ssc-http://www.onlinemathacademy.org

এস.এস.সি

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান:

১. 13 + 20 + 27 + 34 + .............. + 111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, nতম পদ=a + (n - 1)d
ধারাটিতে nতম পদ =111
\therefore a + (n - 1)d = 111
বা, 13 + (n - 1) \times (20 - 13) = 111
বা, 13 + 7n - 7 = 111
বা, 7n = 111 - 13 + 7
বা, 7n = 105
বা, n = \frac{{105}}{7}
বা, n = 15

অতএব, nতম পদ=15

২. 5 + 8 + 11 + 14 + ....... + 62 ধারাটি-

  1. একটি সসীম ধারা
    ii. একটি গুণোত্তর ধারা
    iii. এর 19তম পদ 59
    নিচের কোনটি সঠিক?
    উত্তর: (খ)
    ব্যাখ্যা:
    n-তম পদ=a + (n - 1)d
    19-তম পদ=5 + (19 - 1) \times 3
    =5 + 18 \times 3
    =5 + 54
    =59

 নিচের তথ্যের ভিত্তিতে (৩-৪)নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
7 + 13 + 19 + 25 + ........ একটি ধারা

৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?
উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা: 15-তম পদ=
\begin{gathered} a + (15 - 1)d \hfill \\ = 7 + 14 \times (13 - 7) \hfill \\ = 7 + 14 \times 6 \hfill \\ = 7 + 84 \hfill \\ = 91 \hfill \\ \end{gathered}

৪. ধারাটির প্রথম 20টি পদের সমষ্টি কত?
উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি= \frac{n}{2}\{ 2a + (n - 1)d\}

প্রথম 20টি পদের সমষ্টি= \frac{{20}}{2}\{ 2 \times 7 + (20 - 1) \times 6\}

= 10(14 + 19 \times 6)
= 10(14 + 114)
= 10 \times 128
= 1280

৫. 2 - 5 - 12 - 19 - ........... ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12-তম পদ নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a=2
প্রথম অংশ: ধারাটির সাধারণ অন্তর, d=দ্বিতীয় পদ-প্রথম পদ=-5-(+2)=-5-2=-7
\therefore ধারাটির সাধারণ অন্তর, d=-7

দ্বিতীয় অংশ:
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ= a + (n - 1)d
\therefore 12-তম পদ= 2 + (12 - 1)( - 7)
= 2 + 11 \times ( - 7)
= 2 - 77
=  - 75

অতএব, সাধারণ অন্তর -7 ও 12তম পদ -75

৬. 8+11+14+17+…….. ধারাটির কোন পদ 392 ?

সমাধান:  এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 8

ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 392

আমরা জানি,

n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore 8 + \left( {n - 1} \right)3 = 392

\Rightarrow 8 + 3n - 3 = 392

\Rightarrow 5 + 3n = 392

\Rightarrow 3n = 392 - 5

\Rightarrow 3n = 387

\Rightarrow n = \frac{{387}}{3}

\therefore n = 129

\therefore প্রদত্ত ধারাটির 129 তম পদ 392.

৭. 4 + 7 + 10 + 13 + ..... ধারাটির কোন পদ 301 ?

সমাধান: :  এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 4

ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 301

আমরা জানি,

n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore 4 + \left( {n - 1} \right)3 = 301

\Rightarrow 4 + 3n - 3 = 301

\Rightarrow 3n + 1 = 301

\Rightarrow 3n = 301 - 1

\Rightarrow 3n = 300

\Rightarrow n = \frac{{300}}{3}

\therefore n = 100

\therefore প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 301.

৮. কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n ও nতম পদ m হলে, ধারাটির (m+n) তম পদ কত?

