2}

     

                                       চিত্র

উপরের চিত্র অনুযায়ী (২৬ ও ২৭) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

২৬. \Delta POQ-এ \tan \theta এর মান নিচের কোনটি? [ব.বো.১৫]

(a) - \frac{3}{2}              (b) - \frac{2}{3}

(c) \sqrt 3                         (d) \frac{2}{3}

উত্তর: (d) \frac{2}{3}

২৭. \Delta POQ-এ \cot \theta  + \cos e{c^2}\theta = কত? [ব.বো. ১৫]

(a) - \frac{{19}}{4}              (b) - \frac{7}{4}

(c) \frac{7}{4}                        (d) \frac{{19}}{4}

উত্তর: (d) \frac{{19}}{4}

নিচের চিত্রের আলোকে (২৮ ও ২৯) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

                                          চিত্র

২৮. \sin A + \cos C এর মান কত? [চ.বো. ১৫]

(a) \frac{3}{4}                  (b) \frac{4}{5}

(c) \frac{5}{4}                  (d) \frac{8}{5}

উত্তর: (d) \frac{8}{5}

২৯. \cot \theta এর মান কোনটি? [চ.বো. ১৫]

(a) \frac{4}{3}                  (b) \frac{5}{4}

(c) \frac{3}{4}                  (d) \frac{3}{5}

উত্তর: (a) \frac{4}{3}

নিচের চিত্রের আলোকে (৩০ ও ৩১) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

                                             চিত্র

৩০. চিত্রে \frac{\pi }{4} < \theta  < \frac{\pi }{2} হলে, p ও q এর সম্পর্ক কোনটি? [সি.বো. ১৫]

(a) p > q              (b) p < q           (c) p = q         (d) q = \sqrt 3 p

উত্তর: (b) p < q

৩১. চিত্র  থেকে-

i. \tan \theta  = \frac{p}{q}

ii. \cos \theta  = \frac{p}{{\sqrt {{p^2} + {q^2}} }}

iii. ‍\sin \theta  = \frac{q}{{\sqrt {{p^2} + {q^2}} }}

নিচের কোনটি সঠিক? [সি.বো. ১৫]

(ক) i                    (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (গ) ii ও iii  

নিচের চিত্রের আলোকে (৩২ ও ৩৩ ) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

                                               চিত্র

৩২. \tan \theta এর মান কত? [সি.বো. ১৬]

(a) - \frac{{\sqrt {41} }}{5}              (b) - \frac{4}{{\sqrt {41} }}

(c) \frac{4}{5}                                        (d) \frac{5}{4}

উত্তর: (d) \frac{5}{4}

৩৩. PQ কোনো বৃত্তের ব্যাস হলে, উক্ত বৃত্তের পরিধি কত একক হবে? [সি.বো. ১৬]

(a) 7.58               (b) 15.71              (c) 19.64                   (d) 31.42

উত্তর: (b) 15.71  

নিচের চিত্র থেকে (৩৪ ও ৩৫) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

                                     চিত্র

৩৪. \sin B + \cos C = কত? [ঢা.বো. ১৬]

(a) \frac{{2b}}{a}                                     (b) \frac{{2a}}{b}

(c) \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}}        (d) \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}}

উত্তর: (a) \frac{{2b}}{a}

৩৫. \tan B এর মান কোনটি? [ঢা.বো. ১৬]

(a) \frac{a}{{{a^2} - {b^2}}}              (b) \frac{b}{{{a^2} - {b^2}}}

(c) \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}

(d) \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}

উত্তর: (d) \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে (৩৬ ও ৩৭) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

                                         চিত্র

৩৬. \sec C = কত? [দি.বো. ১৬]

(a) 2                                                           (b) \frac{2}{{\sqrt 3 }}

(c) \frac{{\sqrt 3 }}{2}                  (d) \frac{1}{2}

উত্তর: (b) \frac{2}{{\sqrt 3 }}

৩৭. \frac{{2\tan A}}{{1 - {{\tan }^2}A}} এর মান কত? [দি.বো. ১৬]

(a) - \sqrt 2          (b) - \sqrt 3          (c) \sqrt 2        (d) \sqrt 3

উত্তর: (b) - \sqrt 3  

 

        চিত্র

উপরের চিত্র থেকে (৩৮ – ৪০) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

৩৮. \angle P= সূক্ষ্মকোণ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত? [য.বো. ১৬]

(a) OP              (b) OM             (c) PM          (d) \sqrt {1 + {x^2}}

উত্তর: (a) OP

৩৯. \tan \theta এর মান কত? [য.বো. ১৬]

(a) \frac{1}{x}                              (b) \frac{1}{{{x^2}}}

(c) \sqrt {1 + {x^2}}                  (d) \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}

