ssc-http://www.onlinemathacademy.org

উচ্চতর গণিত

সমীকরণ

অনুশীলনী-  ৫.১

সূত্রের সাহায্যে নিচের সমীকরণগুলোর সমাধান কর:

১.  2{x^2} + 9x + 9 = 0

সমাধান: 2{x^2} + 9x + 9 = 0 কে আদর্শরূপ দ্বিঘাত সমীকরণ

a{x^2} + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 2,b = 9 এবং c = 9

অতএব সমীকরণটির মূলদ্বয়  x = {{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} } \over {2a}}

= {{ - 9 \pm \sqrt {{9^2} - 4 \times 2 \times 9} } \over {2 \times 2}}

= {{ - 9 \pm \sqrt {81 - 72} } \over 4}

= {{ - 9 \pm \sqrt 9 } \over 4}

= {{ - 9 \pm 3} \over 4}

= {{ - 9 + 3} \over 4},{{ - 9 - 3} \over 4}

অর্থাৎ,  এবং  (Ans.)

 

৫. 3{x^2} + 7x + 1 = 0

সমাধান: 3{x^2} + 7x + 1 = 0  সমীকরণটিকে আদর্শরূপ দ্বিঘাত সমীকরণ a{x^2} + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 3,b = 7 এবং c = 1

অতএব সমীকরণটির মূলদ্বয়  x = {{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} } \over {2a}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {{7^2} - 4 \times 3 \times 1} } \over {2 \times 3}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {49 - 12} } \over 6}

= {{ - 7 \pm \sqrt {37} } \over 6}

অর্থাৎ, {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {37} } \over 6}  এবং  {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {37} } \over 6}      (Ans.)

 

৬. 2 - 3{x^2} + 9x = 0

সমাধান: 2 - 3{x^2} + 9x = 0 বা - 3{x^2} + 9x + 2 = 0 সমীকরণটিকে আদর্শরূপ দ্বিঘাত সমীকরণ a{x^2} + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a =  - 3,b = 9  এবং  c = 2

অতএব সমীকরণটির মূলদ্বয়  x = {{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} } \over {2a}}

= {{ - 9 \pm \sqrt {{9^2} - 4 \times \left( { - 3} \right) \times 2} } \over {2 \times \left( { - 3} \right)}}

= {{ - 9 \pm \sqrt {81 + 24} } \over { - 6}}

= {{ - 9 \pm \sqrt {105} } \over { - 6}}

= {{9 \pm \sqrt {105} } \over { - 6}}

অর্থাৎ, {x_1} = {{9 + \sqrt {105} } \over { - 6}} এবং  {x_2} = {{9 - \sqrt {105} } \over { - 6}}  (Ans.)

 

৭. {x^2} - 8x + 16 = 0

সমাধান:  {x^2} - 8x + 16 = 0 সমীকরণটিকে আদর্শরূপ দ্বিঘাত সমীকরণ a{x^2} + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1,b =  - 8 এবং c = 16

অতএব সমীকরণটির মূলদ্বয়  x = {{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} } \over {2a}}

= {{ - \left( { - 8} \right) \pm \sqrt {{{( - 8)}^2} - 4 \times 1 \times 16} } \over {2 \times 1}}

= {{8 \pm \sqrt {64 - 64} } \over 2}

= {8 \over 2}

= 4

অর্থাৎ, {x_1} = {x_2} = 4 (Ans.)

 

৮. 2{x^2} + 7x - 1 = 0

সমাধান: 2{x^2} + 7x - 1 = 0  সমীকরণটিকে আদর্শরূপ দ্বিঘাত সমীকরণ a{x^2} + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 2,b = 7  এবং  c =  - 1

অতএব সমীকরণটির মূলদ্বয়  x = {{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} } \over {2a}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {{7^2} - 4 \times 2 \times \left( { - 1} \right)} } \over {2 \times 2}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {49 + 8} } \over 4}

= {{ - 7 \pm \sqrt {57} } \over 4}

অর্থাৎ, {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {57} } \over 4}  এবং  {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {57} } \over 4}  (Ans.)

