ssc-http://www.onlinemathacademy.org

উচ্চতর গণিত

১. নিচের কোনটি প্রতিসম ?

(ক) a + b + c              (খ) xy - yz + zx              (গ) {x^2} - {y^2} + {z^2}                (ঘ) 2{a^2} - 5bc - {c^2}

উত্তর:  (ক) a + b + c

 

২. P\left( {x,y,z} \right) = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz  হলে-

(i) P(x,y,z) চক্রক্রমিক রাশি

(ii) P(x,y,z)  প্রতিসম রাশি

(iii) P(1, - 2,1) = 0

নিচের কোনটি সঠিক ?

(ক) i ,ii                     (খ) i , iii                   (গ) ii , iii                  (ঘ) i , ii , iii

উত্তর:    (ঘ) i , ii , iii

 

{x^3} + p{x^2} - x - 7 এর একটি উৎপাদক x + 7

হলে নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও ।

৩. p এর মান কত ?

(ক) -7                    (খ)  7                   (গ)  \frac{{54}}{7}                 (ঘ)  477

উত্তর:  (খ)  7

ব্যাখ্যা : মনে করি, Q\left( x \right) = {x^3} + p{x^2} - x - 7

যেহেতু x + 7,Q(x) এর একটি উৎপাদক সেহেতু, Q( - 7) = 0

\Rightarrow {\left( { - 7} \right)^3} + p.{( - 7)^2} - ( - 7) - 7 = 0

\Rightarrow  - 343 + 49p + 7 - 7

\Rightarrow 49p = 343

\Rightarrow p = \frac{{343}}{{49}}

\therefore p = 7

 

৪. বহুপদীটির  অপর উৎপাদকগুলোর গুনফল কত ?

(ক) \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)                    (খ)  \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)

(গ)  \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)                   (ঘ) \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)

উত্তর : (ঘ) \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)

ব্যাখ্যা : Q\left( x \right) = {x^3} + 7{x^2} - x - 7

= {x^2}\left( {x + 7} \right) - 1\left( {x + 7} \right)

= {x^2}\left( {x + 7} \right) - 1\left( {x + 7} \right)

= \left( {x + 7} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)

\therefore অপর উৎপাদকগুলোর গুনফল= \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)

 

৫. {x^4} - 5{x^3} + 7{x^2} - a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, দেখাও যে, a = 4

সমাধান: ধরি,  P(x) = {x^4} - 5{x^3} + 7{x^2} - a

যেহেতু x - 2, P(x) এর একটি উৎপাদক সেহেতু, P(2) = 0

বা, {\left( 2 \right)^4} - 5{\left( 2 \right)^3} + 7{(2)^2} - a = 0

বা, 16 - 40 + 28 - a = 0

বা, 4 - a = 0

বা, - a =  - 4

\therefore a = 4   (দেখানো হলো )

 

৬. মনে কর, P\left( x \right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + c{x^2} + bx + a  যেখানে a, b, c ধ্রুবক এবং a \ne 0, দেখাও যে, \left( {x - r} \right) যদি  P\left( x \right) এর একটি উৎপাদক হয় ,তবে P\left( x \right) এর আরেকটি উৎপাদক \left( {rx - 1} \right)

সমাধান: দেওয়া আছে, P\left( x \right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + c{x^2} + bx + a........(i)    [যেখানে a, b, c ধ্রুবক এবং a \ne 0 ]

যেহেতু \left( {x - r} \right), P\left( x \right) এর একটি উৎপাদক, সেহেতু P\left( r \right) = 0

এখন, P\left( r \right) = a{r^5} + b{r^4} + c{r^3} + c{r^2} + br + a

\therefore a{r^5} + b{r^4} + c{r^3} + c{r^2} + br + a = 0........(ii)

ধরি, rx - 1 = 0

\Rightarrow rx = 1

\therefore x = \frac{1}{r}

এখন (i) নং বহুপদীটিতে x = \frac{1}{r}  বসালে যদি উক্ত বহুপদীর মান শূন্য হয়, তবে \left( {rx - 1} \right) উক্ত বহুপদীর একটি উৎপাদক হবে ।

\therefore P\left( {\frac{1}{r}} \right) = a{\left( {\frac{1}{r}} \right)^5} + b{\left( {\frac{1}{r}} \right)^4} + c{\left( {\frac{1}{r}} \right)^3} + c{\left( {\frac{1}{r}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{r}} \right) + a