সমাধান:
মনেকরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ=a, এবং সাধারণ অন্তর=d

\therefore ধারাটির mতম পদ=a + (m - 1)d

এবং ধারাটির nতম পদ a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (m - 1)d=n …………(i)

a + (n - 1)d=m …………..(ii)

(i)নং হতে (ii)নং বিয়োগ করে পাই,
{a + (m - 1)d}-{a + (n - 1)d}=n-m

বা, a + (m - 1)d - a - (n - 1)d = n - m

বা, d\{ (m - 1) - (n - 1)\}  = n - m

বা, d(m - 1 - n + 1) = n - m

বা, d(m - n) = n - m

বা, - d(n - m) = n - m

বা, d = \frac{{(n - m)}}{{ - (n - m)}}

বা, \therefore d =  - 1

(i)নং সমীকরণে d এর মান বসিয়ে পাই,

a + (m - 1)( - 1) = n

বা, a - (m - 1) = n

বা, a - m + 1 = n

বা, a = m + n - 1

\therefore (m+n) তম পদ=a+(m+n-1)d

= m + n - 1 + (m + n - 1)( - 1)

= m + n - 1 - m - n + 1

= 0

৯. 1 + 3 + 5 + 7 + ........ ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটি, 1 + 3 + 5 + 7 + ........

যার প্রথম পদ, a = 1 এবং সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

= \frac{n}{2}\left\{ {2 \times 1 + \left( {n - 1} \right) \times 2} \right\}

= \frac{n}{2}\left( {2 + 2n - 2} \right)

= \frac{n}{2} \times 2n

= {n^2}

Ans. {n^2}

১০. 8 + 16 + 24 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 16 + 24 + ........

এখানে, প্রথম পদ, a = 8 এবং সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

এবং পদ সংখ্যা, n=9

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

= \frac{9}{2}\left\{ {2 \times 8 + \left( {9 - 1} \right) \times 8} \right\}

= \frac{9}{2}\left( {16 + 8 \times 8} \right)

= \frac{9}{2}\left( {16 + 64} \right)

= \frac{9}{2} \times 80 = 360

Ans: 360

১১. 5 + 11 + 17 + 23 + 23 + ......... + 59 = কত?

সমাধান:  এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 5

এবং ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 59

আমরা জানি,

n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore a + \left( {n - 1} \right)d = 59

\Rightarrow 5 + \left( {n - 1} \right) \times 6 = 59

\Rightarrow 5 + 6n - 6 = 59

\Rightarrow 6n - 1 = 59

\Rightarrow 6n = 59 + 1

\Rightarrow 6n = 60

\Rightarrow n = \frac{{60}}{6}

\therefore n = 10

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

{S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left\{ {2 \times 5 + \left( {10 - 1} \right) \times 6} \right\}

= 5\left( {10 + 9 \times 6} \right)

= 5\left( {10 + 54} \right)

= 5 \times 64

= 320

Ans.320

১২. 29 + 25 + 21 + ........ - 23 = কত?

সমাধান: প্রদত্ত ধারাটি, 29 + 25 + 21 + ........ - 23

যার প্রথম পদ, a = 29

এবং ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 25 - 29 = -4, 21-25=-4

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = -23

আমরা জানি,

n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore a + \left( {n - 1} \right)d =  - 23

\Rightarrow 29 + \left( {n - 1} \right) \times \left( { - 4} \right) =  - 23

\Rightarrow 29 - 4n + 4 =  - 23

\Rightarrow 33 - 4n =  - 23

\Rightarrow  - 4n =  - 33 - 23

\Rightarrow  - 4n =  - 56

\Rightarrow n = \frac{{ - 56}}{{ - 4}}

\therefore n = 14

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

{S_{14}} = \frac{{14}}{2}\left\{ {2 \times 29 + \left( {14 - 1} \right) \times \left( { - 4} \right)} \right\}

= 7\left\{ {58 + 13 \times \left( { - 4} \right)} \right\}

= 7\left( {58 -52} \right)

= 7 \times 6

= 42

Ans.42

১৩. কোন সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore 12 তম পদ = a + \left( {12 - 1} \right)d

= a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = 77........(i)

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

\therefore প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি,

{S_{23}} = \frac{{23}}{2}\left\{ {2a + \left( {23 - 1} \right)d} \right\}

= \frac{{23}}{2}\left\{ {2a + 22d} \right\}

= \frac{{23}}{2} \times 2\left( {a + 11d} \right)

= 23 \times \left( {a + 11d} \right)

= 23 \times 77

= 1771

Ans: 1771

১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে, এর প্রথম 31টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

এবং ধারাটির 16 তম পদ = -20

আমরা জানি, n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore 16 তম পদ = a + \left( {16 - 1} \right)d