উত্তর: (a) \frac{1}{x}

৪০. PM এর দৈর্ঘ্য কত? [য.বো. ১৬]

(a) {\sqrt {1 - {x^2}} }                  (b) \frac{1}{x}

(c) {\sqrt {1 + {x^2}} }                  (d) \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}

উত্তর: (c) {\sqrt {1 + {x^2}} }

 

বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন-১: মুসা ইব্রাহিম দেখল যে, 540 কিলোমিটার দূরে একটি বিন্দুতে কোনো পাহাড় {7'} কোণ উৎপন্ন করে এবং তিনি একটি সমীকরণ লিখলেন: x = \tan \theta  + \sec \theta . [রা.বো. ১৭]

ক. পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।

খ. সমীকরণটি হতে প্রমাণ কর যে, sin\theta  = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}

গ. x = 1 হলে \theta এর মান নির্ণয় কর, যেখানে 0^\circ  \leqslant \theta  < 90^\circ .

প্রশ্ন-২:

                                        চিত্র

ক. sin(\alpha  + \beta ) + cos(\alpha  + \beta ) এর মান কত?

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

{(sin\alpha  - cos\alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha .\cos \alpha .

গ. {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2 হলে, \alpha এর মান কত?

প্রশ্ন-৩:                                   [কু.বো. ১৬]

                                          চিত্র

ক. \sec \alpha-এর মান নির্ণয় কর।

খ. a = 1 এবং b = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, \cos 3\beta  = 4co{s^3}\beta  - 3\cos \beta

গ. a + \sqrt {{b^2} - {a^2} = } \sqrt 2 b হলে,  \beta এর মান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৪: P = a\,\cos \theta এবং Q = b\sin \theta . [য.বো. ১৬]

ক. \frac{{{P^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{Q^2}}}{{{b^2}}} এর মান নির্ণয় কর।

খ. P - Q = c হলে, প্রমাণ কর যে, a\sin \theta  + b\cos \theta  =  \pm \sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} .

গ. {a^2} = 3,{b^2} = 7 এবং {Q^2} + {P^2} = 4 হলে, প্রমাণ কর যে,

\tan \theta  =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}

প্রশ্ন-৫: \tan \theta  = \frac{3}{4} এবং \cos \theta ঋণাত্মক। [দি.বো. ১৫]

ক. \sec \theta এর মান কত?

খ. {(\cos ec\theta  - \cot \theta )^{\frac{1}{2}}} এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, \frac{{\sin \theta  + \cos ( - \theta )}}{{\sec ( - \theta ) + \tan \theta }} = \frac{{14}}{5}

প্রশ্ন-৬:

                                               চিত্র

ক. x = y হলে প্রমাণ কর যে, r = \sqrt 2 x.

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, se{c^2}\theta  - ta{n^2}\theta  = 1.

গ. \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} - \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = 0 হলে \theta এর মান নির্ণয় কর। (যখন 0^\circ  < \theta  < \frac{\pi }{2}).

প্রশ্ন-৭: যদি \cot \theta  + \cos ec\theta  = a হয়- [চ.বো. ১৫]

ক. \cos ec\theta  - \cot \theta এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, \cos \theta  = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}

গ. দেখাও যে, ({a^2} + 1)\cos \theta  + ({a^2} + 1)sin\theta  = {(a + 1)^2} - 2

প্রশ্ন-৮:                                        [সি.বো. ১৫]

                                                    চিত্র

ক. {2.0071^C} কে ডিগ্রীতে প্রকাশ কর।

খ. সকল অনুপাতের মানকে ধনাত্মক বিবেচনায় নিয়ে উদ্দীপকের ভিত্তিতে \frac{{\sin ( - \theta ) + \cos ( - \theta )}}{{\sec ( - \theta ) + \tan \theta }} এর মান নির্ণয় কর।

গ. নিজস্ব চিত্র ব্যবহার করে এর A চিহ্নিত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৯:                                             [য.বো. ১৫]

                                                    চিত্র

এবং P = \frac{{\cot B + \cos ecB - 1}}{{\cot B - \operatorname{cosecB}  + 1}};Q = \frac{{1 + \sin D}}{{\cos D}}

ক. ABCD বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, \cos (B - D) = \cos B\,\cos D + \sin B\,\sin D.

গ. দেখাও যে, P = Q

প্রশ্ন-১০: A = 1 - sin\theta ,B = sec\theta  - \tan \theta এবং C = 1 + \sin \theta . [ব:বো:১৫]

ক. দেখাও যে, B = A\,sec\theta .

খ. B = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1}} হলে, \theta এর মান নির্ণয় কর, যেখানে \theta  সূক্ষ্মকোণ।

গ. প্রমাণ কর যে, A{C^{ - 1}} = {B^2}.