= \frac{a}{{{r^5}}} + \frac{b}{{{r^4}}} + \frac{c}{{{r^3}}} + \frac{c}{{{r^2}}} + \frac{b}{r} + a

= \frac{{a + br + c{r^2} + c{r^3} + b{r^4} + a{r^5}}}{{{r^5}}}

= \frac{{a{r^5} + b{r^4} + c{r^3} + c{r^2} + br + a}}{{{r^5}}}

= \frac{0}{{{r^5}}}   [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে ]

= 0

যেহেতু (i) নং বহুপদীতে x = \frac{1}{r} বসালে প্রদত্ত বহুপদীর মান শূন্য হয়, সেহেতু \left( {rx - 1} \right) উক্ত বহুপদীর একটি উৎপাদক ।

\left( {rx - 1} \right),{\kern 1pt} P(x) এর একটি উৎপাদক ।  (দেখানো হলো )

 

৭. উৎপাদকে বিশ্লেষন কর:

(ক) {x^4} + 7{x^3} + 17{x^2} + 17x + 6

সমাধান: ধরি, f\left( x \right) = {x^4} + 7{x^3} + 17{x^2} + 17x + 6

a =  - 1 হলে, f( - 1) = 1 - 7 + 17 - 17 + 6 = 0

\therefore \left\{ {x - \left( { - 1} \right)} \right\} অর্থাৎ \left( {x + 1} \right),f\left( x \right) এর একটি উৎপাদক ।

এখন, {x^4} + 7{x^3} + 17{x^2} + 17x + 6

= {x^4} + {x^3} + 6{x^3} + 6{x^2} + 11{x^2} + 11x + 6x + 6

= {x^3}\left( {x + 1} \right) + 6{x^2}\left( {x + 1} \right) + 11x\left( {x + 1} \right) + 6(x + 1)

= \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \right)

আবার ধরি, g\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6

g\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6

=  - 1 + 6 - 11 + 6

= 12 - 12

= 0

\therefore \left\{ {x - \left( { - 1} \right)} \right\} অর্থাৎ \left( {x + 1} \right),g\left( x \right) এর একটি উৎপাদক ।

এখন, {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6

= {x^3} + {x^2} + 5{x^2} + 5x + 6x + 6

= {x^2}\left( {x + 1} \right) + 5x\left( {x + 1} \right) + 6\left( {x + 1} \right)

= \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right)

= \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2x + 6} \right)

= \left( {x + 1} \right)\left\{ {x\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right)} \right\}

= \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)

\therefore {x^4} + 7{x^3} + 7{x^2} + 17x + 6

= \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \right)

= \left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)

= {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)    (Ans.)

SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. (x - 5), বহুপদী {x^3} - a{x^2} - 9x - 5 এর একটি উৎপাদক। a এর মান কত? [ঢা. বো. ১৭]

(a) 3               (b) – 3              (c) – 5                   (d) – 9

উত্তর: (a) 3

২. সমমাত্রিক বহুপদী কোনটি? [ঢা. বো. ১৭]

(a) {x^2} + 2x + 1              (b) {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1

(c) {x^2} - 2x + {y^2}        (d) {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}

উত্তর:  (d) {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}

৩. \frac{{y({y^3} + 3y)}}{{{y^2}}} বহুপদীর ধ্রুবক পদের গুণনীয়কের সেট নিচের কোনটি? [রা. বো. ১৭]

(a) \emptyset              (b) \{ 1\}             (c) \{ 3\}                (d) \{ 1,3\}

উত্তর: (d) \{ 1,3\}

৪. যদি P(x) = 5{x^3} + 6{x^2} - 2ax - 6 কে (x – 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান কত? [দি.বো. ১৭]

(a) 14.5              (b) 13              (c) 7                   (d) 5.5

উত্তর: (b) 13

৫. যদি \frac{{2x + 1}}{{x(x - 1)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x - 1}} হয়, তবে AB এর মান যথাক্রমে কত হবে? [দি. বো. ১৭]

(a) -1 ও 3              (b) 3 ও – 1              (c) 2 ও 1                   (d) – 1 ও 2

উত্তর: (a) -1 ও 3  

৬. \frac{{x - 5}}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 2}}, যেখানে AB মূলদ সংখ্যা। A  এর মান কত? [চ. বো. ১৭]

(a) – 3               (b) – 2              (c) 1                   (d) 2

উত্তর: (d) 2

৭. নিচের কোনটি প্রতিসম? [ঢা.বো. ১৬]