প্রশ্নমতে, - 20 = a + 15d

\therefore a + 15d =  - 20

আবার,

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

\therefore প্রথম 31টি পদের সমষ্টি,

{S_{31}} = \frac{{31}}{2}\left\{ {2a + \left( {31 - 1} \right)d} \right\}

= \frac{{31}}{2}\left\{ {2a + 30d} \right\}

= \frac{{31}}{2} \times 2\left( {a + 15d} \right)

= 31 \times \left( {a + 15d} \right)

= 31 \times \left( { - 20} \right)\left[ {\because a + 15 =  - 20} \right]

=  - 620

Ans: -620

১৫. 9+7+5+………….. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল -144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি, 9+7+5+…………..

ধারাটির প্রথম পদ, a=9 এবং সাধারণ অন্তর, d=7-9=-2, 5-7=-2

\therefore এটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার পদসংখ্যা n হলে,

n সংখ্যক পদের যোগফল,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right\}

= \frac{n}{2}\left\{ {2 \times 9 + \left( {n - 1} \right) \times ( - 2)} \right\}

= \frac{n}{2}(18 - 2n + 2)

= \frac{n}{2}(20 - 2n)

= \frac{n}{2} \times 2(10 - n)

= n(10 - n)

প্রশ্নমতে, n(10 - n) =  - 144

বা, 10n - {n^2} + 144 = 0

বা, {n^2} - 10n - 144 = 0

বা, {n^2} - 18n + 8n - 144 = 0

বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0

বা, (n - 18)(n + 8) = 0

হয়, n - 18=0      অথবা, n + 8 = 0

বা, n=18                 বা, n=-8

কিন্তু কোনো ধারার পদসংখ্যা ঋণাত্নক হতে পারে না।

সুতরাং, n=-8 গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, n এর মান 18

১৬. 2+4+6+8+…………… ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি, 2+4+6+8+……………

ধারাটির প্রথম পদ a=2, সাধারণ অন্তর, d=4-2=2, 6-4=2

\therefore এটি একটি সমান্তর ধারা।

মনেকরি, ধারাটির পদ সংখ্যা=n

এবং n সংখ্যক পদের সমষ্টি, {S_n} = 2550

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

\therefore \frac{n}{2}\left\{ {2 \times 2 + (n - 1) \times 2} \right\} = 2550

বা, \frac{n}{2}\left( {4 + 2n - 2} \right) = 2550

বা, \frac{n}{2}\left( {2 + 2n} \right) = 2550

বা, \frac{n}{2} \times 2 \times \left( {n + 1} \right) = 2550

বা, n(n + 1) = 2550

বা, {n^2} + n = 2550

বা, {n^2} + n - 2550 = 0

বা, {n^2} + 51n - 50n - 2550 = 0

বা, n(n + 51) - 50(n + 51) = 0

বা, (n + 51)(n - 50) = 0

হয়, n + 51 = 0      অথবা, n - 50 = 0

বা, n =  - 51               বা, n = 50

যেহেতু ধারার পদসংখ্যা ঋণাত্নক হতে পারে না।

সেহেতু, n =  - 51  গ্রহণযোগ্য নয়।

\therefore নির্ণেয় মান, n=50

১৭. কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n+1) হলে, ধারাটি নির্ণয় কর।

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = \frac{{n(n + 1)}}{2}

অর্থাৎ 1+2+3+4+5+……..+n=\frac{{n(n + 1)}}{2}

বা, 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ............. + n) = n(n + 1)   [উভয় পক্ষে 2 দ্বারা গুণ করে]

বা, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ............. + 2n = n(n + 1)

\therefore 2 + 4 + 6 + ..... + 2n ধারার সমষ্টি n(n + 1)

\therefore নির্ণেয় ধারাটি 2 + 4 + 6 + ..... + 2n

Ans. 2 + 4 + 6 + ..... + 2n

১৮. কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি {S_n} = n(n + 1)

\therefore ধারাটির 10টি পদের সমষ্টি, {S_{10}} = 10(10 + 1) = 10 \times 11 = 110

Ans. 110

১৯. একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান:
মনেকরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a ও সাধারণ অন্তর= d

দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি, {S_{12}} = 144

ও ধারাটির প্রথম 20 পদের সমষ্টি, {S_{20}} = 560

আমরা জানি, কোন সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, {S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি,

