ssc-http://www.onlinemathacademy.org

উচ্চতর গণিত
SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. একটি ধারার 15 তম পদ কত, যার n -তম পদ \frac{{1 - {{( - 1)}^n}}}{{1 + n}}? [ঢা. বো. ১৭]

(a) - \frac{1}{8}            (b) 0         (c) \frac{1}{{16}}      (d) \frac{1}{8}

উত্তর: (d) \frac{1}{8}

২. 7- 7+ 7- 7 + ……………… ধারাটির 30টি পদের সমষ্টি কত? [রা.বো. ১৭]

(a) 210               (b) 30              (c) 0                   (d) -210

উত্তর: (c) 0

৩. \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ............ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? [রা.বো. ১৭; য.বো. ১৬]

(a) \frac{1}{3}              (b) \frac{1}{2}             (c) 2                   (d) 3

উত্তর: (b) \frac{1}{2}

৪. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ............  ধারাটির প্রথম n সংখ্য পদের সমষ্টি কত? [দি.বো. ১৭]

(a) 2 + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}              (b) 2 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}

(c) 2 - \frac{1}{{{2^n}}}                           (d) 2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}

উত্তর: (d) 2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}

৫. \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{{{2^3}}},\frac{4}{{{2^4}}}............. অনুক্রমের সাধারণ পদ কত? [কু. বো. ১৭]

(a) \frac{n}{{{2^{n - 1}}}}                       (b) \frac{n}{{{2^{3n - 2}}}}

(c) \frac{{{2^{n - 1}}}}{{{2^{2n - 1}}}}             (d) \frac{n}{{{2^n}}}

উত্তর:  (d) \frac{n}{{{2^n}}}

৬. 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + ............. ধারাটির সমষ্টি কত? [চ. বো. ১৭]

(a) \frac{4}{3}                          (b) \frac{4}{{33}}

(c) \frac{4}{{333}}                  (d) \frac{4}{{3333}}

উত্তর: (b) \frac{4}{{33}}

৭. 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{3} + ........... ধারাটির 9ম পদের মান কত? [সি.বো. ১৭]

(a) \frac{1}{{81}}              (b) \frac{1}{{27}}

(c) \frac{1}{9}                      (d) \frac{1}{3}

উত্তর: (a) \frac{1}{{81}}   

৮. 0.\dot 23\dot 1 এর সাধারণ অনুপাত নিচের কোনটি? [য.বো .১৭]

(a) 0.231               (b) 0.0001              (c) 0.001                   (d) 0.01

উত্তর: (c) 0.001 

৯. \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^4}}} + ........... একটি অসীম গুণোত্তর ধারা। x এর উপর কি শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে? [য.বো. ১৭]

(a) x \leqslant  - 2 অথবা  x > 0  (b) - 2 < x < 0

(c) x <  - 2 অথবা x > 0                   (d) x <  - 2 অথবা  x \geqslant 0

উত্তর: (c) x <  - 2 অথবা x > 0  

১০. যদি কোনো অনুক্রমের n তম পদ \frac{{1 - {{( - 1)}^n}}}{2} হয়, তাহলে 19 তম পদ কত? [ব. বো. ১৭]

(a)  – 1               (b) 0              (c) 1                   (d) 2

উত্তর: (c) 1 

১১. 5.7\dot 8\dot 3 এর সাধারণ ভগ্নাংশ প্রকাশ কোনটি? [সি. বো. ১৬]

(a) \frac{{5783}}{{1000}}              (b) \frac{{5783}}{{99}}

(c) \frac{{5726}}{{99}}                     (d) \frac{{5726}}{{990}}

উত্তর: (d) \frac{{5726}}{{990}}

১২. - \frac{1}{3},1,\frac{1}{5},\frac{1}{9}............. অনুক্রমটির n-তম পদ কত? [ব. বো. ১৬]

(a) \frac{1}{{5n - 8}}              (b) \frac{1}{{3n - 6}}

(c) \frac{{ - 1}}{{3n}}              (d) \frac{1}{{4n - 7}}

উত্তর: (d) \frac{1}{{4n - 7}} 

১৩. 3,5,7,9 অনুক্রমটির 15 তম পদ কোনটি? [রা.বো. ১৬]

(a) 23               (b) 31              (c) 33                   (d) 35

উত্তর: (b) 31

১৪. কোনো অনুক্রমের n-তম পদ {U_n} = \frac{1}{n} এবং {U_n} < \frac{1}{{{5^{ - 3}}}} হলে, কোনটি সঠিক? [সি. বো. ১৬]