(a) {a^2} + b + c                                   (b) 2{a^2} - 5bc - {c^2}

(c) {x^2} - {y^2} + {z^2}                  (d) xy + yz + zx

উত্তর: (d) xy + yz + zx

৮. p(x) = 36{x^2} - 8x + 5 কে {(x - 1)} দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? [ঢা. বো. ১৬]

(a) 49               (b) 41              (c) 33                   (d) 23

উত্তর:  (c) 33

৯. যদি Q(y) = 2{y^3} + 3{y^2} - 7y + 8 হয়, তবে Q( - 1) এর মান কত? [রা. বো. ১৬]

(a) 8               (b) 13              (c) 16                   (d) 20

উত্তর: (c) 16

১০. 5{x^3} + 3{y^3} - 7xy + 4 দ্বিচলকবিশিষ্ট বহুপদীর মাত্রা কত? [কু. বো. ১৬]

(a) 2               (b) 3              (c) 4                   (d) 5

উত্তর: (b) 3

১১. Q(x) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + 1 এর ক্ষেত্রে Q( - 1) = 0 হলে, Q(x) এর একটি উৎপাদক কোনটি? [চ. বো. ১৬]

(a) x - 1              (b) x + 1        (c) {x^2} + x - 1      (d) {x^2} - x + 1

উত্তর:  (b) x + 1  

১২. {x^3} + 2{x^2} - 5x - 6 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি? [সি. বো. ১৬]

(a) x – 4              (b) x – 1              (c) x + 2                   (d) x + 3

উত্তর: (d) x + 3

১৩. কোনটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ? [চ.বো. ১৬]

(a) \frac{{x + 5}}{{(x - 1)(x + 2)}}

(b) \frac{{x - 1}}{{(x - 2)(x + 5)}}

(c) \frac{{{x^3}}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}

(d) \frac{{{x^3}}}{{({x^4} + {x^2} + 1)}}

উত্তর: (c) \frac{{{x^3}}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}  

১৪. P(x) = {x^2} - 5x + 6 এবং P(x) কে (x - 4) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষের মান নিচের কোনটি? [য. বো. ১৬]

(a) 2               (b) 3              (c) 4                   (d) x + 2

উত্তর:  (a) 2

১৫. \frac{x}{{{x^2} - 4}} এর আংশিক ভগ্নাংশ কোনটি? [য.বো. ১৬]

(a) \frac{1}{{x + 2}}

(b) \frac{1}{{2(x + 2)}} + \frac{1}{{2(x - 2)}}

(c) \frac{1}{{2(x + 2)}} - \frac{1}{{2(x - 2)}}

(d) \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x - 2}}

উত্তর: (b) \frac{1}{{2(x + 2)}} + \frac{1}{{2(x - 2)}}   

১৬.  P(x) = {x^4} - 5{x^3} + 7{x^2} - a এর একটি উৎপাদক (x – 2) হলে, a এর মান কত? [ব. বো. ১৬]

(a) 2               (b) 4              (c) 5                   (d) 6

উত্তর: (b) 4

১৭. যদি p(a) = 4{a^4} + 12{a^3} + 7{a^2} - 3a - 2 হয়, তবে  এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? [ব. বো. ১৬]

(a) 2a - 1              (b) 4a + 1             (c) a - 1                  (d) 4a - 1

উত্তর: (a) 2a - 1  

১৮. কোনটি x চলকের বহুপদী? [সি.বো. ১৫]

(a) 4{x^4} - 5{x^3}{y^2} + 7              (b) 5{x^3} + \frac{3}{x} + 8

(c) \frac{1}{3}{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}} + 9

(d) 4{x^{ - 4}} - 2{x^2} + 12

উত্তর: (a) 4{x^4} - 5{x^3}{y^2} + 7  

১৯. {x^6} + 3{x^5} - 2{x^4} - 5 বহুপদীর মুখ্য সহগ কোনটি? [ঢা. বো. ১৫]

(a) – 5               (b) 1              (c) 3                   (d) 6

উত্তর: (b) 1

২০. p(x) = 3{x^3} + 2{x^2} - 7x + 8 হলে, p\left( {\frac{1}{2}} \right) এর মান কত? [কু. ‍বো. ১৫]

(a) \frac{{21}}{8}              (b) \frac{{43}}{8}

(c) \frac{{53}}{8}                (d) \frac{{63}}{4}

উত্তর: (b) \frac{{43}}{8} 

২১. p(x,y) = {x^2} + {y^2} - 2xy হলে p(1, - 2) এর মান কত? [ঢা. বো. ১৫]