{S_{12}} = \frac{{12}}{2}\left\{ {2a + (12 - 1)d} \right\}

বা, 144 = \frac{{12}}{2}\left\{ {2a + (12 - 1)d} \right\}

বা, 144 = 6(2a + 11d)

বা, \frac{{144}}{6} = 2a + 11d

বা, 24 = 2a + 11d

বা, 2a + 11d = 24 ………………………(i)

সমান্তর ধারাটির প্রথম 20 পদের সমষ্টি,

{S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left\{ {2a + (20 - 1)d} \right\}

বা, 560 = 10(2a + 19d)

বা, \frac{{560}}{{10}} = 2a + 19d

বা, 56 = 2a + 19d

বা, 2a + 19d = 56 ……………………..(ii)

(ii) নং থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,

2a + 19d = 56

2a + 11d = 24
……………………………………..
8d = 32    [বিয়োগ করে]

\therefore d=4

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2a + 11 \times 4 = 24

\Rightarrow 2a + 44 = 24

\Rightarrow 2a = 24 - 44

\Rightarrow 2a =  - 20

\Rightarrow a = \frac{{ - 20}}{2}

\therefore a =  - 10

\therefore সমান্তর ধারার প্রথম 6 পদের সমষ্টি,

{S_6} = \frac{6}{2}\left\{ {2\left( { - 10} \right) + \left( {6 - 1} \right)4} \right\}

= 3\left\{ { - 20 + 5 \times 4} \right\}

= 3\left( { - 20 + 20} \right)

= 3 \times 0

= 0

Ans:0

২০. কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম \left( {m + n} \right) পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান:
মনেকরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a

ও সাধারণ অন্তর= d

দেওয়া আছে,

ধারাটির প্রথম m পদের সমষ্টি, {S_m} = n

ও ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি, {S_n} = m

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি, {S_m} = \frac{m}{2}\left\{ {2a + (m - 1)d} \right\}

\therefore n = \frac{m}{2}\left\{ {2a + (m - 1)d} \right\}

\Rightarrow 2n = 2am + {m^2}d - md......\left( i \right)

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, {S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

\therefore m = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

\Rightarrow 2m = 2an + {n^2}d - nd......\left( {ii} \right)

(ii) নং কে m দ্বারা এবং (i) নং কে n দ্বারা গুন করে (ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে,

2{m^2} = 2amn + m{n^2}d - mnd

2{n^2} = 2amn + {m^2}nd - mnd
……………………………………………………………
2({m^2} - {n^2}) = mnd(n - m)

বা, mnd(n - m) = 2(m + n)(m - n)

বা, d = \frac{{ - 2(m + n)(n - m)}}{{mn(n - m)}}

\therefore d =  - \frac{{2(m + n)}}{{mn}}

এখন, d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2n = 2am + {m^2}\left\{ { - \frac{{2(m + n)}}{{mn}}} \right\} - m\left\{ { - \frac{{2(m + n)}}{{mn}}} \right\}

বা, n = am - \frac{{m(m + n)}}{n} + \frac{{m + n}}{n}

বা, n = \frac{{amn - {m^2} - mn + m + n}}{n}

বা, {n^2} = amn - {m^2} - mn + m + n

বা, amn = {m^2} + {n^2} + mn - m - n

বা, a = \frac{{{m^2} + {n^2} + mn - m - n}}{{mn}}

\therefore a = \frac{{{m^2} + {n^2} + mn - m - n}}{{mn}}

\therefore সমান্তর ধারার প্রথম (m+n) পদের সমষ্টি,

{S_{m + n}} = \frac{{m + n}}{2}\left\{ {2a + (m + n - 1)d} \right\}

= \frac{{m + n}}{2}\left[ {\frac{{2\left( {{m^2} + {n^2} + mn - m - n} \right)}}{{mn}} + \left( {m + n - 1} \right) \times \frac{{2\left( {m + n} \right)}}{{ - mn}}} \right]

= \frac{{m + n}}{2}\left[ {\frac{{2\left( {{m^2} + {n^2} + mn - m - n} \right)}}{{mn}} - \frac{{2\left( {m + n} \right)\left( {m + n - 1} \right)}}{{mn}}} \right]

= \frac{{m + n}}{2} \times \frac{2}{{mn}}\left[ {{m^2} + {n^2} + mn - m - n - {m^2} - mn + m - mn - {n^2} + n} \right]

= \frac{{m + n}}{{mn}}\left( { - mn} \right)

=  - \left( {m + n} \right)

Ans. - \left( {m + n} \right)

২১. কোনো সমান্তর ধারায় p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a,b,c হলে,দেখাও যে, a\left( {q - r} \right) + b\left( {r - p} \right) + c\left( {p - q} \right) = 0.