 

৯. 7x - 2 - 3{x^2} = 0

সমাধান:   7x - 2 - 3{x^2} = 0  বা  - 3{x^2} + 7x - 2 = 0 সমীকরণটিকে আদর্শরূপ দ্বিঘাত সমীকরণ a{x^2} + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a =  - 3,b = 7  এবং  c =  - 2

অতএব সমীকরণটির মূলদ্বয়  x = {{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} } \over {2a}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {{7^2} - 4 \times \left( { - 3} \right) \times \left( { - 2} \right)} } \over {2 \times \left( { - 3} \right)}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {49 - 24} } \over { - 6}}

= {{ - 7 \pm \sqrt {25} } \over { - 6}}

= {{ - 7 \pm 5} \over { - 6}}

= {{ - 7 + 5} \over { - 6}},{{ - 7 - 5} \over { - 6}}

= {{ - 2} \over { - 6}},{{ - 12} \over { - 6}}

= {1 \over 3},2

অর্থাৎ, {x_1} = {1 \over 3}  এবং {x_2} = 2  (Ans.)

SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. {x^2} - 6x + 8 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়কের মান কত? [ঢা.বো. ১৭]

(a) 2               (b) 4              (c) 6                   (d) 8

উত্তর: (b) 4  

২. a{x^2} + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান এবং মূলদ হবে কখন? [চ. বো. ১৭]

(a) নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে               (b) নিশ্চায়ক ঋণাত্মক হলে

(c) নিশ্চায়ক ধনাত্মক এবং পূর্ণবর্গ হলে

(d) নিশ্চায়ক ঋণাত্মক এবং পূর্ণবর্গ হলে

উত্তর: (c) নিশ্চায়ক ধনাত্মক এবং পূর্ণবর্গ হলে

৩. {a^2}{x^2} + abx + ac = 0 সমীকরণের মূল কোনটি? [সি. বো. ১৭]

(a) \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

(b) \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} + 4ac} }}{{2a}}

(c) \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} + 4ac} }}{{2a}}

(d) \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

উত্তর: (a) \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

৪. {b^2} - 4ac পূর্ণবর্গ না হলে, মূলগুলো কেমন হবে? [ব. বো. ১৬]

(a) বাস্তব ও মূলদ                   (b) বাস্তব ও অমূলদ

(c) বাস্তব ও সমান                   (d) কাল্পনিক

উত্তর: (b) বাস্তব ও অমূলদ 

৫. {x^2} - 2x - 2 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত? [রা.বো. ১৬]

(a) 4               (b) 8              (c) 12                   (d) 1 + \sqrt 3

উত্তর:  (c) 12

৬. 4{x^2} - 3x - 2 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক কত? [দি.বো. ১৬]

(a) 41               (b) 23              (c) – 23                   (d) – 41

উত্তর: (a) 41

৭. p{x^2} + qx + r = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূলদ্বয় কি কি হবে? [কু. বো. ১৬]

(a) \frac{q}{p},\frac{{ - q}}{p}              (b) \frac{{2q}}{p},\frac{{2q}}{p}

(c) - \frac{q}{{2p}},\frac{{ - q}}{{2p}}

(d) \frac{q}{{2p}},\frac{{ - q}}{{2p}}

উত্তর: (c) - \frac{q}{{2p}},\frac{{ - q}}{{2p}} 

৮. {x^2} - 8x + 16 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক কত? [সি. বো. ১৫]

(a) – 4               (b) 0              (c) 4                   (d) 8\sqrt 2

উত্তর:  (b) 0

৯. {x^2} - 6x + 9 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়কের মান কত? [চ. বো. ১৫]

(a) – 1               (b) 0              (c) 1                   (d) 2

উত্তর:  (b) 0 

১০. 3{x^2} - 2x - 1 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত? [কু. বো. ১৫]

(a) – 8               (b) – 4              (c) 4                   (d) 16

উত্তর: (d) 16

১১. 2x - {x^2} + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে-

i. বাস্তব                    ii. অসমান                iii. মূলদ

নিচের কোনটি সঠিক? [দি. বো. ১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ)  ii ও iii                (গ)   i  ও iii                   (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

১২. a{x^2} + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে- [দি.বো. ১৬]

i. a \ne 0                    ii. নিশ্চায়ক = {b^2} - 4ac

iii. সমীকরণটির মূল একটি

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

১৩. 2{x^2} - 7x - 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়- [ঢা. বো. ১৬]

i. বাস্তব                    ii. অমান            iii. অমূলদ

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

১৪. {x^2} + 2x + 2 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে, এর – [কু. বো. ১৬]

i. নিশ্চায়ক – 4                    ii. মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান            iii. মূলদ্বয় কাল্পনিক

