ssc-http://www.onlinemathacademy.org

সসীম ধারা
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও উত্তর

১.  a , b,c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর: গ. c = \frac{{b + d}}{2}

২. n \in \mathbb{N} এর জন্য-

i. \sum i = \frac{{{n^2} + n}}{2}
ii. {\sum i ^2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)
iii. {\sum i ^3} = \frac{{{n^2}({n^2} + 2n + 1)}}{4}

নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii           (খ) i ও iii          (গ) ii ও iii        (ঘ) i,ii ও iii

নিচের ধারাটির ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

\log 2 + \log 4 + \log 8 + ......

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি ?

ক. 2               খ. 4                গ. \log 2            ঘ. 2\log 2

ব্যাখ্যা: সাধারণ অন্তর = \log 4 - \log 2

= \log {2^2} - \log 2

= 2\log 2 - \log 2

\log 2

৪. ধারাটির সপ্তম পদ কোনটি?

ক. \log 32             খ. \log 64            গ. \log 128            ঘ. \log 256

ব্যাখ্যা: কারণ, n তম পদ = a + \left( {n - 1} \right)d

যেহেতু প্রথম পদ, a = \log 2

সাধারণ অন্তর, d = \log 2

\therefore সপ্তম বা 7 তম পদ = \log 2 + \left( {7 - 1} \right) \times \log 2

= \log 2 + 6\log 2

= 7\log 2

= \log {2^7}

= \log 128

৫. 64 + 32 + 16 + 8 + ....... ধারাটির অষ্টম পদ বের করো।

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটি 64 + 32 + 16 + 8 + .......

যার প্রথম পদ, a = 64

সাধারণ অনুপাত,  r = \frac{{32}}{{64}} = \frac{1}{2}

\therefore এটি একটি গুনোত্তর ধারা ।

আমরা জানি, গুনোত্তর ধারার n তম পদ  = a{r^{n - 1}}

\therefore ধারাটির 8ম পদ  = 64 \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{8 - 1}}

= 64 \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7}

= 64 \times \frac{1}{{128}}

= \frac{1}{2}

Ans:\frac{1}{2}

৬. 3 + 9 + 27 + ....... ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 3

সাধারণ অনুপাত, r = \frac{9}{3} = 3 > 1

\therefore এটি একটি গুনোত্তর ধারা ।

ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি, {S_{14}} = কত?

আমরা জানি, গুনোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\left[ {\because r > 1} \right]

{S_{14}} = \frac{{3\left( {{3^{14}} - 1} \right)}}{{3 - 1}}

= \frac{3}{2}\left( {{3^{14}} - 1} \right)

Ans:\frac{3}{2}\left( {{3^{14}} - 1} \right)

৭. 128 + 64 + 32 + ...... ধারাটির কোন পদ \frac{1}{2}?

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 128

সাধারণ অনুপাত, r = \frac{{64}}{{128}} = \frac{1}{2}

\therefore এটি একটি গুনোত্তর ধারা ।

আমরা জানি, ধারাটি n তম পদ = a{r^{n - r}}

\therefore 128 \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{2 \times 128}}

\Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{256}}

\Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^8}

\Rightarrow n - 1 = 8

\Rightarrow n = 8 + 1

\therefore n = 9

\therefore ধারাটির 9ম পদ \frac{1}{2}

৮. একটি গুণোত্তর ধারার পন্ঞ্চম পদ \frac{{2\sqrt 3 }}{9} এবং দশম পদ \frac{{8\sqrt 2 }}{{81}}  হলে,ধারাটির তৃতীয় পদ নির্ণয় কর।

SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১. প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নিচের কোনটি? [রা: বো: ১৫, ১৬]

(ক)  s_{n} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}

(খ) s_{n} = \frac{n^{3}(n + 1)^{3}}{8}

(গ) s_{n} = \frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6}

(ঘ)  s_{n} = \frac{n}{2} {2a + (n – 1) d}

উত্তর: (ক)  s_{n} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}  

২. গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ২ এবং সাধারণ অনুপাত \frac{1}{2} হলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত? [ঢা: বো: ১৫]

(ক) \frac{1}{16}              (খ) \frac{1}{4}

(গ) 1                                             (ঘ)  4

উত্তর:  (খ) \frac{1}{4} 

৩. 3 + a + b + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, b এর মান কত? [রা: বো: ১৫]

(ক) 9         (খ)  12        (গ)  18        (ঘ)  27

উত্তর: (ঘ)  27

৪. 4 + 8 + 16 + ………….. ধারাটির সাধারণ পদ কত? [কু. বো. ১৬; দি: বো: ১৫]

(ক) 2^{n - 1}         (খ)  2^{n + 1}     (গ)  8^{n - 1}     (ঘ) 8^{n + 1}

উত্তর: (খ)  2^{n + 1}

৫. \frac{1}{\sqrt{5}}, - 1, \sqrt{5}, .......... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত? [সি. বো. ১৬]

(ক) \sqrt{5}                     (খ)  \frac{1}{\sqrt{5}}

(গ)  -\sqrt{5}                  (ঘ) -\frac{1}{\sqrt{5}}

উত্তর: (গ)  -\sqrt{5} 

৬. \frac{1}{\sqrt{2}}, - 1, \sqrt{2} ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত? [চ: বো: ১৫]