সমাধান: মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = x

এবং সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ= a + \left( {n - 1} \right)d

\therefore সমান্তর ধারার p তম পদ= x + \left( {p - 1} \right)d = a......(i)

ও q তম পদ= x + \left( {q - 1} \right)d = b......(ii)

এবং r তম পদ= x + \left( {r - 1} \right)d = c......(iii)

এখন বামপক্ষ = a\left( {q - r} \right) + b\left( {r - p} \right) + c\left( {p - q} \right)

= \left\{ {x + \left( {p - 1} \right)d} \right\}\left( {q - r} \right) + \left\{ {x + (q - 1)} \right\}\left( {r - p} \right) + \left\{ {x + (r - 1)} \right\}\left( {p - q} \right)

= x\left( {q - r} \right) + d\left( {p - 1} \right)\left( {q - r} \right) + x\left( {r - p} \right) + d\left( {q - 1} \right)\left( {r - p} \right) + x\left( {p - q} \right) + d\left( {r - 1} \right)\left( {p - q} \right)

= x\left( {q - r + r - p + p - q} \right) + d\left( {pq - pr - q + r + qr - pq - r + p + pr - qr - p + q} \right)

= x \times 0 + d \times 0

= 0 + 0

= 0

=ডানপক্ষ

\therefore , a\left( {q - r} \right) + b\left( {r - p} \right) + c\left( {p - q} \right) = 0. (দেখানো হলো)

২২. দেখাও যে, 1 + 3 + 5 + 7 + ....... + 125 = 169 + 171 + 173 + ......... + 209

সমাধান : বামপক্ষ = 1 + 3 + 5 + 7 + ....... + 125

এখানে, প্রথম পদ, a = 1 এবং সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

ধরি, ধারাটির n তম পদ = 125

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n পদ = a + \left( {n - 1} \right)d

\Rightarrow 125 = 1 + \left( {n - 1} \right)2

\Rightarrow 125 = 1 + 2n - 2

\Rightarrow 125 = 2n - 1

\Rightarrow 2n = 125 + 1

\Rightarrow 2n = 126

\Rightarrow n = \frac{{126}}{2}

\therefore n = 63

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, {S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

\therefore {S_{63}} = \frac{{63}}{2}\left\{ {2 \times 1 + \left( {63 - 1} \right)2} \right\}

= \frac{{63}}{2}\left( {2 + 62 \times 2} \right)

= \frac{{63}}{2}\left( {2 + 124} \right)

= \frac{{63}}{2} \times 126

= 63 \times 63

= 3969

আবার, ডানপক্ষ = 169 + 171 + 173 + ......... + 209

এখানে, প্রথম পদ, a = 169

এবং সাধারণ অন্তর, d = 171 - 169 = 2

\therefore ইহা একটি সমান্তর ধারা ।

ধরি, ধারাটির n তম পদ = 209

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার n পদ = a + \left( {n - 1} \right)d

\Rightarrow 209 = 169 + \left( {n - 1} \right)2

\Rightarrow 209 = 169 + 2n - 2

\Rightarrow 209 = 2n + 167

\Rightarrow 2n = 209 - 167

\Rightarrow 2n = 42

\Rightarrow n = \frac{{42}}{2}

\therefore n = 21

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, {S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

\therefore সমান্তর ধারার প্রথম 21 পদের সমষ্টি,

\therefore {S_{21}} = \frac{{21}}{2}\left\{ {2 \times 169 + \left( {21 - 1} \right)2} \right\}

= \frac{{21}}{2}\left( {338 + 20 \times 2} \right)

= \frac{{21}}{2}\left( {338 + 40} \right)

= \frac{{21}}{2} \times 378

= 21 \times 189

= 3969

\therefore 1 + 3 + 5 + 7 + ....... + 125 = 169 + 171 + 173 + ......... + 209  (দেখানো হলো)

২৩. এক ব্যক্তি 2500 টাকার একটি ঋণ কিছুসংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 2 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1 টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?