(a) n > \frac{1}{{125}}              (b) n < \frac{1}{{125}}

(c) n > {5^3}                                   (d) n < {5^3}

উত্তর: (a) n > \frac{1}{{125}}  

১৫. 2 - 2 + 2 - 2 + ........... ধারাটির {(2n + 2)}টি পদের সমষ্টি কত? [কু. বো. ১৬]

(a) 2               (b) 1              (c) 0                   (d){2n + 2}

উত্তর:  (c) 0

১৬. \frac{1}{2} + \left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right) + \frac{1}{8} + \left( { - \frac{1}{{16}}} \right) + ......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? [রা.বো. ১৬]

(a) 1               (b) \frac{1}{2}             (c) \frac{1}{3}          (d) \frac{1}{4}

উত্তর: (c) \frac{1}{3} 

১৭. একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ \frac{1}{2} এবং অসীমতক সমষ্টি \frac{3}{4} হলে সাধারণ অনুপাত কত? [ব. বো. ১৬; ন.প্র.ঢা.বো.]

(a) \frac{3}{4}                 (b) \frac{2}{3}

(c) \frac{1}{2}                  (d) \frac{1}{3}

উত্তর: (d) \frac{1}{3}

১৮. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}........... সিরিজটির সাধারণ পদ কোনটি? [ব. বো. ১৫]

(a) \frac{1}{n}                 (b) \frac{1}{{2n}}

(c) \frac{2}{n}                  (d) \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}

উত্তর: (d) \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}

১৯. কোনো অনুক্রমের n তম পদ \frac{1}{{2n - 1}} হলে এর 12 তম পদ কোনটি? হ[ঢা.বো. ১৫]

(a) 23               (b) 12              (c) \frac{1}{{12}}                (d) \frac{1}{23}

উত্তর: (d) \frac{1}{23}

২০. 2 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? [কু.বো. ১৫]

(a) – 4               (b) \frac{{ - 4}}{3}             (c) \frac{4}{3}                  (d) 4

উত্তর: (c) \frac{4}{3}

২১. 2 + 4 + 6 + 8 + .......... ধারাটির – [ঢা.বো. ১৬]

i. n তম পদ 2n

ii. n পদের সমষ্টি n(n+1)

iii. ‍সমষ্টি নেই

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

২২. অনন্ত গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে- [চ. বো. ১৬]

i. \left| r \right| < 1 হলে, {S_\infty } = \frac{a}{{1 - r}}

ii. \left| r \right| > 1 হলে, অসীম ধারার কোনো সমষ্টি নাই

iii. ‍{r =  - 1} হলে, {S_n} এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

২৩. 1 + 3 + 9 + 27 + .......... ধারাটি –

i. একটি গুণোত্তর ধারা

ii. এর অসীমতক সমষ্টি রয়েছে

iii. ‍এর প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি 121

নিচের কোনটি সঠিক? [সি.বো. ১৫]

(ক) i                    (খ) i  ও ii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i ও iii

উত্তর: (ঘ) i ও iii

নিচের ধারার আলোকে (২৪ – ২৬) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ........ একটি অসীম ধারা।

২৪. ধারাটির 15 তম পদ কত? [ব. বো. ১৭]

(a) \frac{1}{{{2^{14}}}}              (b) \frac{1}{{{2^{15}}}}

(c) \frac{1}{{{3^{14}}}}               (d) \frac{1}{{{3^{15}}}}

উত্তর: (c) \frac{1}{{{3^{14}}}} 

২৫. ধারাটির প্রথম পাঁচ পদের সমষ্টি কত? [ব.বো. ১৭]

(a) \frac{{21}}{{128}}              (b) \frac{{81}}{{121}}

(c) \frac{{121}}{{81}}               (d) \frac{{121}}{{18}}

উত্তর: (c) \frac{{121}}{{81}}  

২৬. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? [ব.বো. ১৭]

(a) \frac{1}{2}                (b) \frac{2}{3}

(c) \frac{3}{2}                  (d) 2

উত্তর: (c) \frac{3}{2}

নিচের তথ্যের আলোকে (২৭-২৯) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

8 + 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{32}} + ............