(a) 9               (b) 1              (c) – 1                   (d) – 9

উত্তর: (a) 9 

২২. f(x) = {x^2} - 7x + 12 হলে, x এর কোন মানের জন্য f(x) = 0 হবে?[সি. বো. ১৫]

(a) -3, – 4               (b) – 3, 4              (c) 3, 4                   (d) 3, – 4

উত্তর: (c) 3, 4 

২৩. যদি f(x) = 2{x^3} + 6{x^2} - 6x + a,x - 1 দ্বারা বিভাজ্য, তবে a এর মান কত? [ব. বো. ১৫]

(a) – 2               (b) – 1              (c)  1                   (d) 2

উত্তর: (a) – 2

২৪. {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - a বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে a এর মান কত? [দি. বো. ১৫]

(a) 44               (b) 48              (c)  50                   (d) 52

উত্তর: (d) 52

২৫. 2{x^3} + {x^2} + ax + 18 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x + 2) হলে, a এর মান কত? [রা. বো. ১৫]

(a) – 15               (b) – 3              (c)  3                   (d) 15

উত্তর: (c)  3 

২৬. বহুপদী p(x) = 2{x^2} - 9x + 6 কে (x - 4) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? [চ. বো. ১৫]

(a) 4               (b) 2              (c)  1                   (d) – 2

উত্তর: (b) 2 

২৭. যদি p(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং a \ne 0 হয়, তবে P(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? [রা. বো. ১৫]

(a) P\left( { - \frac{b}{a}} \right)

(b) P\left( { - \frac{a}{b}} \right)

(c)  P\left( {\frac{b}{a}} \right)

(d) P\left( {\frac{a}{b}} \right)

উত্তর: (a) P\left( { - \frac{b}{a}} \right)     

২৮. নিচের কোনটি চক্রক্রমিক রাশি? [য.বো.১৫]

(a) {a^2} - {b^2} + {c^2}              (b) {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c

(c)  xy + yz - zx                                  (d) {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x

উত্তর: (d) {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x

২৯. {x^3} + 2{x^2} + 2x + a এর একটি উৎপাদক (x + 1) হলে a এর মান কত? [ঢা. বো. ১৫]

(a) – 5               (b)  – 1              (c) 1                   (d) 5

উত্তর:  (b)  – 1

৩০. নিচের কোন রাশিটি স্ব-স্ব চলকের জন্য প্রতিসম? [ঢা.বো.১৫]

(a) 2{a^2} - 5ab + {c^2}              (b)  xy + yz - zx

(c) {x^2} - {y^2} + {z^2}               (d) a + b + c

উত্তর: (d) a + b + c

৩১. a + b + c = 0 হলে, {a^3} + {b^3} + {c^3} এর মান কত? [রা.বো.১৫]

(a) 0               (b) (a - b)(b - c)(c - a)             (c) 3abc                   (d) abc

উত্তর: (c) 3abc 

৩২. {(a - b)^3} + {(b - c)^3} + {(c - a)^3} কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে? [কু. বো. ১৫]

(a) (a - b)(b - c)(c - a)              (b) 2(a - b)(b - c)(c - a)

(c) 3(a - b)(b - c)(c - a)            (d) - 3 (a - b)(b - c)(c - a)

উত্তর: (c) 3(a - b)(b - c)(c - a) 

৩৩. অপ্রকৃত ভগ্নাংশ কোনটি? [য.বো.১৫]

(a) \frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x + 1)}}

(b) \frac{{2{x^2}}}{{(x - 1)(x - 2)(x + 3)}}

(c) \frac{1}{{1 - {x^3}}}

(d) \frac{{{x^5}}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}

উত্তর: (d) \frac{{{x^5}}}{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}

৩৪. \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 16}} ভগ্নাংশটি সমান নিচের কোনটি? [দি.বো.১৫]

(a) x + \frac{{16}}{{{x^2} - 16}}

(b) x + \frac{{16}}{{{x^3} - 16}}

(c) x + \frac{{16x}}{{{x^2} - 16}}

(d) x - \frac{{16x}}{{{x^2} - 16}}

উত্তর: (c) x + \frac{{16x}}{{{x^2} - 16}}     

৩৫. {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz রাশিটির ক্ষেত্রে-

i.  একটি উৎপাদক  x + y + z                          ii. রাশিটি প্রতিসম

iii. রাশিটি চক্রক্রমিক

নিচের কোনটি সঠিক?[রা. বো. ১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (ঘ) i, ii  ও iii