সমাধান: মনেকরি, ঐ ব্যক্তি n টি কিস্তিতে ঋণ পরিশোধ করেন।

ধরি, প্রথম কিস্তি হবে, a=1 টাকা

দ্বিতীয় কিস্তি হবে, {a_2} = (1 + 2) = 3 টাকা

তৃতীয় কিস্তি হবে, {a_3} = (3 + 2)= 5 টাকা

চতুর্থ কিস্তি হবে, {a_4} = (5 + 2) = 7 টাকা

… … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … …

তাহলে কিস্তির ধারাটি হবে, 1+3+5+7+… … … … …

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a=1 এবং সাধারণ অন্তর, d=3-1=2, 5-3=2

\therefore এটি একটি সমান্তর ধারা।

কিস্তিগুলোর সমষ্টি, {S_n} = 2500

আমরা জানি, {S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

বা, 2500 = \frac{n}{2}\left\{ {2 \times 1 + (n - 1) \times 2} \right\}

বা, 2500 = \frac{n}{2}(2 + 2n - 2)

বা, 2500 = \frac{n}{2}2n

বা, 2500 = {n^2}

বা, {n^2} = 2500

বা, n =  \pm \sqrt {2500}

\therefore n=50 অথবা, n=-50

যেহেতু কিস্তি সংখ্যা ঋণাত্নক হতে পারে না।

অতএব, n=50

অর্থাৎ 50টি কিস্তিতে ঋণ পরিশোধ করবে।

Ans. 50টি

২৪. কোনো সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, l তম পদ {l^2} এবং k তম পদ {k^2}

(ক) ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।

(খ) (l+k) তম পদ নির্ণয় কর।

(গ) প্রমান কর ধারাটির প্রথম (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি \frac{{l + k}}{2}({l^2} + {k^2} + l + k)

সমাধান:

(ক) দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর=d

\therefore ধারাটির l তম পদ = a + (l - 1)d

এবং ধারাটির k তম পদ= a + (k - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (l - 1)d = {l^2} …………….(i)

a + (k - 1)d = {k^2} …………….(ii)

(খ) (i) নং হতে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

\left\{ {a + (l - 1)d} \right\} - \left\{ {a + (k - 1)d} \right\} = {l^2} - {k^2}

বা, a + (l - 1)d - a - (k - 1)d = {l^2} - {k^2}

বা, d(l - 1) - d(k - 1) = {l^2} - {k^2}

বা, d(l - 1 - k + 1) = {l^2} - {k^2}

বা, d(l - k) = (l + k)(l - k)

বা, d = \frac{{(l + k)(l - k)}}{{(l - k)}}

বা, d = l + k

\therefore ধারাটির (l+k) তম পদ

a + (l + k - 1)d

=a + (l - 1)d + kd

={l^2} + k(l + k)  [(i) নং হতে এবং d এর মান বসিয়ে]

Ans. ={l^2} + k(l + k)

(গ) ‘খ’ থেকে পাই, d=l+k

D এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a + (l - 1)(l + k) = {l^2}

বা, a + {l^2} - l + lk - k = {l^2}

বা, a = {l^2} - {l^2} + l - lk + k

\therefore a = l - lk + k

আমরা জানি, সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

\therefore প্রথম (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি,

{S_{l + k}} = \frac{{l + k}}{2}\left\{ {2(l - lk + k) + (l + k - 1)(l + k)} \right\}

=\frac{{l + k}}{2}(2l - 2lk + 2k + {l^2} + lk + kl + {k^2} +  - l - k)

=\frac{{l + k}}{2}({l^2} + {k^2} + 2l - l - 2lk + 2lk + 2k - k)

=\frac{{l + k}}{2}({l^2} + {k^2} + l + k) (প্রমাণিত)

SSC বোর্ড পরীক্ষার প্রশ্নের সমাধান

১.  3 + 6 + 9 + 12 + ……………….. ধারাটির সাধারণ অন্তর কত? [সি. বো. ১৬]