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ)  ii ও iii                (গ)   i  ও iii                   (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (গ)   i  ও iii 

১৫. {x^2} - 7x + 12 = 0 সমীকরণে-

i. সমীকরণটির বীজ হবে 4, 3                    ii. সমীকরণটির নিশ্চায়ক হবে 16

iii. সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে

নিচের কোনটি সঠিক? [দি.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (খ) i  ও iii

১৬. a{x^2} + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে যখন –

i. {b^2} - 4ac > 0                    ii. {b^2} - 4ac = 0

iii. {b^2} - 4ac < 0

নিচের কোনটি সঠিক? [চ.বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ)  ii ও iii                (গ)   i  ও iii                   (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

নিচের উদ্দীপকের আলোকে ( ১৭ ও ১৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

p{y^2} - qy + r = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

১৭. সমীকরণটির একটি মূল নিচের কোনটি? [রা. বো. ১৭]

(a) \frac{{ - q + \sqrt {{q^2} - 4pr} }}{{2p}}

(b) \frac{{q + \sqrt {{q^2} - 4pr} }}{{2p}}

(c) \frac{q}{{2p}}

(d) \frac{{ - q - \sqrt {{p^2} - 4pr} }}{{2p}}

উত্তর: (b) \frac{{q + \sqrt {{q^2} - 4pr} }}{{2p}}  

১৮. উদ্দীপকের সমীকরণটির ক্ষেত্রে-

i. নিশ্চায়ক  {{q^2} - 4pr}

ii. মূলদ্বয় সমান হবে, যদি {{q^2} = 4pr} হয়

iii. মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান হবে, যদি {{q^2} > 4pr} হয়

নিচের কোনটি সঠিক? [রা. বো. ১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

নিচের তথ্যের আলোকে (১৯ ও ২০) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

4x - 2 - {x^2} = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

১৯. সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত? [সি. বো. ১৬]

(a) 20               (b) 8              (c) 2\sqrt 5                  (d) 2\sqrt 2

উত্তর: (b) 8

২০. সমীকরণটির মূলদ্বয় কিরূপ? [সি. বো. ১৬]

(a) বাস্তব ও অমূলদ              (b) বাস্তব ও মূলদ

(c) বাস্তব ও সমান                   (d) অবাস্তব

উত্তর: (a) বাস্তব ও অমূলদ 

নিচের তথ্যের আলোকে (২১ ও ২২) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

a{x^2} + bx + c = 0 যা দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শরূপ।

২১. যদি a + 1,b =  - 1 এবং c = 1 হয়,তবে x এর মান কত? [ব. বো. ১৫]

(a) \frac{{1 \pm \sqrt { - 3} }}{2}              (b) \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2}

(c) \frac{{1 + \sqrt { - 3} }}{2}                      (d) \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}

উত্তর: (a) \frac{{1 \pm \sqrt { - 3} }}{2} 

২২. সমীকরণটির নিশ্চায়ক হচ্ছে- [ব. বো. ১৫]

(a) \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

(b) \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

(c) {b^2} - 4ac                  (d) {b^2} + 4ac

উত্তর: (c) {b^2} - 4ac

নিচের তথ্যের আলোকে (২৩ ও ২৪) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

{x^2} - 9x + 5 = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

২৩. সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত? [য. বো. ১৫]

(a) \sqrt {61}              (b) \sqrt {101}             (c) 61                   (d) 101

উত্তর: (c) 61

২৪. মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি  কেমন হবে? [য. বো. ১৫]

(a) বাস্তব, অসমান ও অমূলদ               (b) বাস্তব, অসমান ও মূলদ

(c) বাস্তব ও সমান                                      (d) অবাস্তব ও অসমান

উত্তর: (a) বাস্তব, অসমান ও অমূলদ

 

বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন-১: a{x^2} + bx + c = 0 …………………………………… (i)

5 - 8x - {x^2} = 0 …………………………………………………. (ii)

দুটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। [দি. বো. ১৭]

ক. {5^{y + 2}} = 625 হলে y এর মান নির্ণয় কর।

খ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

গ. (ii) নং সমীকরণকে সমাধান করে মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।