(ক) -\sqrt{2}                                     (খ) -1

(গ)  -\frac{1}{\sqrt{2}}                 (ঘ) \sqrt{2}

উত্তর: (ক) -\sqrt{2}

৭. 256 + 128 + 64 + …………….. গুণোত্তর ধারার 5th পদ কত? [ঢা. বো. ১৬]

(ক) 4         (খ)  8        (গ)  16        (ঘ)  32

উত্তর: (গ)  16

৮.  128 + 64 + 32 + ……… ধারাটির কত তম পদ \frac{1}{2}[রা: বো: ১৬]

(ক) 9 তম         (খ)  8 তম        (গ)  7 তম        (ঘ) 6 তম

উত্তর: (ক) 9 তম

৯. \frac{1}{\sqrt{2}}, - 1 +  \sqrt{2} …………… ধারাটির অষ্টম পদ কত? [কু; বো: ১৫]

(ক) -16         (খ)  -8        (গ)  8        (ঘ)  32

উত্তর:  (খ)  -8

১০. p, q, r, s গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে- [ব. বো. ১৬]

(ক) pq = rs                                   (খ) qs = r^{2}

(গ)  pq = r^{2}                      (ঘ) pq = qr

উত্তর: (খ) qs = r^{2}

১১. 1 + 2 + 4 + 8 + ………………. ধারাটির 9ম পদ কত? [ন. প্র. দি. বো.]

(ক) 256      (খ)  128       (গ) 64        (ঘ)  9

উত্তর: (ক) 256

১২. 3 + 6 + 12 + 24 + …………….. ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত? [ন. প্র. দি. বো.]

(ক) 381      (খ)  281       (গ) 138        (ঘ)  127

উত্তর: (ক) 381

নিচের তথ্য অনুসারে (১৩  ও ১৪) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

3 + m + n + 81 + ……………

১৩. ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত? [চ. বো. ১৬]

(ক) 3      (খ)  4       (গ) 9        (ঘ)  27

উত্তর: (ক) 3 

১৪. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 363 হলে, n এর মান কত? [চ. বো. ১৬]

(ক) 5      (খ)  4       (গ) 3       (ঘ)  2

উত্তর: (ক) 5

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + .......

উপরের ধারাটির সাহায্যে (১৫ ও ১৬) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

১৫. ধারাটির 7ম পদ কত? [ব: বো: ১৫]

(ক) \frac{1}{729}                          (খ) \frac{1}{243}

(গ)  \frac{1}{81}                             (ঘ) -3

উত্তর:  (ক) \frac{1}{729}    

১৬. ধারাটির ১ম  ৮টি পদের সমষ্টি কত? [ব: বো: ১৫]

(ক) \frac{364}{243}                          (খ) \frac{1093}{729}

(গ)  \frac{3280}{2187}                    (ঘ) \frac{6560}{6561}

উত্তর: (গ)  \frac{3280}{2187}

সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর:

১. 25 + 23 + 21 + ......... ধারাটির ১ম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি -456 [ঢা:বো: ১৬]

(ক) ধারাটির সপ্তম পদ কত?

(খ) n এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) পদত্ত ধারার প্রথম পদ ও সাধারণ অন্তরকে যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত ধরে ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

২. একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 6. [ব:বো: ১৬]

(ক) ধারাটি নির্ণয় কর ।

(খ) ধারাটির ১ম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 705 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) ধারাটির সাধারণ অন্তরকে ১ম পদ এবং ১ম পদকে সাধারণ অনুপাত ধরে গঠিত গুণোত্তর ধারার ১ম 7 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

৩. {1 \over {\sqrt 2 }} - 1 + \sqrt 2  - ....... একটি গুণোত্তর  ধারা । [চ:বো: ১৬]

(ক) ধারাটির সাধারণ অনুপাত এবং ৪র্থ পদ কত?

(খ) ধারাটির  কোন পদ 8\sqrt 2 ?

(গ) ধারাটির 10 তম পদ এবং প্রথম দশটি পদের সমষ্টি  নির্ণয় কর ।

৪. কটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ -27 এবং একাদশ পদ 81\sqrt 3 । [রা:বো: ১৬] 

(ক) প্রদত্ত তথ্যগুলো সমীকরণ আকারে প্রকাশ কর ।

(খ) ধারাটির 14 তম নির্ণয় কর ।

(গ) ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

৫. একটি ধারার সাধারণ পদ 2n + 1;(n \in {\rm N}). [দি:বো: ১৫] 

(ক) ধারাটি নির্ণয় কর ।

(খ) ধারাটির কততম পদ 169?

(গ) ধারাটির প্রথম সংখ্যাকে প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে নতুন ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

৬. 215 + 213 + 211 + ............ + 175 = {S_1} এবং 24 + 96 + 384 + ..... ধারাটির প্রথশ পাচঁটি পদের সমষ্টি = {S_2} [কু:বো: ১৫] 

(ক) {S_1} এর দশম পদ নির্ণয় কর ।

(খ) {S_1} এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) {S_1} এবং {S_2} এর অনুপাত বের কর ।

৭. 6 + x + y + z + 96....... একটি গুণোত্তর ধারা । [সি:বো: ১৫] 

(ক) সমান্তর ধারা ও অনুক্রম এর মধ্যে দুইটি পার্থক্য লিখ ।

(খ) x,y এবং z এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) উদ্দীপক ধারাটি লিখ । ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 3066 হলে, n-এর মা্ন কত?