(ক) 2         (খ)  3        (গ)  4        (ঘ)  5

উত্তর: (খ)  3

২.  2 + 4 + 6 + ……………….. ধারাটির সাধারণ অন্তর ও n তম পদের অনুপাত কোনটি? [য. বো. ১৬]

(ক) 2n : 2         (খ)  2 : 2n        (গ)  2 : n        (ঘ)  n : 1

উত্তর: (খ)  2 : 2n

৩.  5 + 11 + 17 + ……………… + 59 ধারাটির পদসংখ্যা কত? [ঢা. বো. ১৬]

(ক) 8         (খ) 9        (গ) 10        (ঘ)  11

উত্তর: (গ) 10

৪. নিচের কোন ধারার প্রথম 11টি পদের সমষ্টি 121? [ব. বো. ১৬]

(ক) 1 + 2  + 3 + ………         (খ) 3 + 5 + 7 + ……….

(গ) 1 + 4 + 9 + ………….       (ঘ)  1 + 3 + 5 + ………..

উত্তর: (ঘ)  1 + 3 + 5 + ………..

৫. প্রথম 30টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত? [কু. বো. ১৬]

(ক) 405         (খ)  435        (গ) 445        (ঘ)  465

উত্তর: (ঘ)  465

৬. কোন ধারার প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত? [n = 23]          [চ. বো. ১৬]

(ক) 138         (খ)  184        (গ) 253        (ঘ)  276

উত্তর: (ঘ)  276

৭. 1 + 3 + 5 + ………… + n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? [ঢা. বো. ১৬]

(ক) \frac{n^{2}}{2}                                                         (খ) \frac{n(n + 1)}{2}

(গ) \left \{ {\frac{n (n + 1)}{2}} \right \}^{2}      (ঘ)  n^{2}

উত্তর: (ঘ)  n^{2}

৮. \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, .......... অনুক্রমটির সাধারণ পদ নিচের কোনটি? [কু: বো: ১৫]

(ক) \frac{1}{n}                                    (খ) \frac{n - 1}{n + 1}

(গ) \frac{1}{2^{n}}                            (ঘ)  \frac{n}{n + 1}

উত্তর: (ঘ)  \frac{n}{n + 1}

৯. 6 + 9 + 12 + …………….. ধারাটির কততম পদ 93? [চ: বো: ১৫]

(ক) 30         (খ) 29        (গ) 28        (ঘ)  27

উত্তর: (ক) 30

১০. 1 + 2 + 3 + 4 +  …………………. + 100 = কত? সি: বো: ১৫]

(ক) 4750         (খ)  4950        (গ) 5050        (ঘ)  5150

উত্তর: (গ) 5050  

১১. সামন্তর ধারার n তম পদ কোনটি? [সি: বো: ১৫]

(ক) ar^{n - 1}                                    (খ) a + ( n – 1)d

(গ) s_{a} = \frac{n}{2} {2a + (n – 1)d}

(ঘ)  s_{n} = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}

উত্তর: (খ) a + ( n – 1)d

১২. 2, 4, 6, ………………….. অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি? [ন. প্র. ব. বো.]

(ক) \frac{1}{2} n         (খ) n        (গ) 2n       (ঘ)  3n

উত্তর:  (গ) 2n

১৩. একটি সামন্তর ধারার n-তম পদ 5n + 3 হলে এর সাধারণ অন্তর কত? [ন. প্র. চ. বো.]

(ক)   -2      (খ) \frac{13}{18}        (গ) 5       (ঘ)  8

উত্তর: (গ) 5

১৪. নিচের কোনটি  ‍ a – a + a – a + ………….. ধারাটির 21তম পদ? [ন. প্র. ব. বো.]

(ক)  – a      (খ) a        (গ) 21a       (ঘ)  – 21a

উত্তর: (খ) a

১৫. 3 + 5 + 7 …………… ধারটির 10ম পদ কত? [ন. প্র. ঢা. বো.]

(ক)  29      (খ) 27       (গ) 25       (ঘ)  21

উত্তর: (ঘ)  21

১৬. 4 + 8 + 12 + 16 + …………………… ধারাটির কোন পদ 480? [ন. প্র. ঢা. বো.]