২৭. ধারাটির 10 তম পদ কোনটি? [চ.বো. ১৫]

(a) \frac{1}{{{2^7}}}              (b) \frac{1}{{{2^{11}}}}

(c) \frac{1}{{{2^{13}}}}         (d) \frac{1}{{{2^{15}}}}

উত্তর: (d) \frac{1}{{{2^{15}}}}

২৮. ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত? [চ.বো. ১৫]

(a) \frac{{{2^{10}} - 1}}{{{2^8} \times 3}}

(b) 8\frac{{{2^{10}} - 1}}{{{2^8} \times 3}}

(c) 8\frac{{{2^8} \times 3}}{{{2^{10}} - 1}}

(d) \frac{{{2^8} \times 3}}{{{2^{10}} - 1}}

উত্তর: (b) 8\frac{{{2^{10}} - 1}}{{{2^8} \times 3}}  

২৯. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? [চ.বো. ১৫]

(a) \frac{{19}}{2}              (b) \frac{{32}}{3}

(c) \frac{{34}}{3}                (d) \frac{{38}}{3}

উত্তর:  (b) \frac{{32}}{3}    

উদ্দীপক হতে (৩০-৩২) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ............ অসীম ধারা

৩০. ধারাটির ৮ম পদ কত হবে? [দি.বো. ১৫]

(a) \frac{1}{{32}}              (b) \frac{1}{{64}}

(c) \frac{1}{{128}}            (d) \frac{1}{{256}}

উত্তর: (c) \frac{1}{{128}}  

৩১. ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত হবে? [দি.বো. ১৫]

(a) \frac{{16}}{{31}}              (b) \frac{8}{{31}}

(c) \frac{31}{{8}}                      (d) \frac{31}{{16}}

উত্তর:  (d) \frac{31}{{16}}

৩২. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত হবে? [দি.বো. ১৫]

(a) 1               (b) 2              (c) 3                   (d) 4

উত্তর:  (b) 2

বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন-১: (i) 2 + \sqrt 2  + 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + ..........

(ii) \root 3 \of {(1 + x)}  + \root 3 \of {(1 - x)}  = \root 3 \of {2.}

ক. 0.\dot 1\dot 2 কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

খ. (i) প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারার সপ্তম পদ নির্ণয় কর এবং অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) তবে তা নির্ণয় কর।

গ. (ii) সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-২: \frac{1}{{2x - 5}} + \frac{1}{{{{(2x - 5)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2x - 5)}^3}}} + ........ একটি ধারা। [দি.বো. ১৭]

ক. যদি {x = 4} হয়, ধারাটি নির্ণয় কর এবং এর সাধারণ অনুপাত কত?

খ. {x = 5} হলে ধারাটির নবম পদ এবং প্রথম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. xএর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৩: 1 + \frac{1}{{1 + 3x}} + \frac{1}{{{{(1 + 3x)}^2}}} + \frac{1}{{{{(1 + 3x)}^3}}} + .......... একটি অসীম ধারা। [কু.বো. ১৭]

ক. {x = 1} এর জন্য প্রাপ্ত ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. {x = \frac{1}{3}} হলে, ধারাটির ১ম 10টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. x এর উপর কী কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

প্রশ্ন-৪: \frac{1}{{3x + 2}} + \frac{1}{{{{(3x + 2)}^2}}} + \frac{1}{{{{(3x + 2)}^3}}} + ........ একটি অসীম গুণোত্তর ধারা এবং p{x^2} + qx + r = 0 একটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে p,q,r বাস্তব সংখ্যা ও p \ne 0[চ.বো. ১৭]

ক. {x = 1} হলে ধারাটি নির্ণয় করো এবং প্রাপ্ত ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. 'x' এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে  প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

ঘ. ab যদি সমীকরণটির দুইটি মূল হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

a + b = \frac{{ - q}}{p} এবং ab = \frac{r}{p}

প্রশ্ন-৫: \frac{1}{{3x - 1}} + \frac{1}{{{{(3x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{(3x - 1)}^3}}} + ........ [সি.বো. ১৭]

ক. {x = 2} হলে প্রাপ্ত ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. {x = 1} হলে ধারাটির সপ্তম পদ এবং ১ম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. x এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এসং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-৬: \frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2x + 1)}^3}}} + ........ [য.বো. ১৭]

ক. {x = 3} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. {x = - 2} হলে, ধারাটির দশম পদ এবং প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. x-এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে উদ্দীপকের ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।