৩৬. a, b, c চলকের ক্ষেত্রে প্রতিসম রাশি-

i.  a + b + c                             ii. ab + bc + ca

iii. 2{a^2} - 5ab + {c^2}

নিচের কোনটি সঠিক?[সি. বো. ১৭]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii 

৩৭. {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz এর মান –

i.  (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)

ii. (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} + xy + yz + zx)

iii. \frac{1}{2}(x + y + z)\{ {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2}\}

নিচের কোনটি সঠিক?[ঢা. বো. ১৬; ন.প্র.কু.বো.]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (খ) i  ও iii 

৩৮. নিচের বিষয়সমূহ লক্ষ্য কর-

i.  x(y - z) + y(z - x) + z(x - y) = 0

ii. {x^4} + {x^3} + x - 3 এর একটি উৎপাদক (x - 1)

iii. {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 0 হলে, x = y = z

নিচের কোনটি সঠিক?[রা. বো. ১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

৩৯.  {l^2} + {m^2} + {n^2} রাশিটি হলো- [কু.বো. ১৬]

i.  প্রতিসম                       ii. সমমাত্রিক

iii. চক্র ক্রমিক

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i  ও ii                  (খ)  ii ও iii                  (গ) i  ও iii                  (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ঘ) i, ii  ও iii

৪০.

i.  কোনো বহুপদীতে উল্লেখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রা বহুপদীটির মাত্রা  বলে

ii. x,y,z চলকের বহুপদীর পদগুলো c{x^p}{y^q}{z^r} আকারে হয়

iii. দুইটি বহুপদীর ভাগফল সর্বদা বহুপদী হয়

নিচের কোনটি সঠিক? [চ.বো.১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

৪১. বীজগাণিতিক রাশি-

i.  {x^2}y + y{z^2} + xyz একটি সমমাত্রিক বহুপদী

ii. 6{x^2} + 5xy + 2{y^2} একটি প্রতিসম রাশি

iii. {z^2}x + {x^2}y + y{z^2} একটি চক্রক্রমিক রাশি

নিচের কোনটি সঠিক? [সি.বো.১৬]

(ক)  i                    (খ) i  ও ii                 (গ) i ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক)  i

৪২. P ও Q দুইটি বহুপদী হলে-

i.  P – Q একটি বহুপদী                       ii. PQ বহুপদী নাও হতে পারে

iii. \frac{P}{Q} বহুপদী হতে পারে আবার নাও হতে পারে

নিচের কোনটি সঠিক? [ব.বো.১৬]

(ক) i  ও ii                  (খ)  ii ও iii                  (গ) i  ও iii                  (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (গ) i  ও iii

৪৩. {y^5} - 3{y^6} + 5{y^4} - 7 রাশটি y-চলকের একটি বহুপদী যার-

i.  মাত্রা 6                       ii. মূখ্যপদ 3{y^6}

iii. ধ্রুবপদ – 7

নিচের কোনটি সঠিক?[ব. বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর:  (খ) i  ও iii 

৪৪. যদি a + b + c = 0 হয়, তবে-

i.  {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc

ii. \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

iii. {(a + b)^3} + 3abc =  - {c^3}

নিচের কোনটি সঠিক?[সি. বো. ১৫]

(ক) i  ও ii                  (খ) i  ও iii                  (গ) ii ও iii                       (ঘ) i, ii  ও iii

উত্তর: (ক) i  ও ii

নিচের উদ্দীপক থেকে (৪৫ও ৪৬) নং প্রশ্নের উ্ততর দাও:

p(x) = 2{x^4} - 6{x^3} + 5x - 2

৪৫. p(2) = কত? [দি.বো.১৬]

(a) – 92               (b) – 8              (c) 8                   (d) 92

উত্তর:  (b) – 8

৪৬. p(x) কে 2x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? [দি.বো. ১৬]

(a) – 29                                            (b) \frac{{ - 29}}{8}

(c) \frac{{29}}{8}                  (d) 29

উত্তর: (b) \frac{{ - 29}}{8}  

নিচের উদ্দীপক থেকে (৪৭ও ৪৮) নং প্রশ্নের উ্ততর দাও:

p(x) = 2{x^3} - 5{x^2} + 6x - 3

৪৭. p(x) কে (x - 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? [সি. বো. ১৫]

(a) – 120               (b) – 30              (c) – 24                   (d) 24

উত্তর: (d) 24

৪৮. p(x) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? [সি.বো. ১৫]

(a) x - 3              (b) x + 1             (c) x - 2                  (d) x - 1