(ক)  110      (খ) 115      (গ) 120       (ঘ)  130

উত্তর: (গ) 120

১৭. 5 + 9 + 13 + ………………….. এর 5ম পদ কোনটি? [ন. প্র. দি. বো.]

(ক)  15    (খ) 17       (গ) 19       (ঘ)  21

উত্তর: (ঘ)  21

১৮.  8 + 14 + 20 + 26 + ……….. ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত? [ন. প্র. সি. বো.]

(ক)  200     (খ)  232      (গ) 280       (ঘ)  464

উত্তর: (খ)  232

১৯. 1 + 2 + 3 + ……….. + 10 ধারাটির সমষ্টি কত? [ন. প্র. কু. বো.]

(ক) 55    (খ) 66      (গ) 110       (ঘ)  122

উত্তর: (ক) 55

২০. log3 + log9 + log27 + ………….

i.  ধারার পরবর্তী পদ log81

ii. একটি সামন্তর ধারা

iii.  এর সাধারণ অন্তর log6

নিচের কোনটি সঠিক? [ব. বো. ১৬]

(ক) i ও ii                 (খ)  i ও iii              (গ)  ii ও iii      (ঘ) i,  ii ও iii

উত্তর: (ক) i ও ii 

নিচের তথ্যের আলোকে (২১ ও ২২) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ – 3 এবং সাধারণ অন্তর 3।

২১. ধারাটির দ্বিতীয় পদ কোনটি? [দি. বো. ১৬]

(ক)- 6    (খ) 0      (গ) 3       (ঘ)  6

উত্তর: (খ) 0 

২২. ধারটির n-তম পদ কত? [. দি. বো. ১৬]

(ক) 3n    (খ) 3n – 6     (গ) 3n – 3       (ঘ)  n – 3

উত্তর: (খ) 3n – 6 

নিচের তথ্যের আলোকে ( ২৩ ও ২৪) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

4 + 6 + 8 + ……………. একটি ধারা।

২৩.  ধারাটির 12-তম পদ- [ঢা: বা: ১৫]

(ক) 22   (খ) 24      (গ) 26       (ঘ)  28

উত্তর: (গ) 26

২৪. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি- [ঢা: বো: ১৫]

(ক) 130  (খ) 150      (গ) 260       (ঘ)  300

উত্তর: (ক) 130

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ( ২৫ ও ২৬) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

কোন সমান্তর ধারার 1ম পদ 2 এবং সাধারণ অন্তর 3.

২৫.  ধারাটির n তম পদ কত? [দি: বো: ১৫]

(ক) 3n + 1                          (খ) \frac{n (3n + 1)}{2}

(গ) 3n – 1                            (ঘ)  \frac{n (3n - 1)}{2}

উত্তর: (গ) 3n – 1 

২৬. ধারাটির প্রথম 8 পদের যোগফল কত? [দি: বো: ১৫]

(ক) 23        (খ) 25      (গ) 100      (ঘ)  124

উত্তর: (গ) 100 

নিচের তথ্যের আলোকে (২৭-২৯) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

2 + 5 + 8 + 11 …………..

২৭. ধারাটির সাধারণ অন্তর কত? [য. বো. ১৫]

(ক) – 3       (খ) 3      (গ) 5      (ঘ)  7

উত্তর:  (খ) 3

২৮. ধারাটির দশম পদ কত? [য: বো: ১৫]

(ক) 29      (খ) 31      (গ) 35      (ঘ)  37

উত্তর: (ক) 29

২৯. ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি কত? [য: বো: ১৫]

(ক) 200      (খ) 124      (গ) 100      (ঘ)  92

উত্তর: (গ) 100  

সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর:

১. একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ 30 এবং একাদশতম পদ 55 । [সি:বো:১৬]

(ক) প্রথম পদকে a এবং সাধারণ অন্তরকে ‘d’ ধরে দুইটি সমীকরণ গঠন কর ।

(খ) উদ্দীপক অনুসারে ধারাটি গঠন কর ।

(গ) যদি ধারাটির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 6375 হয়, তবে n-এর মান নির্ণয় কর ।

২. \log 3 + \log 9 + \log 27 + ...............  [য:বো:১৫]

(ক) ইহা কোন ধরনের ধারা?

(খ) ধারার পঞ্চম ও দশম পদ নির্ণয় কর ।

(গ) ধারার প্রথম বারটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।