উত্তর: (d) x - 1

 

বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন-১: P(x) = 18{x^3} + 15{x^2} - x + a,Q(x) = {x^3} + {x^2} - 6x দুটি বীজগণিতীয় সমীকরণ। [কু.বো.১৭]

ক. Q(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

খ. P(x) এর একটি উৎপাদক (3x + 2) হলে, a এর মান নির্ণয় কর।

গ. \frac{{{x^2} + x - 1}}{{Q(x)}} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-২: P(x) = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6 [য.বো.১৭]

ক. P(x) এর মাত্রা ও মুখ্য সহগের অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. P(x) কে x - m এবং x - n ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে, যেখানে m \ne n, তবে দেখাও যে, {m^2} + mn + {n^2} - 6m - 6n + 11 = 0.

গ. \frac{{{x^3}}}{{P(x)}} কে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর কর।

প্রশ্ন-৩: f(x) = 18{x^3} + 15{x^2} - x + c,g(x) = {x^2} - 4x - 7 এবং h(x) = {x^3} - {x^2} - 10x - 8 হলো x চলকের তিনটি বহুপদী। [ব.বো.১৭]

ক. h(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

খ. f(x) একটি একটি উৎপাদক (3x + 2) হলে c এর মান নির্ণয় কর।

গ. \frac{{g(x)}}{{h(x)}} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-৪: \,f(a) = {a^3} + 5{a^2} + 6a + 8 এবং g(a) = \frac{{2a}}{{(a + 1){{({a^2} + 1)}^2}}} দুইটি বীজগণিতীয় রাশি। [ঢা.বো. ১৬]

ক. \,f( - 3) এর মান কত?

খ. \,f(a) কে x - p এবং x - q দ্বারা ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে সেখানে p \ne q, তবে দেখাও যে, {p^2} + {q^2} + pq + 5p + 5q + 6 = 0

গ. g(a) আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-৫: f(x) = \frac{1}{{\sqrt {3x - 1} }} এবং\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 16}} দুটি ফাংশন। [রা.বো. ১৬]

ক. f(x) দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. {f^{ - 1}}( - 1) নির্ণয় কর।

গ. {g(x)} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-৬: P(x) = {x^2} + x - 12,Q(x) = 9x + 2. [দি.বো. ১৬]

ক. F(x) = \frac{{2x}}{{x + 3}} এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. যদি P(x) কে {2x - a} এবং {2x - b} দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে যেখানে a \ne b তবে দেখাও যে, a + b + 2 = 0.

গ. \frac{{Q(x)}}{{P(x)}} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-৭: g(x) = p{x^3} + q{x^2} + rx + s বহুপদীর সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা p \ne 0, s \ne 0 এবং {x - 1} বহুপদীটির একটি উৎপাদক। অপর একটি রাশি Q(x) = \frac{{{x^3}}}{{x2 - 16}}. [সি.বো. ১৬]

ক. দেখাও যে, p + q + r + s = 0.

খ. যদি p = l,q = 5,r = 6,s = 8 হয় এবং g(x) কে x - kx - l দ্বারা ভাগ করিলে একই অবশিষ্ট থাকে, যেখানে k \ne l তবে দেখাও যে,

{k^2} + {l^2} + kl + 5k + 5l + 6 = 0.

গ. Q(x)-কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-৮: p(x) = {x^3} + {x^2} - 6x এবং f(x) = {x^2} - 9x - 6 দুটি ফাংশন। [চ.বো. ১৬]

ক. f(x) কে {(x + 3)} দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে তা ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে নির্ণয় কর।

খ. p(x) কে {(x - a)} এবং {(x - b)} দ্বারা ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে যেখানে a \ne b, তবে দেখাও যে,

{a^2} + ab + {b^2} + a + b = 6.

গ. \frac{{f(x)}}{{p(x)}} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

প্রশ্ন-৯: P(x) = {x^3} - {x^2} + ax + b এবং Q(x) = {x^2} - 2x - 8. [য.বো. ১৬]

ক. Q(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

খ. \frac{{{x^2}}}{{Q(x)}} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

গ. P(x) এর একটি উৎপাদক Q(x) হলে, a এবং b এর মান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন-১০: f(x) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} একটি ফাংশন যেখানে x \ne 1. [ব. বো. ১৬]

ক. f(p) = k হলে, p এর মান k এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. {f^{ - 1}}(3) নির্ণয় কর।

গ. f({x^2}) কে অাংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।